用户: Ruiqi chen/CoursesNotes/数学分析 I (实验班)/Sep 18 2024

正文

引理 1 (极限的四则运算). 令 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=x$ 且 ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=y$, 则:

1.	线性: $$\underset{n\to \infty }{\lim }(a{x}_n+b{y}_n)=ax+by$$(1)特别的 ${\sum }_{i=0}^{\infty }(a{x}_i+b{y}_i)=a{\sum }_{i=0}^{\infty }{x}_i+b{\sum }_{i=0}^{\infty }{y}_i$;
2.	乘法: $$\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n{y}_n)=xy$$(2)
3.	除法, 假设 $y\ne 0$: $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\frac{x}{y}$$(3)
4.	若 $n\ge N$ 时有 $x_n\le y_n$, 则 $x\le y$;

证明.

1.	取充分大 $N$ 使得 $n>N$ 时有: $$\begin{array}{rl}\left|x_n-x\right|& <\frac{ϵ}{2\left|a\right|+2}\\ \left|y_n-y\right|& <\frac{ϵ}{2\left|a\right|+2}\end{array}$$于是: $$\begin{array}{rl}\left|(a{x}_n+b{y}_n)-(ax+by)\right|& \le \left|a\right|\left|x_n-x\right|+\left|b\right|\left|y_n-y\right|\\ & <\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ\end{array}$$
2.	乘法需取 $\left|x_n\right|$ 上界 $C$, 此时取充分大 $N$ 使得 $n>N$ 时有: $$\begin{array}{rl}\left|x_n-x\right|& <\frac{ϵ}{2(\left|y\right|+1)}\\ \left|y_n-y\right|& <\frac{ϵ}{2C}\end{array}$$于是: $$\begin{array}{rl}\left|x_n{y}_n-xy\right|& \le \left|x_n\right|\left|y_n-y\right|+\left|y\right|\left|x_n-x\right|\\ & \le C\frac{ϵ}{2C}+\left|y\right|\frac{ϵ}{2(\left|y\right|+1)}\\ & <\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ\end{array}$$
3.	取充分大 $N$ 使得 $n>N$ 时有: $$\begin{array}{rl}\left|y_n-y\right|& <\frac{{\left|y\right|}^2ϵ}{2}\\ \left|y_n-y\right|& <\frac{\left|y\right|}{2}\end{array}$$于是: $$\begin{array}{rl}\left|\frac{1}{y_n}-\frac{1}{y}\right|& =\left|\frac{y-y_n}{y{y}_n}\right|\\ & <\frac{\frac{{|y|}^2ϵ}{2}}{\left|y\right|\frac{|y|}{2}}=ϵ\end{array}$$随后运用乘法.
4.	考察 $z_n:=y_n-x_n$, 有 $z_n\ge 0$, 对充分大 $N$ 有: $$z_n\le z+\frac{\left|z\right|}{2}$$(4)若 $z<0$, 则 $z_n\le \frac{1}{2}z<0$, 矛盾.

$\square$

引理 2. Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中点列收敛当且仅当每个分量收敛.

引理 3. 若 $d_1,d_2$ 是 $X$ 上的距离函数, $d_1,d_2$ 等价, 如果存在常数 $c_1,c_2>0$ 使得: $$d_2(x,y)\le c_1{d}_1(x,y)\wedge d_1(x,y)\le c_2{d}_2(x,y),\forall x,y\in X$$(5)

例 4. 可在 ${\mathbb{R}}^n$ 上定义三个距离函数: ¹$$\begin{array}{rl}{d}_1(x,y)& :=\sum _{i=1}^n\left|x_i-y_i\right|\\ d_2(x,y)& :=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}\\ d_3(x,y)& :=\underset{1\le i\le n}{\max }\left|x_i-y_i\right|\end{array}$$

证明. 有 $n{d}_3\ge d_2\ge d_1\ge d_3$, 于是 $d_1,d_2,d_3$ 等价.

$\square$

引理 5. 对等价的距离函数定义的收敛是一致的.

定义 6 (Cauchy 列). 点列 $\{x_n\}$ 是 Cauchy 列, 如果对任意 $ϵ>0$ 存在 $N$ 使得 $m,n>N$ 时有: $$d(x_m,x_n)<ϵ$$(6)

引理 7. 若 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=x$, 则 $\{x_n\}$ 是 Cauchy 列.

证明. 取充分大 $N$ 使得 $n>N$ 时有: $$d(x_n,x)<\frac{ϵ}{2}$$(7)于是 $m,n>N$ 时有: $$d(x_m,x_n)\le d(x_m,x)+d(x,x_n)<ϵ$$(8)

$\square$

定义 8 (单调). 如果实数列 $\{x_n\}$ 满足: $$x_1\le x_2\le \cdots \le x_n\le x_{n+1}\le \cdots$$(9)则称 $\{x_n\}$ 是单调上升或递增的, 如果: $$x_1<x_2<\cdots <x_n<x_{n+1}<\cdots$$(10)则称 $\{x_n\}$ 是严格单调增的.

定理 9 (单调有界序列有极限). 若实数列 $\{x_n\}$ 是单调上升, 且有界, 则有 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n$ 存在且为 $\sup \{x_n\}$.

证明. 记 $x:=\sup \{x_n\}$, 对任意 $ϵ>0$, 有 $x-ϵ$ 不是上界, 于是存在 $N$ 使得 $x_N>x-ϵ$, 于是 $n>N$ 时有: $$x-ϵ<x_N\le x_n\le x$$(11)故 $\left|x-x_n\right|<ϵ$ 对 $n>N$ 总成立, 于是 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=x$.

$\square$

推论 10. 正项级数收敛当且仅当部分和有界.

例 11. 级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{n}^{-p}$ 在 $p>1$ 时总收敛.

例 12. 极限 ${\lim }_{n\to \infty }{(1+\frac{1}{n})}^n$ 存在, 极限为欧拉常数 $e$, 特别的有 ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}=e$.

证明. 依二项式定理展开, 有: $$\begin{array}{rl}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=& \sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\frac{1}{n^k}\\ =& \sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}\left(\prod _{i=0}^{k-1}\left(1-\frac{i}{n}\right)\right)\\ \le & \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\end{array}$$我们验证 ${(1+\frac{1}{n})}^n$ 单调增并且有界, 界来自对 ${\sum }_{k=0}^n\frac{1}{k!}$ 的简单放缩,

单调性来自算数几何均值不等式: $${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=1\cdot {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\le {\left(\frac{1+n\left(1+\frac{1}{n}\right)}{n+1}\right)}^{n+1}={\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^{n+1}$$(12)

还需验证两者极限相等, 对 $n\ge N$ 考察: $$\begin{array}{rl}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=& \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\left(\prod _{i=0}^{k-1}\left(1-\frac{i}{n}\right)\right)\\ \ge & \sum _{k=0}^N\frac{1}{k!}\left(\prod _{i=0}^{k-1}\left(1-\frac{i}{n}\right)\right)\end{array}$$两边取极限, 有: $$\begin{array}{rl}e\ge & \underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=0}^N\frac{1}{k!}\left(\prod _{i=0}^{k-1}\left(1-\frac{i}{n}\right)\right)\\ =& \sum _{k=0}^N\frac{1}{k!}\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\prod _{i=0}^{k-1}\left(1-\frac{i}{n}\right)\right)\\ =& \sum _{k=0}^N\frac{1}{k!}\left(\prod _{i=0}^{k-1}\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{i}{n}\right)\right)\\ =& \sum _{k=0}^N\frac{1}{k!}\end{array}$$

$\square$

定理 13 (Bolzano–Weierstrass 列紧性). ${\mathbb{R}}^n$ 中的有界序列必有收敛子列.

证明. 只需证明 $n=1$ 情形, 考察: $$X:=\left\{x_k|\forall l\ge k,x_k\ge x_l\right\}$$(13)假若 $X$ 是无限集, 从小到达排列 $X$ 中元素下标即得到单调降子列, 若 $X$ 是有限集, 假设 $X:=\left\{x_{n_1},x_{n_2},\dots ,x_{n_l}\right\}$, 归纳定义 $s_i$ 使得 $s_0=n_l+1$ 而 $x_{s_i}\ge x_{s_{i-1}}$, 利用 $x_{s_i}\notin X$ 确保存在性, 则 $x_{s_i}$ 构成单调增子列.

$\square$

定理 14 (Cauchy 收敛准则). $\mathbb{R}$ 上点列收敛当且仅当是 Cauchy 列.

脚注

1.	^ 特别的, 有限维线性空间任何两个距离函数等价.