用户: Ruiqi chen/CoursesNotes/数学分析 I (实验班)/Sep 14 2024

正文

定义 1 (度量空间). $X$ 是集合, 如果存在 $d:X\times X\to {\mathbb{R}}_{\ge 0}$ 满足:

1.	$d(x,y)=0⟺x=y$;
2.	对称性 $d(x,y)=d(y,x)$;
3.	三角不等式 $d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z)$.

则称 $(X,d)$ 是度量空间或距离空间, $d$ 为距离函数.

例 2. ${\mathbb{R}}^n$ 上的欧几里得距离$$d(x,y)=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}$$(1)

例 3 (诱导度量). 设 $(X,d)$ 是度量空间, $Y\subseteq X$, 则 $d\upharpoonright Y\times Y$ 是 $Y$ 上的度量.

定义 4 (收敛). 设 $(X,d)$ 是度量空间, ${(x_n)}_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$ 是 $X$ 中的序列, $x\in X$, 如果对任意 $\epsilon >0$, 存在 $N\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$, 使得: $$d(x_n,x)<\epsilon ,\forall n\ge N$$(2)则称 ${(x_n)}_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$ 收敛到 $x$, 记作 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=x$.

例 5. 在实轴上, 点列亦称数列, $d(x_n-x)=\left|x_n-x\right|$.

在 $\mathbb{R}$ 上引入 $\pm \infty$ 成为广义实数, 记 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=+\infty$, 若: $$\forall M>0,\exists N\in \mathbb{N},(x_n>M,\forall n\ge N)$$(3)极限为 $-\infty$ 对称定义, $\pm \infty$ 情形称发散.

定义 6 (无穷级数). 对实数列 $(a_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}})$, 定义部分和 $x_n={\sum }_{k=0}^n{a}_k$, 如果 ${(x_n)}_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$ 有极限, 则称无穷级数 ${\sum }_{k=0}^{\infty }{a}_k$ 收敛.

如果度量空间 $(X,d)$ 有加法, 亦可定义级数, 如 ${\mathbb{R}}^n$.

例 7. ${(-1)}^n$ 发散, ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ 发散.

引理 8. 给定度量空间 $(X,d)$, 列 ${(x_n)}_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$, 则:

1.	若 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=x$ 且 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=y$, 则 $x=y$;
2.	改变有限项不影响敛散性与极限;
3.	若 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=x$, 则 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_k=x$, 其中 ${(x_k)}_{k\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$ 是 ${(x_n)}_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$ 的子列;
4.	若实数列 ${(x_n)}_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$ 收敛, 则 ${(x_n)}_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$ 有界;
5.	(逆否命题): $$\forall x\in X,\exists {\epsilon }_0>0,\forall N\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0},\exists n\ge N,d(x_n,x)\ge {\epsilon }_0$$(4)

补充内容

引理 9 (基的全序性). 取定集合 $A,B$, 则 $\left|A\right|\ge \left|B\right|$ 或 $\left|A\right|\le \left|B\right|$.

证明. 考察 $A$ 到 $B$ 的部分单射构成的集合 $\mathcal{S}$: $$\mathcal{S}:=\left\{(X,f)|X\subseteq A,f:X\hookrightarrow B\right\}$$(5)有 $(\varnothing ,\bullet )\in \mathcal{S}$, 于是 $\mathcal{S}$ 非空, 在 $\mathcal{S}$ 上定义偏序为: $$(X,f)\le (Y,g)⟺X\subseteq Y\wedge f=g\upharpoonright X$$(6)此时 $\mathcal{S}$ 中的升链自然可拼接, 且仍为单射, 于是有极大元 $(X,f)$, 若存在 $x\in A\setminus X$ 与 $y\in B\setminus f(X)$, 构造: $$Y:=X\cup \{x\},g(t):=\{\begin{array}{ll}f(t)& t\in X\\ y& t=x\end{array}$$(7)此时 $(Y,g)\in \mathcal{S}$, 且 $(X,f)<(Y,g)$, 矛盾, 故 $X=A$ 或 $f(X)=B$, 即 $\left|A\right|\ge \left|B\right|$ 或 $\left|A\right|\le \left|B\right|$.

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引理 10. $\mathbb{R}$ 是不可数的.

证明. 任取 $f:{\mathbb{Z}}_{\ge 0}\to \mathbb{R}$, 我们证明 $f$ 不是满射, 归纳定义一组闭区间套 $I_n=[a_n,b_n]$, $I_0:=[0,1]$, 令: $$I_n:=\{\begin{array}{ll}[a_n,\frac{2a_n+b_n}{3}]& f(n-1)\notin [a_n,\frac{2a_n+b_n}{3}]\\ [\frac{a_n+2b_n}{3},b_n]& f(n-1)\in [a_n,\frac{2a_n+b_n}{3}]\end{array}$$(8)取 $x\in {\bigcap }_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}{I}_n$, 而依赖 $f(n)\notin I_n$ 知 $x\ne f(n)$, 故 $x\notin f({\mathbb{Z}}_{\ge 0})$ 不是满射.

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