用户: Ruiqi chen/CoursesNotes/数学分析 I (实验班)/Sep 11 2024

正文

定义 1 (Dedekind 分割). 我们说 $\mathbb{Q}$ 子集 $X$, 是一个 Dedekind 分割, 如果:

1.	$X\ne \varnothing ,X\ne \mathbb{Q}$;
2.	若 $x\in X$ 而 $y\in \mathbb{Q}\setminus X$ 则 $x<y$;
3.	$X$ 没有最大元素.

例 2. 取 $r\in \mathbb{Q}$ 令 $X:=\left\{x\in \mathbb{Q}:x<r\right\}\subseteq \mathbb{Q}$, 则 $X$ 是一个 Dedekind 分割.

例 3. 令 $X:=\left\{x\in \mathbb{Q}:x^2<2\right\}\cup \left\{x\in \mathbb{Q}:x<0\right\}$, 则 $X$ 是一个 Dedekind 分割.

定义 4 (序结构). 记所有 Dedekind 分割组成集合 $\mathbb{R}$.

O	取 $X,Y\in \mathbb{R}$, 若 $X\subseteq Y$, 定义 $X\le Y$; O1 传递性来自 $\subseteq$; O2 序决定元素来自 $\subseteq$; O3 全序性任取 $X,Y\in \mathbb{R}$, 若 $X,Y$ 不可比较, 则存在 $x\in X\setminus Y$ 与 $y\in Y\setminus X$, 则 $x\le y$ 且 $y\le x$ 矛盾;

定理 5 (确界原理). 假定 Dedekind 分割 $\mathcal{X}\subseteq \mathbb{R}$ 有上界, 则存在上确界.

证明. 记 $M_0:={\bigcup }_{X\in \mathcal{X}}X\subseteq M\subseteq \mathbb{Q}$, 其中 $M$ 是一个上界, 我们验证 $M_0$ 是 Dedekind 分割:

1.	显然;
2.	若存在 $x\in M_0$ 与 $y\in \mathbb{Q}\setminus M_0$, 使得 $y<x$, 则存在 $X\in \mathcal{X}$, 使得 $x\in X$, 但 $y\notin X$, 与 $X$ 是 Dedekind 分割矛盾;
3.	若 $M_0$ 有最大元素 $m$, 则存在 $X\in \mathcal{X}$, 使得 $m\in X$, 此时 $m$ 也是 $X$ 的最大元素, 矛盾.

还需验证 $M_0$ 是上确界, 若 $M<M_0$ 也是上界, 则存在 $x\in M_0\setminus M$, 也即存在 $X\in \mathcal{X}$, 使得 $x\in X$, 此时 $X⊈M$, 与 $M$ 是 $X$ 的上界矛盾.

$\square$

定义 6 (加法结构). 对 $X,Y\in \mathbb{R}$, 定义 $X+Y:=\left\{x+y:x\in X,y\in Y\right\}\subseteq \mathbb{Q}$.

证明. 验证 $X+Y$ 是 Dedekind 分割:

1.	$X+Y$ 显然非空, $X,Y$ 在 $\mathbb{Q}$ 上有上界, 故 $X+Y$ 也有上界;
2.	$X+Y$ 没有最大元素: 任意 $r=x+y\in X+Y$, 取 $x<x^{\prime }\in X$ 与 $y<y^{\prime }\in Y$, 则 $r<x^{\prime }+y^{\prime }$;
3.	取 $a=x+y\in X+Y$ 且 $b\in \mathbb{Q}\setminus (X+Y)$, 若 $b<a$, 令 $x^{\prime }=x-(a-b)\in X$ 有 $b=x^{\prime }+y$, 矛盾.

$\square$

引理 7. $X$ 是 Dedekind 分割, 对于任意正有理数 $r$, 存在 $x\in X,y\in \mathbb{Q}\setminus X$ 使得 $y-x=r$.

证明. 任取 $x_0\in X$ 与 $y_0\in \mathbb{Q}\setminus X$, 二分归纳定义: $$\begin{array}{rl}{x}_{n+1}:=& \{\begin{array}{ll}\frac{x_n+y_n}{2}& \frac{x_n+y_n}{2}\in X\\ x_n& \frac{x_n+y_n}{2}\in \mathbb{Q}\setminus X\end{array}\\ y_{n+1}:=& \{\begin{array}{ll}{y}_n& \frac{x_n+y_n}{2}\in X\\ \frac{x_n+y_n}{2}& \frac{x_n+y_n}{2}\in \mathbb{Q}\setminus X\end{array}\end{array}$$此时 $0<y_n-x_n=2^{-n}(y_0-x_0)$, 取充分大 $n$ 后缩小 $x_n$ 即可.

$\square$

引理 8 (消去律). 若 $X,Y,Z$ 是 Dedekind 分割, 且 $X+Y=X+Z$, 则 $X=Y$.

证明. 若否, 不妨假设 $Y<Z$, 则存在 $z\in Z\setminus Y$ 任意寻求 $z<z^{\prime }\in Z$, 利用 7 可取 $x\in X,x^{\prime }\in \mathbb{Q}\setminus X$ 使得 $z^{\prime }-z>x^{\prime }-x$, 此时对于任意 $x^{\prime \prime }\in X,y\in Y$, 有: $$x^{\prime \prime }+y<x^{\prime }+z<x+z^{\prime }\in X+Z$$(1)

$\square$

定义 9. 定义 $\overline{0}:=\left\{x\in \mathbb{Q}:x<0\right\}$, 取 $X\in \mathbb{R}$, 定义: $$-X:=\{\begin{array}{ll}\left\{x:x<-r\right\}& \exists r,X=\left\{x:x<r\right\}\\ \mathbb{Q}\setminus \left\{-x:x\in X\right\}& \forall r,X\ne \left\{x:x<r\right\}\end{array}$$(2)

证明. Omitted.

$\square$

定义 10 (乘法结构). 对任意 $X,Y\in \mathbb{R}$ 定义: $$X\cdot Y:=\{\begin{array}{ll}\overline{0}& X=\overline{0}\vee Y=\overline{0}\\ \left\{xy:0\le x\in X,0\le y\in Y\right\}\cup \overline{0}& X>\overline{0}\wedge Y>\overline{0}\\ -\left(-X\right)\cdot Y& X<\overline{0}\wedge Y>\overline{0}\\ -X\cdot \left(-Y\right)& X>\overline{0}\wedge Y<\overline{0}\\ \left(-X\right)\cdot \left(-Y\right)& X<\overline{0}\wedge Y<\overline{0}\end{array}$$(3)

证明. Omitted.

$\square$

定理 11 (Archimedes 性质). 任意正数 $x\in {\mathbb{R}}_{>0}$, 任意实数 $y\in \mathbb{R}$, 存在正整数 $n\in {\mathbb{Z}}_{>0}$, 使得 $nx>y$.

证明. 找 $y_0\in \mathbb{Q}\setminus Y$ 与 $x_0\in X$, 运用 $\mathbb{Q}$ 上的 Archimedes 性.

$\square$

引理 12. 对任意正实数 $A$, 存在正实数 $M,\epsilon$ 使得 $M>A>\epsilon$.

证明. 对 $1,A$ 使用 Archimedes 性, 另一个不等号考察 $A^{-1}$ 即足.

$\square$

定理 13 (区间套原理). 令 $[a_n,b_n]$ 是一列闭区间套, 即 $a_n\le a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_n$, 则存在实数 $c$ 使得对任意 $n$ 有 $c\in [a_n,b_n]$.

证明. 利用 $S:=\left\{a_i\right\}$ 有上界 $b_1$, 故有上确界 $c$, 依赖每个 $b_n$ 都是 $S$ 的上界知 $a_n\le c\le b_n$.

$\square$

脚注