用户: Ruiqi chen/CoursesNotes/数学分析 I (实验班)/Oct 9 2024

1正文

定理 1.1. $f$ 在紧集 $K\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 上连续, 则 $f$ 在 $K$ 上一致连续.

证明. 反设存在 ${\epsilon }_0>0$, 任意 $n$ 均存在 $x_n,y_n\in K$ 使得: $$\left|x_n-y_n\right|<\frac{1}{n},\left|f(x_n)-f(y_n)\right|\ge {\epsilon }_0$$(1)则 $\{x_n\}$ 有收敛子列 $\{x_{n_k}\}$ 收敛于 $x$, 则 $\{y_{n_k}\}$ 也收敛于 $x$, 此时 $f(x_{n_k})\to f(x)$, $f(y_{n_k})\to f(x)$, 矛盾.

$\square$

例 1.2. 令 $f:K\to K$ 为 (连续?) 映射, $K\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 为紧集, 满足: $$\left|f(x)-f(y)\right|\ge \left|x-y\right|,\forall x,y\in K$$(2)则 $f$ 是双射且 $f$ 等距.

定理 1.3. 若 $f_n$ 连续一致收敛到 $f$, 则 $f$ 连续, 即: $$\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }{f}_n(x)$$(3)

证明. 有不等式: $$\left|f(x)-f(x_0)\right|\le \left|f(x)-f_n(x)\right|+\left|f_n(x)-f_n(x_0)\right|+\left|f_n(x_0)-f(x_0)\right|$$(4)

$\square$

定义 1.4 (赋范空间). $X$ 是线性空间, $\Vert \cdot \Vert :X\to {\mathbb{R}}_{\ge 0}$ 满足:

1.	$\Vert x\Vert =0⟺x=0$;
2.	$\Vert \lambda x\Vert =\left|\lambda \right|\Vert x\Vert$, $\lambda \in \mathbb{R}$;
3.	$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$

二元组 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 称为 赋范空间.

定义 1.5 (Banach 空间). 完备的赋范空间称为 Banach 空间.

例 1.6 (无穷范数). 令 $C(K)$ 为 $K$ 上所有连续函数构成的空间, 则: $${\Vert f\Vert }_{\infty }=\underset{x\in K}{\sup }\left|f(x)\right|$$(5)为 $C(K)$ 上的范数, 则 $C(K)$ 为 Banach 空间.

证明. 任取 Cauchy 列 $\{f_n\}$, 则: $${\Vert f_n-f_m\Vert }_{\infty }=\underset{x\in K}{\sup }\left|f_n(x)-f_m(x)\right|<\epsilon ,\forall n,m\ge N$$(6)用此容易验证一致收敛, 故 $f$ 连续.

$\square$

推论 1.7. $K$ 在 $X$ 上紧, $f_n\in C(K)$ 如果 ${\sum }_{n=1}^{+\infty }{\Vert f_n\Vert }_{\infty }<+\infty$, 则 ${\sum }_{n=1}^{+\infty }{f}_n$ 在 $K$ 上连续.

例 1.8 (Weierstrass). 令 $0<a<1$ 而 $b>0$, 函数$$W_{a,b}(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{a}^n\cos b^{n}x$$(7)

例 1.9. 存在 $f:[0,1]\to [0,1]\times [0,1]$ 的连续满射.

证明. 归纳分形构造 $f_n(x)$, 一致收敛故连续, 闭而稠密故满.

$\square$

定义 1.10 (导数). $x\in I$, $I$ 为区间, 如果$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$(8)存在, 则称 $f$ 在 $x_0$ 处可导, $f^{\prime }(x_0)$ 为上述极限.

定义 1.11. 若任意 $x\in I$, $f$ 在 $x$ 处可导, 称 $f$ 在 $I$ 上可微的.

若 $f^{\prime }\in C(I)$, 称 $f$ 在 $I$ 上连续可微的, 全体连续函数记作 $C^1(I)$.

注 1.12. $f$ 在 $x_0$ 处可为当且仅当: $$f(x_0+h)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)h+o(h)$$(9)

例 1.13. $C^{\prime }=0$, ${(x+C)}^{\prime }=1$.

定义 1.14. 高次导数记作 $f^{\prime \prime \dots \prime }$, 或 $f^{(n)},\frac{d^n}{{dx}^n}f$. 定义 $C^{\infty }$ 为光滑函数, 即无穷次可导. $C^k(I)$ 为 $k$ 次连续可微函数.

命题 1.15 (四则运算). $f,g$ 在 $a,b$ 上定义, 在 $x_0\in (a,b)$ 可导, 则:

1.	${(f\pm g)}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)\pm g^{\prime }(x_0)$;
2.	${(fg)}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)g(x_0)+f(x_0)g^{\prime }(x_0)$;
3.	${(f/g)}^{\prime }(x_0)=\frac{f^{\prime }(x_0)g(x_0)-f(x_0)g^{\prime }(x_0)}{g^2(x_0)}$, $g(x_0)\ne 0$.

命题 1.16 (链式法则). $f:I\to J,g:J\to \mathbb{R}$, $f$ 在 $x_0\in I$ 可导, $g$ 在 $f(x_0)\in J$ 可导, 则: $${(g\circ f)}^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(f(x_0))f^{\prime }(x_0)$$(10)

证明. 有: $$\begin{array}{rl}(g\circ f)(x_0+h)& =g(f(x_0)+h{f}^{\prime }(x_0)h+o(h))\\ & =g(f(x_0))+g^{\prime }(f(x_0))f^{\prime }(x_0)h+o(h)\end{array}$$

$\square$

例 1.17.

1.	${(x^n)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$;
2.	${(e^x)}^{\prime }=e^x$;
3.	${(\ln x)}^{\prime }=\frac{1}{x}$;
4.	${(x^a)}^{\prime }={(e^{a\ln x})}^{\prime }=a{x}^{a-1}$;
5.	${(\sin x)}^{\prime }=\cos x$, ${(\cos x)}^{\prime }=-\sin x$;

定理 1.18 (Leibniz 公式). $${(fg)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)f^{(k)}{g}^{(n-k)}$$(11)

定理 1.19 (Faà di Bruno 公式). $${(f\circ g)}^{(n)}=\sum _{m=1}^n\sum _{{(k_i)}_{i=1}^n\in {\Gamma }_m}\frac{n!}{{\prod }_{i=1}^n{k}_i!}{f}^{(m)}\circ g\times {\left(\frac{dg}{1!dx}\right)}^{k_1}\times \cdots \times {\left(\frac{d^{n}g}{n!{dx}^n}\right)}^{k_n}$$(12)其中 ${\Gamma }_m:=\{(k_1,\dots ,k_n)\mid k_i\ge 0,{\sum }_{i=1}^n{k}_i=m,{\sum }_{i=1}^{n}i{k}_i=n\}$.