用户: Ruiqi chen/CoursesNotes/数学分析 I (实验班)/Oct 7 2024

正文

引理 1. $\overline{X}$ 为闭集.

证明. 若否, 则存在 $x\notin \overline{X}$ 使得对任意 $\epsilon$, 有 $B_{\epsilon }(x)\cap \overline{X}\ne \varnothing$, 从而存在 $x_n\in B_{1/n}(x)\cap \overline{X}$ 则有:

1.	$x_n\in X$
2.	$x_n\notin X$, 此时有 $x_n\in X^{\prime }$, 从而存在 $y_n\in X$ 使得 $\left|x_n-y_n\right|<1/n$, 此时 $\left|y_n-x\right|<2/n$

从而 $x\in X^{\prime }$, 矛盾.

$\square$

推论 2. 闭包 $\overline{X}$ 是包含 $X$ 的最小闭集.

引理 3. 度量空间中的集合为闭集当且仅当 $\forall x_n\in X$, 满足 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=x$, 均有 $x\in X$.

证明. 若 $X$ 为闭集, 则对任意 $x\notin X$, 存在 $B_{\epsilon }(x)\cap X=\varnothing$, 与 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=x$ 矛盾.

若 $\forall x_n\in X$, 满足 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=x$, 均有 $x\in X$. 反设 $X$ 不闭, 则有 $x\notin X$, 对任意 $n$ 有 $x_n\in B_{1/n}(x)\cap X$, 从而 $x={\lim }_{n\to \infty }{x}_n\in X$, 矛盾.

$\square$

定义 4. 对 $x\in X$, 若存在 $B_{\epsilon }(x)\subseteq X$, 则称 $x$ 为内点, $X$ 的全体内点记作 $\mathring{X}:=X\setminus \overline{X^c}$. 定义边界点集为 $\partial X:=\overline{X}\setminus \mathring{X}$.

推论 5. 边界点集是闭集.

证明. 由 $\partial X=\overline{X}\cap \overline{X^c}$ 可得.

$\square$

定义 6 (连续映射). 拓扑空间 $(X_1,{\mathcal{T}}_1)$ 到 $(X_2,{\mathcal{T}}_2)$ 的映射 $f:X_1\to X_2$ 是连续的, 如果对任意 $A\in {\mathcal{T}}_2$, 有 $f^{-1}(A)\in {\mathcal{T}}_1$.

引理 7. 假定 $f$ 是从度量空间 $(X_1,d_1)$ 到 $(X_2,d_2)$ 的映射, 则 $f$ 是连续的等价于作为度量诱导的拓扑空间间的映射是连续的.

证明. 假定 $f$ 是度量空间间的连续映射, 假定 $U$ 是 $X_2$ 中的开集, 要证明 $f^{-1}(U)$ 是 $X_1$ 中的开集, 取 $x_1\in f^{-1}(U)$, 此时 $x_2:=f(x_1)\in U\subseteq X_2$, 从而存在 $\epsilon >0$ 使得 $B_{\epsilon }(x_2)\subseteq U$, 依连续定义: $$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,d_1(x_1,y_1)<\delta ⟹d_2(f(x_1),f(y_1))<\epsilon$$(1)知 $f(B_{\delta }(x_1))\subseteq (B_{\epsilon }(x_2))\subseteq U$, 从而 $B_{\delta }(x_1)\subseteq f^{-1}(U)$, 故 $f^{-1}(U)$ 是开集.

假设开集的原像集是开集, 在 $X_1$ 中取收敛列 $x_n\to x_1\in X_1$, 要证明 $f(x_n)\to f(x_1)$. 注意到 $x_1\in f^{-1}(B_{\epsilon }(f(x_1)))$ 是 $X_1$ 中的开集, 从而存在 $\delta >0$ 使得 $B_{\delta }(x_1)\subseteq f^{-1}(B_{\epsilon }(f(x_1)))$, 从而存在 $N$ 使得 $n>N$ 时有 $x_n\in B_{\delta }(x_1)$, 从而 $f(x_n)\in B_{\epsilon }(f(x_1))$, 故 $f(x_n)\to f(x_1)$.

$\square$

定义 8 (稠密). $X$ 是拓扑空间, $Y\subseteq X$, 如果 $\overline{Y}=X$, 则称 $Y$ 在 $X$ 中稠密.

注 9. (考察度量空间情形) 连续函数的取值由稠密子集上的取值决定. $$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }f(x_n),x_n\in Y$$(2)

定义 10 (开覆盖). 令 $S$ 为拓扑空间 $X$ 的子集, ${\{U_{\alpha }\}}_{\alpha \in A}$ 为 $S$ 的一个开覆盖, 若 $U_{\alpha }$ 为 $X$ 中的开集, 且 $S\subseteq {\bigcup }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha }$, 则称 ${\{U_{\alpha }\}}_{\alpha \in A}$ 为 $S$ 的开覆盖.

一个开覆盖 ${\{U_{\alpha }\}}_{\alpha \in A}$ 的子覆盖是指 $A^{\prime }\subseteq A$, 使得 ${\{U_{\alpha }\}}_{\alpha \in A^{\prime }}$ 仍是 $S$ 的开覆盖.

如果 $S$ 的任意开覆盖都有有限子覆盖 ${\{U_{{\alpha }_k}\}}_{k=1}^N$, 则称 $S$ 是紧的.

命题 11. $f$ 是拓扑空间 $X$ 到 $Y$ 的连续映射, 若 $K\subseteq X$ 为紧集, 则 $f(K)\subseteq Y$ 为紧集.

证明. 取 $f(K)$ 的开覆盖 ${\{U_{\alpha }\}}_{\alpha \in A}$, 由 $f$ 的连续性知 ${\{f^{-1}(U_{\alpha })\}}_{\alpha \in A}$ 为 $K$ 的开覆盖, 从而存在有限子覆盖 ${\{f^{-1}(U_{{\alpha }_k})\}}_{k=1}^N$, 从而 ${\{U_{{\alpha }_k}\}}_{k=1}^N$ 为 $f(K)$ 的有限子覆盖.

$\square$

定理 12 (Cantor 闭集套定理). $F_k$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的有界闭集, 且 $F_{k+1}\subseteq F_k$, 则 ${\bigcap }_{k=1}^{\infty }{F}_k\ne \varnothing$.

证明. 去除 $F_k$ 中相同的点, 取 $x_n\in F_n\setminus F_{n+1}$, 点列 $x_n$ 有界, 故依赖 Bolzano-Weierstrass 定理有收敛子列 $x_{n_k}\to x$, 当 $k$ 足够大时 $n_k>n$, 故对任意 $n$ 有 $x\in F_n$, 从而 $x\in {\bigcap }_{n=1}^{\infty }{F}_n$.

$\square$

定理 13 (Heine-Borel 定理). $K\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 为紧集当且仅当 $K$ 为有界闭集.

证明. 假定 $K$ 是紧集, 取开覆盖 $B_n(0)$ 为 $K$ 的开覆盖, 从而存在有限子覆盖, 从而 $K$ 有界. 对 $x_0\notin K$, 取开覆盖 ${\{x|2^{k-1}<\left|x-x_0\right|<2^{k+1}\}}_{k=-\infty }^{\infty }$, 存在有限子覆盖, 从而存在 $B_{2^{-n-1}}(x_0)\cap K=\varnothing$, 从而 $K$ 为闭集.

假定 $K$ 为有界闭集, 而 ${\{U_{\alpha }\}}_{\alpha \in A}$ 为 $K$ 的开覆盖而不存在有界子覆盖, 考察边长为 $1$ 的方块 ${\mathbb{R}}^n=\bigcup I_j$, 此时 $K\cap I_j$ 有界闭且 $K\cap I_j\ne \varnothing$ 的 $j$ 有限, 此时存在某个 $I_j\cap K$ 不能被有限个 $U_{\alpha }$ 覆盖, 记作 $K_1:=I_j\cap K$, 降低方块边长为一半, 同理递归构造 $K_n$, 则每个 $K_n$ 均不能被有限个 $U_{\alpha }$ 覆盖, 依赖 Cantor 定理知存在 $x\in {\bigcap }_{n=1}^{\infty }{K}_n$, 从而有 $U_{\alpha }$ 使得 $x\in U_{\alpha }$, 依赖 $U_{\alpha }$ 为开集知存在 $\epsilon >0$ 使得 $B_{\epsilon }(x)\subseteq U_{\alpha }$, 而 ${\sup }_{a,b\in K_n}\left|a-b\right|\to 0$ 知此时存在 $K_n\subseteq B_{\epsilon }(x)$ 与不能被有限个 $U_{\alpha }$ 覆盖矛盾.

$\square$

推论 14 (列紧性与有界性). 对 $K\subseteq {\mathbb{R}}^n$, 若对于任意点列 $x_n\in K$, 存在收敛子列 $x_{n_k}\to x$, 且 $x\in K$, 则 $K$ 称 $K$ 为列紧的.

$K$ 为列紧当且仅当 $K$ 为紧集.

推论 15. 对度量空间 $X$, $K\subseteq X$ 为紧集则 $K$ 有界闭.

$K\subseteq X$ 紧集当且仅当 $K$ 列紧.

定义 16 (一致连续). $f$ 在 $(X,d)$ 上一致连续, 若: $$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x,y\in X,d(x,y)<\delta ⟹d(f(x),f(y))<\epsilon$$(3)也即 $\delta$ 与 $x$ 无关的连续.

例 17. $(0,1)$ 上的函数 $f(x)=1/x$ 不是一致连续的.

定理 18. $(X,d)$ 中紧集 $K$ 上的连续函数 $f$ 一致连续.