用户: Ruiqi chen/CoursesNotes/数学分析 I (实验班)/Oct 23 2024

1正文

定理 1.1. $\mu$ 单调增, 连续, $f$ 单调, 则 $f$ 可积.

证明. 有: $$\sum (\mu (x_i)-\mu (x_{i-1}))\left|f(x_i)-f(x_{i-1})\right|\le \epsilon \left|f(b)-f(a)\right|$$(1)

$\square$

定理 1.2. $f$ 在 $[a,b]$ 上可积, $\phi$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续, 则 $\phi \circ f$ 可积.

证明. 有界 $\left|f\right|\le C$, 假定任意 $x,y\in [-C,C]$ 都有 $\left|x-y\right|<\delta$ 蕴含 $\left|\phi (x)-\phi (y)\right|<\epsilon$: $$\begin{array}{rl}{\overline{S}}_{\mu }(\phi f;\sigma )-{\underline{S}}_{\mu }(\phi f;\sigma )& =\sum (\mu (x_i)-\mu (x_{i-1}))(\underset{[x_{i-1},x_i]}{\sup }\phi f-\underset{[x_{i-1},x_i]}{\inf }\phi f)\\ & =\sum _{M_i-m_i<\delta }(\mu (x_i)-\mu (x_{i-1}))(\underset{[x_{i-1},x_i]}{\sup }\phi f-\underset{[x_{i-1},x_i]}{\inf }\phi f)\\ & +\sum _{M_i-m_i\ge \delta }(\mu (x_i)-\mu (x_{i-1}))(\underset{[x_{i-1},x_i]}{\sup }\phi f-\underset{[x_{i-1},x_i]}{\inf }\phi f)\\ & \le \epsilon \sum _{M_i-m_i<\delta }(\mu (x_i)-\mu (x_{i-1}))+K\sum _{M_i-m_i\ge \delta }(\mu (x_i)-\mu (x_{i-1}))\\ & \le \epsilon (\mu (b)-\mu (a))+K{\delta }^{-1}{\epsilon }^{\prime }\\ M_i& :=\underset{[x_{i-1},x_i]}{\sup }f\\ m_i& :=\underset{[x_{i-1},x_i]}{\inf }f\\ K& :=2\underset{x\in [a,b]}{\sup }\left|\phi (f(x))\right|\\ {\epsilon }^{\prime }& :={\overline{S}}_{\mu }(f;\sigma )-{\underline{S}}_{\mu }(f;\sigma )\end{array}$$

$\square$

命题 1.3.

1.	$\mathcal{R}(\mu )$ 是线性空间, $f,g\in \mathcal{R}(\mu )$ 则 $af+bg\in \mathcal{R}(\mu )$.
2.	积分的单调性, $f\le g$ 则 $\int fd\mu \le \int gd\mu$.
3.	区间可叠加, $f$ 在 $[a,b]$ 上可积, 任意 $c\in [a,b]$ 有 $f$ 在 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 上可积, 且 ${\int }_a^{b}fd\mu ={\int }_a^{c}fd\mu +{\int }_c^{b}fd\mu$.
4.	三角不等式 $f$ 可积则 $\left|f\right|$ 可积, 此时 $\left|\int fd\mu \right|\le \int \left|f\right|d\mu$.
5.	测度的线性, 对 $\alpha ,\beta >0$, 有 $\int fd(\alpha \mu +\beta \nu )=\alpha \int fd\mu +\beta \int fd\nu$.
6.	$f,g$ 可积则 $fg$ 可积.

例 1.4. $0\le \beta <\alpha$ 定义跳跃函数: $$j(x)=\{\begin{array}{ll}0& x<0\\ \alpha & 0<x\\ \beta & x=0\end{array}$$(2)函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 定义, 在 $s\in [a,b]$ 处连续, 则: $${\int }_a^{b}fdj(x-s)=f(s)\alpha$$(3)$\beta =0,\alpha =1$ 时称作 Heaviside 函数.

例 1.5. $0\le {\beta }_n<{\alpha }_n,{\sum }_{n=1}^{\infty }{\alpha }_n<\infty$, $x_n$ 是 $(a,b)$ 上互不相同的点, $j_n$ 为对应跳跃函数, 定义: $$j=\sum _{n=1}^{\infty }{j}_n(x-x_n)$$(4)对于 $[a,b]$ 上有界且在 $x_n$ 处连续的 $f$ 有: $${\int }_a^{b}fdj=\sum _{n=1}^{\infty }f(x_n){\alpha }_n$$(5)

定理 1.6 (微积分基本定理). $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积, $\mu =x$, 对任意 $x\in [a,b]$, 定义 $F(x)={\int }_a^{x}f(y)dy$, 则 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 如果 $f$ 在 $x_0$ 处连续, $F(x)$ 在 $x_0$ 处可导, 且 $F^{\prime }(x_0)=f(x_0)$. 如果 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续, 则 $F^{\prime }(x)=f$ 称 $F$ 为 $f$ 的原函数.

定理 1.7 (Newton–Leibniz 公式). $F$ 在 $[a,b]$ 上可导, 导函数 $F^{\prime }$ Riemann 可积, 则: $${\int }_a^b{F}^{\prime }(x)dx=F(b)-F(a)$$(6)