用户: Ruiqi chen/CoursesNotes/数学分析 I (实验班)/Oct 16 2024

正文

定理 1 (逐项求导). $f_k$ 在 $[a,b]$ 上可导, 无穷级数 ${\sum }_{k=1}^{+\infty }{f_k}^{\prime }$ 一致收敛, 存在一个 $x_0$, ${\sum }_{k=1}^{+\infty }{f}_k(x_0)$ 存在, 则 ${\sum }_{k=1}^{+\infty }{f}_k$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛, 且极限函数可导, 满足: $$\sum _{k=1}^{+\infty }{f_k}^{\prime }={\left(\sum _{k=1}^{+\infty }{f}_k\right)}^{\prime }$$(1)

证明. 对任意 $\epsilon >0$, 存在 $N$ 使得对 $m,n>N$ 都有: $$\left|\sum _{k=n}^m{f_k}^{\prime }\right|<\epsilon$$(2)对任意 $x$, 存在 $\xi$ 使得: $$\left|\sum _{k=n}^m{f}_k(x)-\sum _{k=n}^m{f}_k(x_0)\right|=\sum _{k=n}^m\left|{f_k}^{\prime }({\xi }_i)\right|\left|x-x_0\right|<\epsilon (b-a)$$(3)故 ${\sum }_{k=1}^{+\infty }{f}_k$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛. 存在 $\left|\xi \right|<\left|h\right|$ 使得$$\left|\frac{{\sum }_{k=n}^m{f}_k(x+h)-{\sum }_{k=n}^m{f}_k(x)}{h}\right|<\left|\sum _{k=n}^m{f_k}^{\prime }(x+\xi )\right|<\epsilon$$(4)固定 $h$, 令 $m\to \infty$, 故余项带来的导数趋于 $0$: $$\left|\frac{{\sum }_{k=n}^{+\infty }{f}_k(x+h)-{\sum }_{k=n}^{+\infty }{f}_k(x)}{h}\right|<\epsilon$$(5)利用以下等式放缩, 余项均可被控制. $$\frac{{\sum }_{k=1}^{n-1}{f}_k(x+h)-{\sum }_{k=1}^{n-1}{f}_k(x)}{h}=\sum _{k=1}^{n-1}{f_k}^{\prime }(x+\xi )$$(6)

$\square$

命题 2 (L’Hospital 法则). $f$ 在 $(a,b)$ 上可导, 满足

1.	${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)={\lim }_{x\to a^{-}}g(x)=0$
2.	$g^{\prime }(x)\ne 0$
3.	${\lim }_{x\to a^{+}}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ 存在

则: $$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$(7)

证明. $f(a)=g(a)=0$, 依赖 Cauchy 中值定理有: $$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$$(8)

$\square$

推论 3. 做变换 $x\mapsto 1/x$ 可计算趋向无穷的极限.

命题 4. $f$ 在 $(a,b)$ 上可导, 满足

1.	${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)={\lim }_{x\to a^{-}}g(x)=\infty$
2.	$g^{\prime }(x)\ne 0$
3.	${\lim }_{x\to a^{+}}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ 存在

则: $$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$(9)

证明. 取定任意 $x_0$ 依 Cauchy 中值有恒等式: $$\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(x_0)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}\frac{g(x)-g(x_0)}{g(x)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}\frac{g(x)-g(x_0)}{g(x)}$$(10)取定 $x_0\to a$ 再令 $x\to a$, 放缩即可.

$\square$

推论 5. $f,g$ 在 $(a,b)$ 上 $n$ 次可导, 有: $$\underset{x\to a^{+}}{\lim }{f}^{(k)}(x)=0=\underset{x\to a^{+}}{\lim }{g}^{(k)}(x),0\le k<n$$(11)且 ${\lim }_{x\to a^{+}}\frac{f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)}$ 存在, 而 $g^{(n)}(x)\ne 0$, 则: $$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)}$$(12)

例 6. 定义: $$\begin{array}{rl}f(x)& =x+\sin x\cos x\\ g(x)& =e^{\sin x}(x+\sin x\cos x)\end{array}$$

定理 7 (Taylor 展开, Peano 余项). $f$ 在 $a$ 处 $n$ 次可导, 则: $$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}{(x-a)}^k+o({(x-a)}^n)$$(13)

证明. 考察: $$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-{\sum }_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}{(x-a)}^k}{(x-a{)}^n}=\frac{1}{n!}\underset{x\to a}{\lim }\left(\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(a)}{(x-a)}-f^{(n)}(a)\right)=0$$(14)

$\square$

定理 8 (Taylor 展开, Lagrange 余项). $f$ 在 $[a,b]$ 上 $n$ 次连续可导, 在 $(a,b)$ 上 $n+1$ 次可导, 则: $$\begin{array}{rl}f(x)& =\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}{(x-a)}^k+R_n(x)\\ R_n(x)& =\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},a<\xi <x\end{array}$$

定理 9 (Taylor 展开, Cauchy 余项). $f$ 在 $[a,b]$ 上 $n$ 次连续可导, 在 $(a,b)$ 上 $n+1$ 次可导, 则: $$\begin{array}{rl}f(x)& =\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}{(x-a)}^k+\overline{R_n}(x)\\ \overline{R_n}(x)& =\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{(x-\xi )}^n(x-a),a<\xi <x\end{array}$$

证明. 定义: $$F(t):=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(t)}{k!}{(x-t)}^k=f(t)+\sum _{k=1}^n\frac{f^{(k)}(t)}{k!}{(x-t)}^k$$(15)从而: $$F^{\prime }(t)=\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}{(x-t)}^n$$(16)在 $[a,x]$ 上构造函数 $G(t):={(x-t)}^p$, 则 $G^{\prime }(t)=-p{(x-t)}^{p-1}\ne 0$, 从而: $$\frac{F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}=\frac{F^{\prime }(\xi )}{G^{\prime }(\xi )}=-\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{pn!}{(x-\xi )}^{n-p+1}$$(17)

$\square$

例 10. $$e^x=\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+o(x^n)$$(18)

例 11. $$f(x):=\{\begin{array}{ll}{e}^{-1/x^2}& x\ne 0\\ 0& x=0\end{array}$$(19)满足 $f^{(n)}(0)=0$, 光滑但不解析.

定义 12 (凸函数). 在区间 $[a,b]$ 上, $f$ 是凸函数当且仅当$$f(\lambda x+(1-\lambda )y)\le \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)$$(20)

定义 13 (凸集). 线性空间 $V$ 的子集 $C$ 是凸集如果 $C$ 中任意两点的连线还在 $C$ 里.

注 14. $f$ 为凸函数当且仅当以下集合为凸集: $${\Gamma }_{\le f}:=\left\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|y\ge f(x)\right\}$$(21)

定理 15 (Jensen 不等式). $f$ 是凸函数, 则: $$f\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{x}_i\right)\le \sum _{i=1}^n{\lambda }_{i}f(x_i)$$(22)