用户: Ruiqi chen/CoursesNotes/数学分析 I (实验班)/Nov 6 2024

正文

定理 1 (余元公式). 令 $0<p<1$, 则: $$\mathrm{B}(p,1-p)=\Gamma (p)\Gamma (1-p)=\frac{\pi }{\sin (\pi p)}$$(1)

例 2. 令 $p\in (-1,1)$, 计算: $${\int }_0^{+\infty }\frac{x^p}{1+x^2}dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\tan }^p\theta }{1+{\tan }^2\theta }d\tan \theta =\frac{1}{2}\mathrm{B}\left(\frac{p}{2}+\frac{1}{2},\frac{1}{2}-\frac{p}{2}\right)=\frac{\pi }{2\sin \left(\frac{p+1}{2}\pi \right)}$$(2)

定理 3 (逐项积分). 令 $f_n$ 在 $[a,b]$ 上可积, ${\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_n$ 一致收敛且极限函数在 $[a,b]$ 可积, 则: $${\int }_a^b\sum _{n=1}^{\infty }{f}_{n}dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_a^b{f}_{n}dx$$(3)

证明. 对任意 $\epsilon >0$, 存在 $N$ 使得: $$\left|\sum _{n=N}^{\infty }{f}_k(x)\right|<\epsilon$$(4)从而此时: $$\left|{\int }_a^b\sum _{n=1}^{\infty }{f}_{n}dx-\sum _{n=1}^N{\int }_a^b{f}_{n}dx\right|\le \epsilon (b-a)$$(5)特别的, 此时积分的求和极限存在.

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例 4. 有展开: $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots$$(6)在 $[0,t],0<t<1$ 上一致收敛, 故: $$-\ln (1-t)={\int }_0^t\frac{1}{1-x}dx=t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}+\cdots$$(7)特别的, 令 $t\to -1$, 考察极限: $$\underset{t\to 1}{\lim }\left(t-\frac{t^2}{2}\right)+\left(\frac{t^3}{3}-\frac{t^4}{4}\right)+\cdots =1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots =\ln 2$$(8)

例 5. 有: $$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots$$(9)从而: $$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots$$(10)令 $x\to 1$ 有: $$\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots$$(11)

命题 6 (含参变量积分导数). 二元函数 $f(x,t)$ 连续, 关于 $t$ 的导数: $$\frac{d}{dt}f(x,t):=\underset{\Delta \to 0}{\lim }\frac{f(x,t+\Delta )-f(x,t)}{\Delta }$$(12)在 $[a,b]\times [c,d]$ 上连续, 那么关于 $t$ 的函数: $$F(t):={\int }_a^{b}f(x,t)dx$$(13)可导, 且: $$F^{\prime }(t)={\int }_a^b{f}^{\prime }(x,t)dx$$(14)

证明. 注意到 $[a,b]\times [c,d]$ 紧, 所以 $\frac{df}{dt}$ 一致连续.

注意到 $F(t)$ 存在, 由 Lagrange 中值定理, 有: $$\frac{F(t+h)-F(t)}{h}={\int }_a^b\frac{df}{dt}(x,t+\theta (x,h)h)dx$$(15)故一致连续保证下述趋于 $0$: $$\left|{\int }_a^b\frac{df}{dt}(x,t+\theta (x,h)h)-\frac{df}{dt}(x,t)dx\right|\le {\int }_a^b\left|\frac{df}{dt}(x,t+\theta (x,h)h)-\frac{df}{dt}(x,t)\right|dx$$(16)

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命题 7 (含参变量广义积分导数). 二元函数 $f(x,t)$ 连续, 关于 $t$ 的导数 $\frac{df}{dt}$ 在 $[a,b)\times [c,d]$ 上连续, 在 $[a,b)$ 奇异积分存在且一致收敛. 且存在 $t_0$ 使得 $f(x,t_0)$ 在 $[a,b)$ 上可积, 则$$F(t)={\int }_a^{b}f(x,t)dx$$(17)可导, 且 $F^{\prime }(t)={\int }_a^b\frac{df}{dt}(x,t)dx$.

证明. 取 $b_n\uparrow b$, 此时: $$F_n(t):={\int }_{b_{n-1}}^{b_n}f(x,t)dx$$(18)则此时: $${F_n}^{\prime }(t)={\int }_{b_{n-1}}^{b_n}\frac{df}{dt}(x,t)dx$$(19)广义积分一致收敛蕴含 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{F_n}^{\prime }(t)$ 一致收敛, 依逐项求导有: $${\left(\sum _{n=1}^{\infty }{F}_n(t)\right)}^{\prime }=\sum _{n=1}^{\infty }{F_n}^{\prime }(t)$$(20)且 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{F}_n(t)$ 一致收敛.

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例 8. $${\int }_0^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi }{2}$$(21)

证明. 对 $t\ge 0$, 定义: $$F(t)={\int }_0^{+\infty }{e}^{-tx}\frac{\sin x}{x}dx$$(22)有: $$F^{\prime }(t)=-{\int }_0^{+\infty }{e}^{-tx}\sin xdx=-\frac{1}{1+t^2}$$(23)忽略收敛性的讨论, 此时有: $$F(t)=C-\arctan t$$(24)当 $t\to +\infty$ 有 $F(t)\to 0$ 故 $C=\frac{\pi }{2}$, 考察 $t\to 0$.

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