用户: Ruiqi chen/CoursesNotes/数学分析 I (实验班)/Nov 4 2024

1正文

定理 1.1 (第一积分中值定理). $\mu$ 在 $[a,b]$ 上单调增, $f$ 连续, $g$ 是非负可积, 则存在 $\xi \in [a,b]$ 使得: $${\int }_a^{b}fgd\mu =f(\xi ){\int }_a^{b}gd\mu$$(1)

证明. 连续函数的介值定理, 注意到: $$\min f{\int }_a^{b}gd\mu \le {\int }_a^{b}fgd\mu \le \max f{\int }_a^{b}gd\mu$$(2)

$\square$

定理 1.2 (第二积分中值定理). $g$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积, $f$ 非负递减, 则存在 $\xi \in [a,b]$ 使得: $${\int }_a^{b}fgdx=f(a){\int }_a^{\xi }gdx$$(3)

证明. 定义: $$G(x)={\int }_a^{x}g(t)dt$$(4)假定 $g$ 连续, 考察: $$f(a)\min G<{\int }_a^{b}fgdx=f(b)G(b)+{\int }_a^{b}Gd(-f)<f(a)\max G$$(5)于是对连续 $g$ 存在所需 $\xi$.

对不连续 $g$ 注意到可积函数可用阶梯函数逼近, 如: $$h(x)=\underset{[x_{i-1},x_i]}{\sup }g,x\in [x_{i-1},x_i]$$(6)阶梯函数又可由连续函数逼近, 故对任意 $\epsilon$ 存在连续 $g_{\epsilon }$ 使得: $${\int }_a^b\left|g-g_{\epsilon }\right|<\epsilon$$(7)此时有 ${\xi }_{\epsilon }$ 使得: $${\int }_a^{b}f{g}_{\epsilon }dx=f(a){\int }_a^{{\xi }_{\epsilon }}gdx$$(8)考察 ${\xi }_{\epsilon }$ 的聚点, 注意到: $$\left|{\int }_a^{b}f{g}_{\epsilon }dx-{\int }_a^{b}fgdx\right|<f(a){\int }_a^b\left|g_{\epsilon }-g\right|dx<\epsilon f(a)$$(9)

$\square$

推论 1.3. $g$ 在 $[a,b]$ Riemann 可积, $f$ 单调, 则存在 $c\in [a,b]$ 使得: $${\int }_a^{b}fgdx=f(a){\int }_a^{c}g(x)dx+f(b){\int }_c^{b}g(x)dx$$(10)

定理 1.4 (Riemann–Lebesgue 引理). $f$ 在 $[a,b]$ 上可积, 则: $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{b}f(x)\sin (nx)dx=0$$(11)

证明. 若 $f$ 连续可微, 则分部积分给出: $${\int }_a^{b}f(x)\sin (nx)dx=-f\frac{\cos nx}{n}+{\int }_a^b\frac{\cos nx}{n}{f}^{\prime }dx\to 0$$(12)若 $f$ 不连续可微, 则可由连续可微函数逼近, 取定 $f_{\epsilon }$: $$\left|{\int }_a^{b}f(x)\sin (nx)dx\right|\le {\int }_a^b\left|f(x)-f_{\epsilon }(x)\right|dx+\left|{\int }_a^b{f}_{\epsilon }(x)\sin (nx)dx\right|$$(13)两边令 $n\to \infty$, 再考察 $\epsilon$ 任意性.

$\square$

定义 1.5 (反常积分). $f$ 在 $[a,b)$ 上定义, $b$ 可为无穷, 如果对任意 $c\in [a,b)$, $f$ 在 $[a,c]$ 上可积, 且极限 ${\lim }_{c\to b}{\int }_a^{c}fdx$ 存在, 称 $f$ 在 $[a,b)$ 上的反常积分存在: $${\int }_a^{b}fdx=\underset{c\to b}{\lim }{\int }_a^{c}fdx$$(14)

例 1.6. $${\int }_0^{+\infty }\frac{dt}{1+t^2}=\underset{c\to \infty }{\lim }{\int }_0^c\frac{dt}{1+t^2}=\underset{c\to \infty }{\lim }\arctan c=\frac{\pi }{2}$$(15)

例 1.7. 反常积分 ${\int }_0^{\infty }\sin xdx$ 不存在.

证明. 证明极限 ${\lim }_{c\to \infty }{\int }_0^c\sin xdx$ 不存在, 考察 $c=2n\pi ,(2n+1)\pi$.

$\square$

例 1.8. $${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^{\alpha }}=\underset{c\to \infty }{\lim }\frac{c^{1-\alpha }-1}{1-\alpha }$$(16)在 $\alpha >1$ 时收敛, 在 $\alpha \le 1$ 时发散.

例 1.9. $${\int }_0^1\frac{dx}{x^{\alpha }}=\underset{c\to 0^{+}}{\lim }\frac{1-c^{1-\alpha }}{1-\alpha }$$(17)在 $\alpha <1$ 时可积, 在 $\alpha \ge 1$ 时发散.

例 1.10. $${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin x}{x}dx$$(18)在 $0$ 处有界, 只需考虑 $+\infty$ 处, 此时: $${\int }_1^c\frac{\sin x}{x}dx=\cos 1-\frac{\cos c}{c}-{\int }_1^c\frac{\cos x}{x^2}dx$$(19)考察 Cauchy 判准, 有: $$\left|{\int }_N^M\frac{\cos x}{x^2}dx\right|\le {\int }_N^M\frac{dx}{x^2}\le \frac{1}{N}$$(20)

例 1.11 ($\Gamma$ 函数). 对 $s>0$, 定义: $$\Gamma (s)={\int }_0^{+\infty }{x}^{s-1}{e}^{-x}dx$$(21)

证明. 在 $0$ 处收敛: $${\int }_{c_1}^{c_2}{x}^{s-1}{e}^{-x}dx\le {\int }_{c_1}^{c_2}{x}^{s-1}dx\le \frac{1}{s}{c_2}^s\to 0$$(22)在 $+\infty$ 处, 对足够大 $x$ 总有 $e^x\ge x^{s+1}$, 收敛: $${\int }_n^m{x}^{s-1}{e}^{-x}dx\le {\int }_n^m\frac{dx}{x^2}\le \frac{1}{n}$$(23)

$\square$

引理 1.12. $$\Gamma (s+1)={\int }_0^{+\infty }{x}^s{e}^{-x}dx=-{\int }_0^{+\infty }{x}^{s}d{e}^{-x}=s\Gamma (s)$$(24)依 $\Gamma (1)=1$ 知 $\Gamma (n+1)=n!$, 同理对 $\Re s>0$ 均可定义 $\Gamma (s)$, 并通过函数方程延拓到复平面去除非正整数点.

例 1.13 ($\mathrm{B}$ 函数). 对 $p>0,q>0$ 定义: $$\mathrm{B}(p,q)={\int }_0^1{x}^{p-1}(1-x{)}^{q-1}dx=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2p-1}\theta {\sin }^{2q-1}\theta d\theta$$(25)

证明. 在 $0$ 处有: $${\int }_{{\epsilon }_1}^{{\epsilon }_2}{x}^{p-1}{(1-x)}^{q-1}dx\le c{\int }_{{\epsilon }_1}^{{\epsilon }_2}{x}^{p-1}dx\le \frac{c}{p}{{\epsilon }_2}^p\to 0$$(26)在 $1$ 处对称.

$\square$

定理 1.14. $$\mathrm{B}(p,\epsilon )=\frac{\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}$$(27)