用户: Ruiqi chen/CoursesNotes/数学分析 I (实验班)/Nov 25 2024

定义 1 (无处稠密集). 若 $\mathring{\overline{E}}=\varnothing$, 则称 $E$ 为无处稠密集, 可数个无处稠密集的并集称为贫集, 或称为第一纲集, 其他集合称为第二纲集.

定理 2 (Baire 纲). 第一纲集无内点.

例 3. $f_k\in C(\mathbb{R})$ 有极限 $\lim f_k=f$, 则 $f(x)$ 的不连续点集为第一纲集, 故 $f(x)$ 必有连续点.

证明. $f$ 的不连续点为 $\bigcup f^{-1}(I_k)\setminus \mathring{f^{-1}(I_k)}$ 其中 $I_k$ 取全体端点为有理数点的区间 (可数拓扑基). $$f^{-1}(I)=f^{-1}\left(\bigcup _{I_k⊊I}\overline{I_k}\right)=\bigcup _{I_k⊊I,m\ge 0}\bigcap _{n\ge m}{f_n}^{-1}\left(\overline{I_k}\right)$$(1)故 $f^{-1}(I)$ 总为 $F_{\sigma }$, 记 $f^{-1}(I)=\bigcup E_n$, 有 $f^{-1}(I)\setminus \mathring{f^{-1}(I)}\subseteq \bigcup (E_n\setminus \mathring{E_n})$ 故不连续点集为第一纲集.

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定义 4 ($\sigma$-代数). 称 $X$ 的子集族 $\Gamma$ 是 $\sigma$-代数, 若 $\Gamma$ 包含空集, 且对取补和可数并封闭.

例 5. $\left\{\varnothing ,X\right\},\mathcal{P}X$ 是最小和最大的 $\sigma$-代数.

引理 6. $\sigma$-代数的任意交均为 $\sigma$-代数, 包含 $\Sigma \subseteq X$ 的最小 $\sigma$-代数 $\Gamma (\Sigma )$ 称为由 $\Sigma$ 生成的 $\sigma$-代数.

定义 7 (Borel $\sigma$-代数). Borel $\sigma$-代数是由开集生成的 $\sigma$-代数.

定义 8. 对单调增集合列: $$A_1\subseteq A_2\subseteq A_3\subseteq \cdots$$(2)定义: $$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n=\bigcup _n{A}_n$$(3)同理, 对单调降集合列: $$A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\supseteq \cdots$$(4)定义: $$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n=\bigcap _n{A}_n$$(5)

定义 9 (Lebesgue 测度). $\mathcal{A}$ 是 $X$ 上一 $\sigma$-代数, 则称 $(X,\mathcal{A})$ 称为可测空间, 如果有 $\mathcal{A}$ 上非负函数 $\mu$ 使得 $\mu (\varnothing )=0$, $\mu$ 满足可数可加性, 即对任意两两不交 $A_k$ 有: $$\mu \left(\bigcup _{k=1}^{\infty }{A}_k\right)=\sum _{k=1}^{+\infty }\mu (A_k)$$(6)则称 $(X,\mathcal{A},\mu )$ 称为测度空间.

定义 10. 记 $\mathcal{E}$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 中有限个不交的矩体的并构成的集合, 称 $\mathcal{E}$ 中的集合为基础集. $\mathcal{E}$ 对有限交并封闭, $\mathcal{E}\cup \left\{S|S^c\in \mathcal{E}\right\}$ 构成代数. 其中矩体为 $n$ 个有界区间的积, 对矩体 $I$ 定义 $m(I)$ 为区间长度积并延拓至 $\mathcal{E}$ 上.

定义 11 (外测度). 对任意 $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 定义: $$m^{\ast }(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }m(I_k)|E\subseteq \bigcup _{k=1}^{\infty }{I}_k,I_k\in \mathcal{E}\right\}$$(7)

引理 12. $m^{\ast }$ 非负, $m^{\ast }(\varnothing )=0$, $m^{\ast }$ 单调, 有可数次可加性: $$m^{\ast }\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }{E}_i\right)\le \sum _{i=1}^{\infty }{m}^{\ast }(E_i)$$(8)如果 $d(E_1,E_2):={\inf }_{x\in E_1,y\in E_2}d(x,y)>0$, 则: $$m^{\ast }\left(E_1\cup E_2\right)=m^{\ast }(E_1)+m^{\ast }(E_2)$$(9)平移不变性, 伸缩不变性, 即对 $x_0\in {\mathbb{R}}^n,\lambda \in \mathbb{R}$ 有: $$m^{\ast }(E+x_0)=m^{\ast }(E),m^{\ast }(\lambda E)={\left|\lambda \right|}^n{m}^{\ast }(E)$$(10)

证明. 证明可数次可加性, 若 $m^{\ast }(E_k)=+\infty$ 显然, 否则取 $I_{k,n}$ 使得: $$m^{\ast }(E_k)+\frac{\epsilon }{2^k}>\sum _{n}m(I_{k,n})$$(11)此时 $I_{k,n}$ 覆盖 $\bigcup E_k$ 故: $$m^{\ast }\left(\bigcup E_k\right)\le \sum _{n,k}m(I_{k,n})<\sum _n{m}^{\ast }(E_k)+\epsilon$$(12)

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例 13. $m^{\ast }(C)=0$.

证明. $m^{\ast }(C)<m(F_n)=\frac{2^n}{3^n}$.

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