用户: Ruiqi chen/CoursesNotes/数学分析 I (实验班)/Nov 13 2024 & Nov 18 2024

定义 1 (空间曲线). 空间曲线是指映射 $\gamma :[0,1]\to {\mathbb{R}}^n$, 其称作可求长的, 若: $$L(\gamma ):=\underset{\sigma }{\sup }\sum _{i=1}^m\left|\gamma (t_i)-\gamma (t_{i-1})\right|<+\infty$$(1)长度为 $L(\gamma )$.

例 2. 当 $\gamma \in C^1$, 即 $\gamma$ 每个分量都连续可微, 则 $\gamma$ 可求长.

证明. 依介值定理有: $$\left|\gamma (t_i)-\gamma (t_{i-1})\right|=\sqrt{\sum _{k=1}^n{({\gamma }_k(t_i)-{\gamma }_k(t_{i-1}))}^2}=(t_i-t_{i-1})\sqrt{\sum _{k=1}^n{({\gamma }_k^{\prime }({\xi }_{i,k}))}^2}$$(2)$\gamma \in C^1,{\gamma }^{\prime }$ 连续, 故 $\left|{\gamma }^{\prime }(t)\right|$ 连续, 从而可积, 且: $$L(\gamma )={\int }_0^1\left|{\gamma }^{\prime }(t)\right|dt$$(3)其中利用 $f({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n):=\sqrt{{\sum }_{k=1}^n{({\gamma }_k^{\prime }({\xi }_k))}^2}$ 为 ${[0,1]}^n\to \mathbb{R}$ 的连续函数, 故一致连续, 从而对足够精细的取点, 有: $$\left|\sqrt{\sum _{k=1}^n{({\gamma }_k^{\prime }({\xi }_k))}^2}-\sqrt{\sum _{k=1}^n{({\gamma }_k^{\prime }({\xi }_{i,k}))}^2}\right|<\epsilon$$(4)

$\square$

定义 3. 令 $\gamma \in C^1,\gamma (x)\ne 0$, 从 $[0,1]$ 到 $[0,L(\gamma )]$ 可定义: $$s(t)={\int }_0^t\left|{\gamma }^{\prime }(\tilde{s})\right|d\tilde{s}$$(5)则 $s(t)$ 为自 $[0,1]$ 到 $[0,L(\gamma )]$ 的严格单调增映射, 故存在逆映射 $s^{-1}:[0,L(\gamma )]\to [0,1]$ 亦连续可微, 故可定义 $\gamma \circ s^{-1}:[0,L(\gamma )]\to \mathbb{R}$, 此时: $$\frac{d\gamma (s^{-1}(y))}{dy}=\frac{{\gamma }^{\prime }(s^{-1}(y))}{\left|{\gamma }^{\prime }(s^{-1}(y))\right|}$$(6)故在弧长参数 $\gamma \circ s^{-1}$ 下, 总是有 ${(\gamma \circ s^{-1})}^{\prime }=1$.

注 4. 连续的曲线长度可能为无穷, 如空间填充曲线.

例 5 (直线段). $P=(x_1,\dots ,x_n),Q=(y_1,\dots ,y_n)$, 定义: $$\begin{array}{rl}\overline{PQ}:=\gamma :[0,1]& \to {\mathbb{R}}^n\\ t& \mapsto tP+(1-t)Q\end{array}$$有 $L(\overline{PQ})=\left|P-Q\right|$

定义 6 (有界变差函数). 函数 $F$ 是定义在 $[a,b]$ 上的实值函数, 定义其全变差为: $$T_F(a,b)=\underset{a=x_0<\cdots <x_n=b}{\sup }\sum _{j=1}^n\left|F(x_j)-F(x_{j-1})\right|$$(7)如果 $T_F(a,b)<+\infty$, 则称 $F$ 为有界变差, 所有 $[a,b]$ 上的有界变差函数构成空间 $BV([a,b])$.

定理 7. 空间曲线 $\gamma (t)=({\gamma }_1(t),\dots ,{\gamma }_n(t))$ 可求长等价于 ${\gamma }_k(t)$ 对任意 $k$ 均为有界变差函数.

证明. 注意到: $$\left|{\gamma }_k(t_i)-{\gamma }_k(t_{i-1})\right|\le \left|\gamma (t_i)-\gamma (t_{i-1})\right|\le \sum _{k=1}^n\left|{\gamma }_k(t_i)-{\gamma }_k(t_{i-1})\right|$$(8)

$\square$

例 8. $[a,b]$ 上的单调函数均为有界变差函数, 且: $$T_F([a,b])=\left|F(b)-F(a)\right|$$(9)

例 9. $[a,b]$ 上的可微函数 $F$ 若 $F^{\prime }$ 有界, 则 $F$ 为有界变差函数, 且: $$T_F([a,b])\le (b-a)\sup \left|F^{\prime }\right|$$(10)

例 10. $F^{\prime }$ 在 $[a,b]$ Riemann 可积, 则: $$T_F([a,b])={\int }_a^b\left|F^{\prime }\right|dt$$(11)

证明. 有: $$\sum _{i=1}^n\left|F(t_i)-F(t_{i-1})\right|=\sum _{i=1}^n(t_i-t_{i-1})\left|F^{\prime }({\xi }_i)\right|$$(12)

$\square$

定义 11 (正变差). 定义正负变差为: $$\begin{array}{rl}{P}_F([a,b])& :=\underset{\sigma }{\sup }\sum _{i=1}^n{(F(x_i)-F(x_{i-1}))}_{+}\\ N_F([a,b])& :=\underset{\sigma }{\sup }\sum _{i=1}^n{(F(x_i)-F(x_{i-1}))}_{-}\end{array}$$其中 $a_{+}:=\max \left\{0,a\right\},a_{-}:=-\min \left\{0,a\right\}$

引理 12. $F\in BV([a,b])$, 则任意 $x\in [a,b]$ 有: $$\begin{array}{rl}F(x)-F(a)& =P_F([a,x])-N_F([a,x])\\ T_F([a,x])& =P_F([a,x])+N_F([a,x])\end{array}$$

证明. $F\in BV([a,b])$ 蕴含 $F\in BV([a,x])$, 故只需证明 $x=b$ 情形, 对同一个划分验证上述等式. 另一方面, 加细划分, 给出的求和越大. 今任取 $\epsilon$, 存在分割 ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ 使: $$\begin{array}{rl}{P}_F([a,b])-\sum _{{\sigma }_1}{(F(x_i)-F(x_{i-1}))}_{+}& <\epsilon \\ N_F([a,b])-\sum _{{\sigma }_2}{(F(x_i)-F(x_{i-1}))}_{-}& <\epsilon \end{array}$$替 ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ 为 ${\sigma }_1\cup {\sigma }_2$ 上述不等式仍然成立, 故: $$\left|F(b)-F(a)-P_F([a,b])+N_F([a,b])\right|<2\epsilon$$(13)同时有: $$\left|\sum _{{\sigma }_1\cup {\sigma }_2}\left|F(x_i)-F(x_{i-1})\right|-P_F([a,b])-N_F([a,b])\right|<2\epsilon$$(14)故 $T_F([a,b])\ge P_F([a,b])N_F([a,b])$ 而另一个方向依以下等式自然成立: $$\sum _{\sigma }\left|F(x_j)-F(x_{j-1})\right|=\sum _{\sigma }{(F(x_i)-F(x_{i-1}))}_{+}+\sum _{\sigma }{(F(x_i)-F(x_{i-1}))}_{-}$$(15)

$\square$

定理 13. 函数 $F$ 在 $[a,b]$ 上是有界变差当且仅当 $F$ 是两个单调增函数的差.

证明. 取 $F(x)=F(a)+P_F([a,x])-N_F([a,x])$.

$\square$

引理 14. $BV([a,b])$ 构成 $\mathbb{R}$ 代数, 对 $c\in (a,b)$, 有: $$F\in BV([a,b])⟺F\in BV([a,c])\wedge F\in BV([c,b])$$(16)且满足: $$T_F([a,b])=T_F([a,c])+T_F([b,c])$$(17)

证明. 有 $[a,c]$ 上的分割并上 $[c,b]$ 上的分割在 $[a,b]$ 的分割中共尾.

$\square$

引理 15. 令: $${\Vert F\Vert }_{BV}=\sup \left|F\right|+T_F([a,b])$$(18)使 $BV([a,b])$ 成为 Banach 空间.

例 16 (悬链线与最速降线). Omitted.