用户: Ruiqi chen/CoursesNotes/数学分析 I (实验班)/Nov 11 2024

正文

常微分方程解的存在唯一性

定理 1 (压缩映射原理). $(X,d)$ 是完备的距离空间, $T:X\to X$ 为压缩映射, 即存在 $0<\gamma <1$ 使得: $$d(T(x),T(y))\le \gamma d(x,y),\forall x,y\in X$$(1)则存在唯一的 $T$ 不动点.

证明. 任取 $x_1\in X$, 记 $x_{n+1}=T{x}_n$, 则: $$d(x_{n+1},x_n)=d(T{x}_n,T{x}_{n-1})\le \gamma d(x_n,x_{n-1})\le {\gamma }^{n-1}d(x_2,x_1)$$(2)故 $x_n$ 为 Cauchy 列, 设 $x_n\to x_0$, 则: $$d(T{x}_0,x_0)\le d(T(x_0),x_n)+d(x_n,x_0)\le \gamma d(x_0,x_{n-1})+d(x_n,x_0)\to 0$$(3)故 $d(T{x}_0,x_0)=0$, 若有不动点 $\widetilde{x_0}\ne x_0$, 则: $$d(x_0,\widetilde{x_0})\le d(T(x_0),T(\widetilde{x_0}))\le \gamma d(x_0,\widetilde{x_0})$$(4)矛盾.

$\square$

定理 2 (Cauchy–Lipschitz). $\Omega$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的开集, $f$ 是 $\Omega \times (a,b)$ 上的 $m$ 维连续向量值函数, 满足: $$\left|f(x,t)-f(y,t)\right|\le C\left|x-y\right|,\forall x,y\in \Omega ,t\in (a,b)$$(5)对任意初始值 $(x_0,t_0)\in \Omega \times (a,b)$ 存在依赖 $(x_0,t_0),C$ 的 $\delta >0$ 存在唯一的映射 $x(t):(t_0-\delta ,t_0+\delta )\to \Omega$ 使得: $$x^{\prime }(t)=f(x(t),t),x(t_0)=x_0$$(6)

证明. 令 $x(t)$ 取值于 $[t_0-\delta ,t_0+\delta ]$ 上的连续函数, 定义其 $L^{\infty }$ 为: $${\Vert x(t)\Vert }_{L^{\infty }}=\underset{t\in [t_0-\delta ,t_0+\delta ]}{\sup }\left|x(t)\right|$$(7)令 $X$ 记在 $[t_0-\delta ,t_0+\delta ]$ 上满足 $x(t_0)=x_0$ 且 ${\Vert x(t)-x_0\Vert }_{L^{\infty }}\le {\delta }_0$ 的全体连续函数 $x(t)$. 定义映射 $T:X\to X$ 为: $$Tx(t)={\int }_{t_0}^{t}f(x(t),s)ds+x_0$$(8)假定 $f$ 在 $B_{{\delta }_0}(x_0)\times [t_0-\delta ,t_0+\delta ]$ 有界 $M$, 则有不等式: $$\left|Tx-x_0\right|\le \left|{\int }_{t_0}^{t}f(x,s)ds\right|\le \delta M$$(9)取 $\delta \le \frac{{\delta }_0}{M}$ 即可, 此时 $T(x)\in X$, 此时: $${\Vert Tx-Ty\Vert }_{L^{\infty }}={\Vert {\int }_{t_0}^{t}f(x,s)-f(y,s)ds\Vert }_{L^{\infty }}\le C\delta {\Vert x-y\Vert }_{L^{\infty }}$$(10)再令 $\delta <\frac{1}{C}$ 即可.

$\square$

一些例子

例 3. 万有引力给出方程: $$F=m{x}^{\prime \prime }(t)=-\frac{GmM}{r^2}\frac{x(t)}{r},r=\left|x(t)\right|$$(11)现令 $x(0)=x_0,x^{\prime }(0)=v_0$ 都在 $x_3=0$ 平面上, 此时: $${x_3}^{\prime \prime }(t)=-\frac{GM}{r^3}{x}_3(t)$$(12)依唯一性知 $x_3=0$ 恒成立, 考察: $$\frac{dx\times x^{\prime }}{dt}=x\times x^{\prime \prime }=0$$(13)今不考虑 $x\times x^{\prime }$ 情形, 故不妨令 $x_0,v_0\in {\mathbb{R}}^2$, 此时令: $$x(t)=r(t)(\cos \theta (t),\sin \theta (t))$$(14)此时: $$\begin{array}{rl}2r^{\prime }{\theta }^{\prime }+r{\theta }^{\prime \prime }& =0\\ r^{\prime \prime }-r{({\theta }^{\prime })}^2=-\frac{GM}{r}& \end{array}$$从而: $${(r^2{\theta }^{\prime })}^{\prime }=2r{r}^{\prime }{\theta }^{\prime }+r{\theta }^{\prime \prime }=0$$(15)故 Kepler 第二定律成立, 假定 ${\theta }_0^{\prime }>0$ 也即逆时针运动, 此时: $$\frac{d}{dt}{(r^{\prime })}^2+\frac{d}{dt}\frac{c^2}{r^2}=\frac{d}{dt}\frac{2GM}{r}$$(16)积分得到: $${(r^{\prime })}^2={c_1}^2-{\left(\frac{c}{r}-\frac{GM}{c}\right)}^2$$(17)令 $\frac{c}{r}-\frac{GM}{c}=c_1\cos \beta$ 带入得到 $r^{\prime }=c_1\sin \beta$ 此时得到 ${\beta }^{\prime }={\theta }^{\prime }$.