用户: Ruiqi chen/CoursesNotes/数学分析 I (实验班)/Dec 9 2024

定义 1. 令 $(\Omega ,d)$ 为度量空间, $A\subseteq \Omega$, 若 $A$ 中任意序列都有在 $(\Omega ,d)$ 中有收敛子列, 则称 $A$ 为预列紧的, 若极限亦在 $A$ 中, 则称 $A$ 为列紧的.

注 2. 度量空间中, 紧与列紧一致.

定义 3 (等度连续). 令 ${\left\{f_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Lambda }$ 为 $C[a,b]$ 中的一族函数,

1.	称 ${\left\{f_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Lambda }$ 是等度连续的, 若对任意 $\epsilon >0$ 存在 $\delta >0$ 使得对任意 $x,y\in [a,b]$ 满足 $\left|x-y\right|\le \delta$ 就有对任意 $\alpha \in \Lambda$ 都有 $\left|f_{\alpha }(x)-f_{\alpha }(y)\right|\le \epsilon$.
2.	称 ${\left\{f_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Lambda }$ 是一致有界的若存在 $M>0$ 使得对任意 $\alpha \in \Lambda$ 都有 $\left|f_{\alpha }(x)\right|\le M$, 使得对任意 $x\in [a,b],\alpha \in \Lambda$ 都有 $\left|f_{\alpha }(x)\right|\le M$.

定理 4 (Arzelà–Ascoli 定理). 设 ${\left\{f_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \Lambda }$ 为 $C[a,b]$ 中的一族一致有界等度连续的函数, 则存在 ${\left\{f_{{\alpha }_n}\right\}}_{n=1}^{+\infty }$ 一致收敛到 $f\in C[a,b]$.

证明. 将 $[0,1]$ 上有理数排列为 $q_i$, 对每个 $q_i$ 归纳取 ${\left\{f_{{\alpha }_n}^{(i-1)}\right\}}_{n=1}^{+\infty }$ 子列 ${\left\{f_{{\alpha }_n}^{(i)}\right\}}_{n=1}^{+\infty }$ 使得其在 $q_i$ 上的值收敛, 取 ${\left\{f_{{\alpha }_n}^{(n)}\right\}}_{n=1}^{+\infty }$ 即可, 其为 ${\left\{f_{{\alpha }_n}^{(i)}\right\}}_{n=1}^{+\infty }$ 子列故在每个有理数处收敛, 依有理数稠密及等度连续取充分大 $n$ 使得 $\left|f_{\alpha }(x)-f_{\alpha }(q_k)\right|<\frac{\epsilon }{3}$ 对某个 $k\le n$ 对任意 $\alpha$ 成立, 再取充分大 $n^{\prime }>n$ 使得 $\left|f_{{\alpha }_m}^{(m)}(q_k)-f_{{\alpha }_{m^{\prime }}}^{(m^{\prime })}(q_k)\right|<\frac{\epsilon }{3}$ 对 $k\le n$ 均成立, 故此时 $\left|f_{{\alpha }_m}^{(m)}(x)-f_{{\alpha }_{m^{\prime }}}^{(m^{\prime })}(x)\right|<\epsilon$ 对 $m,m^{\prime }>n^{\prime }$ 任意均成立, 故 ${\left\{f_{{\alpha }_n}\right\}}_{n=1}^{+\infty }$ 一致收敛.

$\square$