用户: Ruiqi chen/CoursesNotes/数学分析 I (实验班)/Dec 2 2024

定理 1. 方块可测, 开闭集可测, 故 Borel 集可测.

对任意 $\epsilon$ 存在开集 $G$, 闭集 $F$ 使得: $$F\subseteq E\subseteq G,m(G\setminus F)<\epsilon$$(1)故 $E$ 为 $G_{\delta }$ 去除一零测集, 或 $F_{\sigma }$ 并上一零测集.

证明. 利用次可加性, 只需证任意方块 $I$ 任意 $T$ 都有: $$m^{\ast }(T)\ge m^{\ast }(T\cap E)+m^{\ast }(T\cap E^c)$$(2)对 $T$ 的任意可数个方块的覆盖 $I_k$, 有 $I_k\cap I,I_k\cap I^c$ 均为有限个方块的并, 故对任意 $\epsilon$ 都存在 $I_k$ 使得: $$m^{\ast }(T)+\epsilon \ge \sum _{k=0}^{+\infty }\left|I_k\right|=\sum _{k=0}^{+\infty }\left|I_k\cap I\right|+\sum _{k=0}^{+\infty }\left|I_k\cap I^c\right|\ge m^{\ast }(T\cap E)+m^{\ast }(T\cap E^c)$$(3)开集闭集 Borel 集只需使用下述引理.

若 $E$ 测度有限, 略微扩大 $I_k$ 故可取开方块 $I_k$ 使得: $$E_k\subseteq \bigcup _{k=1}^{+\infty }{I}_k,m^{\ast }(E)+2\epsilon >\sum _{k=1}^{+\infty }\left|I_k\right|$$(4)令 $G={\bigcup }_{k=1}^{+\infty }{I}_k$ 即可, 此时 $m(G\setminus E)<2\epsilon$.

对一般的 $E$, $E$, 可分解为可数个有限测度可测集之并, 如: $$E=\bigcup _{n=1}^{+\infty }{E}_n=\bigcup _{n=1}^{+\infty }(B(0,n)\setminus B(0,n-1))\cap E$$(5)取 $G_n$ 使得 $m(G_n\setminus E_n)<2^{-n}\epsilon$ 令 $G={\bigcup }_{n=1}^{+\infty }{G}_n$ 即可, 同理考察 $E^c$, 存在 $m(E\setminus F)<\epsilon$ 的闭集 $F$, 故此时 $m(G\setminus F)<2\epsilon$.

取 $\epsilon \to 0$ 以及对应 $G_{\epsilon },F_{\epsilon }$, 即得 $G_{\delta }$ 及 $F_{\sigma }$.

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引理 2. ${\mathbb{R}}^n$ 中开集均可表为 $U={\bigcup }_{i=0}^{+\infty }{I}_k$, 其中 $I_k$ 为互不相交的方块.

证明. 用边长为 $2^{-n}$ 的网格覆盖 ${\mathbb{R}}^n$, 将 ${\mathbb{R}}^n$ 分解为方格的不交并并逐渐加细网格, 若方格 $I$ 满足 $I\subseteq G_{n-1}$ 则取出 $I$, 余下 $G_n=G_{n-1}\setminus \bigcup I$, 依赖 $G$ 开, $G$ 中任意一点 $x$ 均存在网格中方格 $x\in I\subseteq G$.

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另一个证明. 给出容许相交的并, 再依 $I_1,\dots ,I_{k-1}$ 划分 $I_k$.

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定义 3. 上述定理中得到的 $G_{\delta }$ 集 $H$ 称作 $E$ 的等测包, $F_{\sigma }$ 集 $K$ 称作 $E$ 的等测核.

同理, 对于一般的集合 $E$, 若 $E\subseteq G$ 且 $m^{\ast }(E)=m^{\ast }(G)$ 且 $G$ 可测, 亦称 $G$ 为 $E$ 的等测包.

例 4. 令 $A$ 为全体存在一列 $p_n,q_n$ 使得 $\left|x-\frac{p_n}{q_n}\right|<{q_n}^{-2-\epsilon }$ 的全体 $x$ 构成的集合, 则 $A$ 零测.

证明. 令 $I_{p,q}:=\left[\frac{p}{q}-q^{-2-\epsilon },\frac{p}{q}+q^{-2-\epsilon }\right]$, 则 $A\subseteq \mathrm{limsup}{I}_{p,q}$ 而 $[0,1]$ 上: $$\sum _{0\le p\le q}^{+\infty }m(I_{p,q})<+\infty$$(6)

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