用户: Ruiqi chen/CoursesNotes/数学分析 I (实验班)/Dec 25 2024

命题 1 (有限测度一致有界收敛定理). 测度有限可测集 $E$ 上的可测函数列 $f_{n} \to f$ a.e., 若 $f_{n}$ 几乎处处一致有界, 也即存在 $M$ 对任意 $n$ 有 $∣ f_{n} ∣ \leq M$ a.e. 则: $\int_{E} ∣ f_{n} - f ∣ \to 0$ (1)特别的有 $lim_{n \to + \infty} \int_{E} f_{n} = \int_{E} f$

证明. 依 Egorov 定理取

A_{ε}

使其在

A_{ε}

上一致收敛.

\int_{E} ∣ f_{n} - f ∣ = \int_{A_{ε}} ∣ f_{n} - f ∣ + \int_{E ∖ A_{ε}} ∣ f_{n} - f ∣ \leq ε m (A_{ε}) + 2 m (E ∖ A_{ε}) M

(2)

$□$

定理 2 (Lebesgue 控制收敛定理). 若可测函数列 $f_{n} \to f$ a.e., $∣ f_{n} ∣ < g$ , $g$ 可积, 则: $\int_{E} ∣ f_{n} - f ∣ \to 0$ (3)特别的有 $lim_{n \to + \infty} \int_{E} f_{n} = \int_{E} f$

注 3 (集合的 Fatou 引理). 回忆集合的 Fatou 引理, 对可测集 $A_{n}$ : $m (lim inf A_{n}) \leq lim inf m (A_{n})$ (4)若 $⋃_{n} A_{n}$ 测度有限, 则: $m (lim sup A_{n}) \geq lim sup m (A_{n})$ (5)

引理 4 (积分的 Fatou 引理). 非负可测函数列 $f_{n}$ 有: $\int lim inf f_{n} \leq lim inf \int f_{n}$ (6)

证明. 有:

\int f = g \leq f g \in L_{0} sup \int g

(7)也即

g

有界有紧支集, 定义

g_{n} = min {f_{k}, g}

, 只需证明:

\int g \leq lim inf \int g_{k}

(8)为运用有限测度一致有界收敛定理, 只需证明

g_{k} \to g

a.e. 若否, 存在

ε > 0

使得:

g (x) - g_{n} (x) > ε ⟹ g (x) - f_{n} (x) > 0

(9)存在任意大的

n

, 与

g \leq lim inf f_{n}

矛盾.

$□$

命题 5 (Beppo–Levi 定理). 单调上升非负函数列 $f_{n} \to f$ 则: $n \to + \infty lim \int f_{n} = \int f$ (10)

证明. 依 Fatou 引理有:

\int lim inf f_{n} = \int f \leq lim inf \int f_{n} = lim \int f_{n} \leq \int f

(11)

$□$

推论 6. 正项函数级数有: $\int n = 1 \sum \infty a_{n} (x) = n = 1 \sum \infty \int a_{n} (x)$ (12)

命题 7. 若 $f$ 可积, 则对任意 $ε > 0$ 存在有限测度集 $B$ 使得: $\int_{B^{c}} f < ε$ (13)积分有绝对连续性, 对任意 $ε > 0$ 存在 $δ > 0$ 使得对任意可测集, 对任意 $ε > 0$ 都有 $\int_{E} ∣ f ∣ < ε$ .

证明. 取 $g_{N} = ∣ f ∣ χ_{∣ x ∣ \leq N}$ , 则 $g_{N}$ 单调上升收敛于 $∣ f ∣$ , 考察充分大 $N$ 使得: $\int ∣ f ∣ - \int g_{N} < ε$ (14)给出有限测度集.

取 $g_{N} = ∣ f ∣ ∣ f (x) ∣ \leq N$ , 则 $g_{N}$ 单调上升收敛于 $∣ f ∣$ , 考察充分大 $N$ 使得: $\int ∣ f ∣ - \int g_{N} < \frac{ε}{2}$ (15)取 $δ = ε /2 N$ , 对可测集 $E$ 满足 $m (E) < δ$ 有: $\int_{E} ∣ f ∣ \leq \int (∣ f ∣ - g_{N}) + \int_{E} g_{N} < ε$ (16)

第二个结果也可反证, 不妨

f

非负, 取

m (E_{n}) < 2^{- n}

使得:

\int_{E_{n}^{c}} \leq \int f - ε_{0}

(17)对

f χ_{E_{n}^{c}}

运用 Fatou 引理得到:

\int f = \int lim inf f χ_{E_{n}^{c}} \leq lim inf \int f χ_{E_{n}^{c}} \leq \int f - ε_{0}

(18)矛盾.

$□$

Lebesgue 控制收敛定理 2 的证明. 对函数列

2 g - ∣ f - f_{n} ∣

运用 Fatou 引理, 得到:

\int lim inf 2 g - ∣ f - f_{n} ∣ \leq lim inf \int 2 g - ∣ f - f_{n} ∣

(19)故

lim sup \int ∣ f - f_{n} ∣ \leq 0

.

$□$

例 8. $f (x), f_{n} (x)$ 可积, 若对任意可测集 $E$ 都有 $n \to + \infty lim \int_{E} f_{n} = \int_{E} f$ (20)则 $lim inf f_{n} \leq f \leq lim sup f_{n}$ a.e..

证明. 不妨令

f = 0

, 只需证

lim sup f_{n} \geq 0

a.e., 对任意

ε > 0

作:

E_{n}^{ε} = {x ∣ f_{n} (x) < - ε}

(21)此时:

lim inf E_{n}^{ε} \subseteq {x ∣ lim sup f_{n} (x) \leq - ε} \subseteq lim inf E_{n}^{2^{- 1} ε}

(22)条件蕴含:

- ε m (k \geq N ⋂ E_{k}^{ε}) \geq n \to + \infty lim \int_{⋂_{k \geq N} E_{k}^{ε}} f_{n} = 0

(23)故

lim inf E_{n}^{ε}

零测.

$□$

名字空间

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