用户: Ruiqi chen/CoursesNotes/数学分析 I (实验班)/Dec 23 2024

定义 1. 对一般的非负可测函数, $f\ge 0$ 可测, 用紧支集函数的逼近定义: $$\int f=\sup \left\{\int g|0\le g\le f,g\in {\mathcal{L}}_0\right\}$$(1)

引理 2. 上述定义的积分线性.

证明. 只需证明 $\int f+g=\int f+\int g$, $\int f+g\ge \int f+\int g$ 显然, 反之取 $0\le {\phi }_k\le f+g$ 紧支, 命 $f_k:=\min \{{\phi }_k,f\},g_k:={\phi }_k-f_k$, 给出另一面.

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定义 3. 若 $\left|f\right|$ 的积分有限, 则称 $f$ 可积, 全体可积函数组成空间 ${\mathcal{L}}^1(E)$, 其中函数积分定义为 $\int f=\int f_{+}-\int f_{-}$.

定理 4. 有界闭区域上函数 $f$ 是 Riemann 可积的当且仅当 $f$ 有界且不连续点集零测.

证明. 在区间 $[a,b]$ 上做, 对分割 $a=x_0<\cdots <x_n=b$ 定义: $$\begin{array}{rl}{\omega }_i& :=\sup \left\{\left|f(x)-f(y)\right||x,y\in [x_{i-1},x_i]\right\}\\ {\Delta }_i& :=x_i-x_{i-1}\\ \Delta & :=\sup {\Delta }_i\\ {\omega }_{\epsilon }(f)& :=\left\{x|\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }\underset{y\in [x-\delta ,x+\delta ]}{\sup }\left|f(x)-f(y)\right|>\epsilon \right\}\end{array}$$若 $f$ Riemann 可积, 其自然有界, 若其不连续点集不零测, 故存在 ${\epsilon }_0$ 使得 $m({\omega }_{{\epsilon }_0}(f))>0$, 此时: $$\sum _{i=1}^n{\omega }_i{\Delta }_i\ge \sum _{(x_{i-1},x_i)\cap {\omega }_{{\epsilon }_0}(f)\ne \varnothing }\ge {\epsilon }_{0}m({\omega }_{{\epsilon }_0}(f))>0$$(2)矛盾, 若 $f$ 的不连续点集零测, 则对于任意 $\epsilon >0$ 存在 $f$ 连续点构成的闭集 $A_{\epsilon }\subseteq [a,b]$ 满足 $m([a,b]\setminus A_{\epsilon })<\epsilon$. 我们验证存在 $\delta >0$ 使得 $\left|f(x)-f(y)\right|<\epsilon$ 对任意 $a\in A$ 及 $x,y\in [a-\delta ,a+\delta ]$ 成立, 反之存在一列 $a_n\in A$ 及 $x_n,y_n\in [a_n-n^{-1},a_n+n^{-1}]$ 使得 $\left|f(x_n)-f(y_n)\right|\ge \epsilon$, 利用 $A_{\epsilon }$ 闭取 $a_n$ 聚点 $a$ 即导出矛盾.

今取分割使得 $\Delta <\delta$, 此时: $$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n{\omega }_i{\Delta }_i& =\sum _{[x_{i-1},x_i]\cap A_{\epsilon }=\varnothing }{\omega }_i{\Delta }_i+\sum _{[x_{i-1},x_i]\cap A_{\epsilon }\ne \varnothing }{\omega }_i{\Delta }_i\\ & \le 2M\epsilon +(b-a)\epsilon \to 0\end{array}$$

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定理 5. 若 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积, 则 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Lebesgue 可积, 且积分相等.

证明. $f$ Riemann 可积故存在阶梯函数 $-M\le {\phi }_k\le f\le {\varphi }_k\le M$ 的上下逼近, 依定义阶梯函数 Riemann 积分及 Lebesgue 积分一致, 故 Riemann 可积亦然.

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