用户: Ruiqi chen/CoursesNotes/数学分析 I (实验班)/Dec 18 2024

定理 1 (Egorov). 若 $m(E)<+\infty$, $f_k$ 在 $E$ 上可测, 且 $f_k\to f$ a.e., 则存在闭集 $F_{\epsilon }\subseteq E$ 满足 $m(E\setminus F_{\epsilon })<\epsilon$, 且 $f_k$ 在 $F_{\epsilon }$ 上一致收敛到 $f$.

证明. 定义: $$E_k^n:=\left\{x\in E|\left|f_j(x)-f(x)\right|<\frac{1}{n},\forall j>k\right\}$$(1)$f_k\to f$ a.e. 蕴含: $$m\left(E\setminus \bigcup _{k=1}^{+\infty }{E}_k^n\right)=0$$(2)利用 $m(E)<+\infty$ 存在 $k_n$ 使得: $$m\left(E\setminus E_{k_n}^n\right)<2^{-n}$$(3)取 $N$ 足够大使得 ${\sum }_{n=N}^{+\infty }{2}^{-n}<2^{-1}\epsilon$, 定义: $${\tilde{A}}_{\epsilon }:=\bigcap _{n=N}^{+\infty }{E}_{k_n}^n,m\left(E\setminus {\tilde{A}}_{\epsilon }\right)<\frac{\epsilon }{2}$$(4)此时在 ${\tilde{A}}_{\epsilon }$ 上 $f_k\rightrightarrows f$, 在 ${\tilde{A}}_{\epsilon }$ 中取闭集 $F_{\epsilon }$ 满足 $m(E\setminus F_{\epsilon })<\frac{\epsilon }{2}$ 即可.

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定理 2 (Lusin). 可测函数 $f$ 在 $E$ 上取有限值, $m(E)<+\infty$, 则任意 $\epsilon >0$ 存在闭集 $F_{\epsilon }\subseteq E$ 满足 $m(E\setminus F_{\epsilon })<\epsilon$ 且 $f$ 在 $F_{\epsilon }$ 上的限制连续.

证明. 存在阶梯函数列 $f_k\to f$ a.e., 找到集合 $E_k$ 使得 $m(E\setminus E_k)<2^{-k}$ 且 $f_k$ 在 $E_k$ 上的限制连续, 取 $N$ 足够大使得 ${\sum }_{k=N}^{+\infty }{2}^{-k}<3^{-1}\epsilon$, 则在 $\tilde{E}:={\bigcap }_{k=1}^{+\infty }{E}_k$ 上 $f_k\to f$ a.e., 且 $f_k$ 在 $\tilde{E}$ 上连续, $m(E\setminus \tilde{E})<3^{-1}\epsilon$, 依 Egorov 定理取闭集 $F_{\epsilon }$ 使其一致收敛.

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注 3 (Littlewood 三原则).

1.	可测集几乎是有限个方块;
2.	可测函数几乎是连续的 (Lusin);
3.	收敛的可测函数几乎是一致的 (Egorov).

定义 4. $f_k\to f$ a.e. 当且仅当: $$m\left(\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\left\{x|\left|f_n(x)-f(x)\right|>\epsilon \right\}\right),\forall \epsilon >0$$(5)$f_k\to f$ a.u. 若对任意 $\epsilon >0$ 存在 $A_{\epsilon }$ 闭使在 $A_{\epsilon }$ 上有 $f_k\rightrightarrows f$, 且 $m(A_{\epsilon })<\epsilon$, 当且仅当: $$\underset{n\to \infty }{\lim }m\left(\bigcup _{k=n}^{+\infty }\left\{x|\left|f_k(x)-f(x)\right|>\epsilon \right\}\right)=0,\forall \epsilon >0$$(6)$f_k$ 依测度收敛到 $f$, 如果: $$\underset{k\to +\infty }{\lim }m\left(\left\{x|\left|f_k(x)-f(x)\right|>\epsilon \right\}\right)=0,\forall \epsilon >0$$(7)记作 $f_k\stackrel{m}{\to }f$.

若 $f_k$ 在任何意义下收敛到 $f,g$, 则 $f=g$ a.e.

命题 5. 近一致收敛蕴含依测度收敛和几乎处处收敛, 若 $m(E)<+\infty$, Egorov 定理可知几乎处处收敛等价于近一致收敛, 故依测度收敛. 一般依测度收敛不能退出几乎处处收敛, 但存在子列 $f_{k_n}$ 使得 $f_{k_n}$ 在 $E$ 上近一致收敛.

证明. 取 $\epsilon =2^{-n}$ 存在 $k_n$ 使得 $m\left(\left\{x|\left|f_{k_n}(x)-f(x)\right|>2^{-n}\right\}\right)<2^{-n}$, 子列 $f_{k_n}$ 即为所求.

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定义 6 (简单函数的 Lebesgue 积分). $$f=\sum _{k=1}^N{a}_n{\chi }_{E_n}$$(8)存在唯一的典范表达, 使 $a_n$ 互不相同 $E_n$ 互不相交, 对任意表达可定义积分: $$\int f=\sum _{k=1}^N{a}_{n}m(E_n)$$(9)积分与表达无关, 且满足:

1.	线性性: $$\int \lambda f+\mu g=\lambda \int f+\mu \int g$$(10)
2.	区域可叠加性, 若 $E\cap F=\varnothing$, 则: $$\int f=\int f\upharpoonright E+\int f\upharpoonright F$$(11)
3.	单调性, 若 $f\le g$ 则: $$\int f\le \int g$$(12)
4.	三角不等式: $$\left|\int f\right|\le \int \left|f\right|$$(13)

定义 7 (有界函数在有限测度集上的 Lebesgue 积分). 考虑 $E$ 有限测度, $m(E)<+\infty$, 可测函数 $f$ 在 $E$ 上有界, 存在简单函数列 ${\phi }_k\to f$ 定义在 $E$ 上, 且 ${\phi }_k$ 有界, 定义 $f$ 在 $E$ 上的积分为: $${\int }_{E}f=\underset{k\to +\infty }{\lim }{\int }_E{\phi }_k$$(14)

证明. 极限存在由 Egorov 定理保证在 $A_{\epsilon }$ 上一致收敛, 此时: $$\left|\int {\phi }_n-\int {\phi }_m\right|\le {\int }_{A_{\epsilon }}\left|{\phi }_n-{\phi }_m\right|+{\int }_{E\setminus A_{\epsilon }}\left|{\phi }_n-{\phi }_m\right|\le \epsilon m(E)+2Mm(E\setminus A_{\epsilon })$$(15)对两个列交错取即可知极限一致.

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