用户: Ruiqi chen/CoursesNotes/数学分析 I (实验班)/Dec 16 2024

定义 1. 可测空间间映射 $f:(X,\mathcal{A})\to (Y,\mathcal{B})$ 称可测若对任意 $B\in \mathcal{B}$ 有 $f^{-1}B\in \mathcal{A}$.

考察 $f:({\mathbb{R}}^n,\mathcal{U})\to (\mathbb{R}\bigsqcup \left\{\pm \infty \right\},\mathcal{B})$ 此时 $f$ 可测等价于: $$\left\{x|f(x)>t\right\}\in \mathcal{U}\forall t\in \mathbb{R}$$(1)

命题 2. 连续函数可测, $f$ 有限值且可测, 而 $\Phi$ 连续, 则 $\Phi \circ f$ 可测, 但 $f\circ \Phi$ 不总可测. $f_n$ 可测, 则以下存在则可测: $$\underset{n\to \infty }{\sup }{f}_n,\underset{n\to \infty }{\inf }{f}_n,\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{f}_n,\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{f}_n,\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{f}_n,\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n$$(2)若 $f,g$ 可测, 则 $f^k$ 对整数 $k$ 可测, 若 $f,g$ 取值有限, 则 $f+g,fg$ 可测.

证明. 连续函数开集原像开, 故 Borel 集原像为 Borel 集, 故连续函数可测且 $\Phi \circ f$ 可测.

展开定义有以下式子, 给出 ${\sup }_{n\to \infty }{f}_n$ 可测: $$\left\{x|\underset{n\to \infty }{\sup }{f}_n>t\right\}=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}\left\{x|f_n>t\right\}$$(3)其余亦然. 若 $k$ 为奇数, 则: $$\left\{x|f^k>t\right\}=\left\{x|f>\sqrt[k]{t}\right\}$$(4)若 $k$ 为偶数, 只需考察 $t\ge 0$, 此时: $$\left\{x|f^k>t\right\}=\left\{x|f>\sqrt[k]{t}\right\}\cup \left\{x|f<-\sqrt[k]{t}\right\}$$(5)加法考察: $$\left\{x|f+g>t\right\}=\bigcup _{r\in \mathbb{Q}}\left(\left\{x|f>t-r\right\}\cap \left\{x|g>r\right\}\right)$$(6)乘法有 $fg=\frac{{(f+g)}^2-{(f-g)}^2}{4}$.

$\square$

注 3. 约定 $0\infty =0$, 其中 $0$ 常常来自于零测.

定义 4. 两个可测函数 $f,g$ 几乎处处 (a.e) 相等若 $f,g$ 只在一个零测集上不相等.

若 $f=g$ a.e. 则 $f$ 可测蕴含 $g$ 可测.

定义 5 (阶梯函数). 对 ${\mathbb{R}}^n$ 中方体 $R_n$ 定义阶梯函数为: $$\sum _{i=1}^N{a}_i{\chi }_{R_n},{\chi }_S(x):=\{\begin{array}{ll}1& x\in S\\ 0& x\notin S\end{array}$$(7)简单函数则容许 $R_n$ 为任意可测集.

定理 6. 非负可测函数 $f$ 均存在非负递增紧支简单函数列 ${\varphi }_k$ 收敛于 $f$.

证明. 首先先对定义域作截断: $$F_k(x):=\{\begin{array}{ll}f(x)& x\in B_k(0)\wedge f(x)\le k\\ k& x\in B_k(0)\wedge f(x)>k\\ 0& x\notin B_k(0)\end{array}$$(8)定义集合: $$E_{l,j}:=\left\{x\in B_k(0)|\frac{l}{2^j}<F_k(x)\le \frac{l+1}{2^j}\right\}$$(9)定义: $$F_{k,j}(x):=\sum _{l=1}^{2^j}\frac{l}{2^j}{\chi }_{E_{l,j}}$$(10)此时令 ${\varphi }_k=F_{k,k}$ 即可.

$\square$

定理 7. 若 $f$ 可测, 则存在紧支简单函数列 ${\varphi }_k(x)$ 使得: $$\left|{\varphi }_k(x)\right|<\left|{\varphi }_{k+1}(x)\right|,\underset{k\to \infty }{\lim }{\varphi }_k(x)=f(x),\forall x$$(11)

证明. 考察 $f=f^{+}-f^{-}$, 令 ${\varphi }_k^{+},{\varphi }_k^{-}$ 为以上定理给出的收敛于 $f^{+},f^{-}$ 的简单函数列, 取 ${\varphi }_k={\varphi }_k^{+}-{\varphi }_k^{-}$ 即可.

$\square$

定理 8. 对任意可测函数 $f$, 存在阶梯函数 ${\varphi }_k$ 几乎处处收敛到 $f$, 也即 ${\lim }_{k\to \infty }{\varphi }_k(x)=f(x)$ a.e.

证明. 存在简单函数 ${\varphi }_k$ 使得 ${\varphi }_k$ 收敛到 $f$, 令: $${\varphi }_k(x)=\sum _{j=1}^{N_k}{a}_{k,j}{\chi }_{E_{k,j}}$$(12)不妨令 $a_{k,j}$ 互不相等而 $E_{k,j}$ 互不相交且测度有限 (紧支). 对 $E_{k,j}$ 找到有限个互不相交的方体之并 $I_{k,j,\epsilon }$ 使得: $$m(E_{k,j}△I_{k,j,\epsilon })<2\epsilon$$(13)定义阶梯函数: $${\psi }_k(x)=\sum _{j=1}^{N_k}{a}_{k,j}{\chi }_{I_{k,j,\epsilon }}$$(14)则 ${\psi }_k\ne {\varphi }_k$ 的点在 $A_k:={\bigcup }_{j=1}^{N_k}{E}_{k,j}△I_{k,j,\epsilon }$ 中, 对固定的 $k$ 取 $\epsilon$ 使得 $N_k\epsilon <2^{-k}$. 此时依 Borel–Cantelli 定理有: $$m\left(\underset{k\to \infty }{\mathrm{limsup}}{A}_k\right)=0$$(15)故不收敛点在零测集中.

$\square$