用户: Junyu*Cao/代数几何/低维代数几何

在本篇笔记中, 我们记录一些维数较小的代数簇的 “特有性质”, 这种 “特有性质” 对高维的代数簇都是不对的. 但是在证明中, 我们可通过归纳法降低代数簇的维数, 使得这种 “特有性质” 得到使用.

1一般理论

•	二维曲面有分类
•	三维 Fano 簇有分类

2正性

命题 2.1. 设 $X$ 为一正规射影曲面. $D$ 为 $\mathbb{Q}$-Cartier 除子, 若 $D^2>0$, 则 $D$ 或 $-D$ 是大除子.

证明. 利用奇点消解, 可设 $X$ 光滑. 利用 Riemann-Roch 定理, 我们可知 $\chi ({\mathcal{O}}_X(mD))\sim C{m}^2$, $C>0$. 于是 $h^0({\mathcal{O}}_X(mD))+h^0({\mathcal{O}}_X(K_X-mD))\ge C{m}^2$. 由对称性, $h^0({\mathcal{O}}_X(-mD))+h^0({\mathcal{O}}_X(K_X+mD))\ge C^{\prime }{m}^2$. 若 $D$ 有效, 则 $h^0({\mathcal{O}}_X(K_X-mD))\le h^0({\mathcal{O}}_X(K_X))$, $D$ 是大除子; 若 $-D$ 有效, 则 $-D$ 是大除子. 如果 $D$ 与 $-D$ 均不有效, 则 $h^0({\mathcal{O}}_X(K_X-mD))\ge C{m}^2,h^0({\mathcal{O}}_X(K_X+mD))\ge C^{\prime }{m}^2$, 这推出 $h^0({\mathcal{O}}_X(2K_X))\ge C{m}^2$, 矛盾.

$\square$

术语翻译

大除子 • 英文 big divisor