用户: Cybcat/Banach 代数/第四讲

1第四讲

对合的引入

最早我们为线性映射引入对偶映射, 在矩阵中引入转置矩阵, 后来在 $\mathbb{C}$-矩阵中引入了共轭转置 $\ast$ 类比 $\mathbb{R}$-矩阵中的转置, 这一下子带来了很多性质, 比如我们知道 $\mathbb{R}$-矩阵 $A$ 可正交对角化当且仅当 $A$ 是正规矩阵, 即 $A{A}^{\text{T}}=A^{\text{T}}A$. $\mathbb{C}$-矩阵的情况类似, $A$ 可酉对角化当且仅当 $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A$. 它们启发我们在 Banach 代数中引入 $\ast$ 对合.

定义 1.1. Banach 代数 $A$ 的一个 ($\mathbb{C}$-共轭线性) 对合指的是一个映射 $\ast :A\to A$, 满足对 $a,b\in A,\lambda \in \mathbb{C}$:

(1) 共轭线性, $(a+b{)}^{\ast }=a^{\ast }+b^{\ast }$, $(\lambda a{)}^{\ast }=\overline{\lambda }{a}^{\ast }$. (2) 反自同构, $(ab{)}^{\ast }=b^{\ast }{a}^{\ast }$. (3) 对合, $a^{\ast \ast }=a$.

对 $a\in A$, 如果 $a^{\ast }=a$ 则称之为 Hermite 的. 如果 $a^{\ast }$ 是 $a$ 的乘法逆则称之酉的. 如果 $a^{\ast }a=a{a}^{\ast }$ 则称之正规的. 很明显 Hermite 算子和酉算子是正规的.

另外两个带对合的 Banach 代数之间的态射 $\Phi :A_1\to A_2$, 指一个维护对合的 $\mathbb{C}$-代数同态: $$x,y\in A_1,r\in \mathbb{C};\Phi (rx)=r\Phi (x),\Phi (x+y)=\Phi (x)+\Phi (y),\Phi (xy)=\Phi (x)\Phi (y),\Phi (x^{\ast })=\Phi (x{)}^{\ast }.$$

例 1.2. 对合的基本例子. 最典型的例子是 $C(M)$ 和 $L^{\infty }$ 上的共轭, 还有 Hilbert 空间 $H$ 的有界泛函空间 $\mathcal{L}(H)$ 上的伴随算子. 比较抽象的例子是, $A_0(\mathbb{D})$ 上的 $\ast :f(z)\mapsto \overline{f(\overline{z})}$, 过一会我们就会看到这个抽象例子为什么不如前几个例子 [自然] .

关于对合有一些普遍成立的简单代数性质:

引理 1.3. 对于对合 $\ast$ 以及 $x\in A$, 我们有

(1) $x+x^{\ast },i(x-x^{\ast }),x{x}^{\ast }$ 都是 Hermite 的.

(2) $x$ 存在唯一的分解 $x=u+iv$ 使得 $u,v\in A$ 都 Hermite.

(3) 单位元 $e$ 是 Hermite 的.

(4) $x\in A^{\times }$ 是可逆元当且仅当 $x^{\ast }\in A^{\times }$, 此时 $(x^{\ast }{)}^{-1}=(x^{-1}{)}^{\ast }$.

(5) $\lambda \in \sigma (x)$ 当且仅当 $\overline{\lambda }\in \sigma (x^{\ast })$.

证明留给读者作为习题. 此外还有一个有用的定理:

引理 1.4. 若 $A$ 是交换含幺的且 $A$ 半单, 即 $R(A)=0$, 则 $A$ 的每个对合都是连续的.

证明. 设 $h:A\to \mathbb{C}$ 同态, 定义 $\varphi (x):=\overline{h}(x^{\ast })$, 容易检查 $\varphi :A\to \mathbb{C}$ 也是同态 (这里用到交换性). 于是 $\varphi$ 连续, 那么对 $x_n\to x,x_n^{\ast }\to y$ 于 $A$ 我们有$$\overline{h}(x^{\ast })=\varphi (x)=\lim \varphi (x_n)=\lim \overline{h}(x_n^{\ast })=\overline{h}(y).$$结合 $A$ 半单, $x^{\ast }-y$ 在每个极大理想中故为 $0$, 故 $y=x^{\ast }$, 由闭图像定理可得 $x\mapsto x^{\ast }$ 连续.

$\square$

$C^{\ast }$ 代数, 交换 $C^{\ast }$ 代数的基本性质

在泛函分析中一个定义如果不涉及范数或者这个空间带的拓扑, 总觉得还差点意思, 而对于对合来说, 这个画龙点睛之笔就是:

定义 1.5. 对合 $\ast$ 若满足对任意 $a\in A$, 有$$\Vert a^{\ast }a\Vert =\Vert a{\Vert }^2,$$则称 Banach 代数 $A$ 连带 $\ast$ 为一个 $C^{\ast }$ 代数. 为了方便, 以后如无特殊说明, 总要求 ${\mathbf{C}}^{\ast }$ 代数是含幺的.

引理 1.6. $C^{\ast }$ 代数中总有 $\Vert x^{\ast }\Vert =\Vert x\Vert$ 以及 $\Vert x{x}^{\ast }\Vert =\Vert x\Vert \cdot \Vert x^{\ast }\Vert$.

证明. 注意到 $\Vert x{\Vert }^2=\Vert x{x}^{\ast }\Vert \le \Vert x\Vert \cdot \Vert x^{\ast }\Vert$ 于是 $\Vert x\Vert \le \Vert x^{\ast }\Vert$, 用 $x^{\ast }$ 代替 $x$ 得到 $\Vert x^{\ast }\Vert \le \Vert x^{\ast \ast }\Vert =\Vert x\Vert$. 从而 $\Vert x^{\ast }\Vert =\Vert x\Vert$. 此时 $\Vert x{x}^{\ast }\Vert =\Vert x{\Vert }^2=\Vert x\Vert \cdot \Vert x^{\ast }\Vert$.

$\square$

例 1.7. 对于 $C(M)$, $L^{\infty }$ 上的共轭和 $\mathcal{L}(H)$ 伴随来说, $C^{\ast }$ 代数要求的式子总成立, 后者不那么显然, 我们将会在后文 [Hilbert 空间的引入] 一节中见到 $\mathcal{L}(H)$ 是 $C^{\ast }$ 代数. 而那个抽象例子并不是 $C^{\ast }$ 代数. 来看抽象例子, 我们容易构造 $A_0(\mathbb{D})$ 上的函数 $f(z)=1+(1+i)z$, 它的最大模为 $1+\sqrt{2}$, 但是$$|f(z)\overline{f(\overline{z})}|=|(1+(1+i)z)(1+(1-i)z)|=|1+2z+2z^2|\le 1+2+2=5<(1+\sqrt{2}{)}^2.$$

回到 $C^{\ast }$ 代数的性质研究, 仍然遵循 Gelfand 的想法, 我们来观察交换含幺的 $C^{\ast }$ 代数, 从一个引理开始:

引理 1.8 (Arens). 设 $a\in A$ 是含幺交换 $C^{\ast }$ 代数中的 Hermite 元, 则对任意极大理想 $\mathfrak{m}$, $\hat{a}(\mathfrak{m})\in \mathbb{R}$.

这即是在说, $A$ 上的任意同态都是 $A\to \mathbb{C}$ 的 $C^{\ast }$ 代数态射.

证明. 假设 $\hat{a}(\mathfrak{m})=r+is$ 其中 $r,s\in \mathbb{R}$, 那么对 $t\in \mathbb{R}$, 考虑$$r^2+(s+t{)}^2=|r+is+it{|}^2=|\widehat{a+ite}(\mathfrak{m}){|}^2\le \Vert a+ite{\Vert }^2=\Vert (a+ite)(a-ite)\Vert =\Vert a^2+t^{2}e\Vert \le \Vert a^2\Vert +t^2.$$倘若 $s\ne 0$, 令 $t=\lambda s,\lambda \to +\infty$ 推出矛盾.

由此根据 1.3 对一般的 $b\in A$, $\widehat{b+b^{\ast }}(\mathfrak{m}),\widehat{i(b-b^{\ast })}(\mathfrak{m})$ 是实数推出 $\widehat{b^{\ast }}(\mathfrak{m})=\overline{\hat{b}(\mathfrak{m})}=\hat{b}(\mathfrak{m}{)}^{\ast }$.

$\square$

注意到含幺 Banach 代数中元素的谱集等于商极大理想的所有可能取值. 故:

推论 1.9. 若 $a\in A$ 是含幺交换 $C^{\ast }$ 代数中的 Hermite 元, 则 $\sigma (a)\subset \mathbb{R}$.

定理 1.10 (Gelfand–Naimark). 设 $A$ 是含幺交换 $C^{\ast }$ 代数. 那么其 Gelfand 映射满足以下性质:

(1) $\widehat{a^{\ast }},\hat{a}$ 是 $C(\mathfrak{M})$ 上互为共轭的函数.

(2) Gelfand 映射是等距同构, 即 $\Vert a\Vert =\rho (a)$ 且 Gelfand 映射是双射.

这即是说, Gelfand 映射是一个 $C^{\ast }$ 代数 (保 $\ast$) 同构.

证明. (1) 由上述 Arens 引理 1.8 得到. (2) 注意到交换性条件, 我们有$$\Vert a^2{\Vert }^2=\Vert a^2(a^2{)}^{\ast }\Vert =\Vert (a^{\ast }a)(a^{\ast }a{)}^{\ast }\Vert =\Vert a^{\ast }a{\Vert }^2=\Vert a{\Vert }^4.$$于是 $\Vert a^2\Vert =\Vert a{\Vert }^2$ 故 Gelfand 映射是等距, 为证明同构只差满射, 而根据 Weierstrass 逼近定理, 像集闭, 是含幺代数且区分点, 故像集是整个 $C(\mathfrak{M})$.

$\square$

正规算子的单生成性质

定理 1.11. 若 $A$ 是含幺交换 $C^{\ast }$ 代数, 满足存在 $x\in A$, 使 $\mathbb{C}[x,x^{\ast }]$ 在 $A$ 稠密.

则我们可以定义一个 $C^{\ast }$ 代数 (保 $\ast$) 同构 $\Psi :C(\sigma (x))\to A$ 为: 对 $f\in C(\sigma (x))$, 我们令 $\widehat{\Psi f}=f(\hat{x})$, Gelfand–Naimark 定理保证良定. 这表明 $\mathfrak{M}$ 典范同构于 $\sigma (x)$.

特别的, $f(\lambda )=\lambda$ 使得 $\Psi f=x$.

证明. 首先对 ${\mathfrak{m}}_1,{\mathfrak{m}}_2\in \mathfrak{M}$, 若 $\hat{x}({\mathfrak{m}}_1)=\hat{x}({\mathfrak{m}}_2)$ 设它们对应的同态为 $h_1,h_2$, 那么 $h_1(x)=h_2(x)$, 由 Gelfand–Naimark1.10, $h_1(x^{\ast })=h_2(x^{\ast })$ 从而 $h_1(P(x,x^{\ast }))=h_2(P(x,x^{\ast }))$ 其中 $P\in \mathbb{C}[x,x^{\ast }]$, 于是由稠密性以及 $h_i$ 连续性得 $h_1=h_2$. 注意到 $\hat{x}$ 值域是 $\sigma (x)$, 且 $\hat{x}$ 是紧空间到 Hausdorff 空间的连续映射. 这一切表明 $\hat{x}$ 是 $\mathfrak{M}$ 到 $\sigma (x)$ 的同胚.

在这一同胚下 $f\mapsto f(\hat{x})$ 是 $C(\sigma (x))\to C(\mathfrak{M})$ 的等距保 $\ast$ 同构, 它定义出了 $\Psi$. 于是一切都自然.

$\square$

注 1.12. 由此我们看到, 对于连续函数 $f:\sigma (x)\to \mathbb{C}$, 我们可以自然地记 $\Psi (f):=f(x)\in A$, 这被称为连续算符演算.

为了进一步推广这一结果到更加一般的情形上去, 我们需要一些引理.

引理 1.13 (Shilov). 设 $A$ 是含幺 Banach 代数, $B\subset A$ 是含幺 Banach 子代数, 那么对每个 $x\in B$, $$\partial {\sigma }_B(x)\subset \partial {\sigma }_A(x).$$

这个定理的证明让我们放到叫做 [间奏二] 的章节中去. 我们先应用这个定理推出一些有趣的结论.

定理 1.14. 含幺 $C^{\ast }$ 代数 $A$ 中有一个含幺 $C^{\ast }$ 子代数 (即关于对合封闭)$B$, 则$$B\cap (A^{\times })=B^{\times },$$即若 $a\in A$ 在 $A$ 可逆, 则在 $B$ 可逆. 作为推论任意 $a\in B$ 有 ${\sigma }_B(a)={\sigma }_A(a)$.

证明. 此时 $a^{\ast }\in B\cap (A^{\times })$, 现在注意到 $a^{\ast }a\in B$ 是 Hermite 元, 于是由 1.9, ${\sigma }_A(a^{\ast }a),{\sigma }_B(a^{\ast }a)\subset \mathbb{R}$, 我们注意到对于实数 $\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$ 的一个子集, 它在 $\mathbb{C}$ 中的边界是自身, 故 Shilov 引理 1.13 给出$${\sigma }_B(a^{\ast }a)=\partial {\sigma }_B(a^{\ast }a)\subset \partial {\sigma }_A(a^{\ast }a)={\sigma }_A(a^{\ast }a)\subset {\sigma }_B(a^{\ast }a).$$最后一个包含号是因为在 $B$ 可逆推出在 $A$ 可逆, 所以在 $A$ 不可逆一定在 $B$ 不可逆.

这样我们就得到 ${\sigma }_B(a^{\ast }a)={\sigma }_A(a^{\ast }a)$, 由条件 $a^{\ast }a\in A^{\times }$ 故 $0\notin {\sigma }_A(a^{\ast }a)={\sigma }_B(a^{\ast }a)$ 从而 $a^{\ast }a\in B^{\times }$. 这表明 $a\in B^{\times }$.

$\square$

这样一来, 对 $C^{\ast }$ 代数来说, 涉及子代数时 $\sigma$ 这一记号是良定的, 这是一个好消息.

定义 1.15. 设 $x\in A$ 是含幺 $C^{\ast }$ 代数中的正规算子, 记 $A_x$ 为 $A$ 中 $\mathbb{C}[x,x^{\ast }]$ 的闭包.

推论 1.16. 对正规算子 $x$, 子代数 $A_x$ 是交换的, 且同构于 $C(\sigma (x))$.

注 1.17. 总结一下一般的连续算符演算, 在一般的含幺 $C^{\ast }$ 代数 $A$ 中, 对正规元 $x\in A$, 任意一个 $x$ 谱集上的连续函数 $f\in C(\sigma (x))$ 都能作用在 $x$ 上, 得到一个元素 $f(x)\in A_x$. 这样作用不仅将 $C(\sigma (x))$ 与 $A_x\subset A$ 对应起来, 而且还保持模长, 幺元, 数乘, 加法, 乘法, $\ast$ 对合 (共轭).

特别地, 还有所谓的谱的连续函数演算性质, 对 $f\in C(\sigma (x))$, $\sigma (f(x))=f(\sigma (x))$, 这是由 $\sigma$ 和 Gelfand 映射值域的对应关系得到的. 再次强调, 对 $C^{\ast }$ 代数来说, 涉及子代数时 $\sigma$ 这一记号是良定的.

推论 1.18. 正规算子 Hermite 和酉的谱判据. 算符演算告诉我们:

一个正规算子是 Hermite 算子当且仅当 $T^{\ast }=T$, 即 $\sigma (T)\subset \mathbb{R}$;

一个正规算子是酉算子当且仅当 $T^{\ast }T=e$, 即 $\sigma (T)\subset \partial \mathbb{D}$.