用户: Cybcat/Banach 代数/第八讲

1第八讲

谱刻画

定义 1.1. 对 $T\in \mathcal{L}(H)$, 我们将谱集 $\sigma (T)$ 划分成下面不交三类:

$\bullet$ 用 ${\sigma }_p(T)\subset \sigma (T)$ 表示点谱, 即 $0⊊\ker (\lambda e-T)$ 者, 即对应特征值, 此时 $T$ 不单.

$\bullet$ 用 ${\sigma }_c(T)\subset \sigma (T)$ 表示连续谱, 即 $0=\ker (\lambda e-T)$ 且 $\overline{\mathrm{Im}(T)}=H$, 此时 $T$ 单, 像的闭包是全空间, 但是不可逆 (逆算子无界).

$\bullet$ 用 ${\sigma }_r(T)\subset \sigma (T)$ 表示剩余谱, 即 $0=\ker (\lambda e-T)$ 且 $\overline{\mathrm{Im}(T)}⊊H$, 此时 $T$ 单但是不满, 像的闭包不是全空间.

本节中我们取定 Hilbert 空间 $\mathbf{H}$ 以及其上的有界正规算子 $\mathbf{N}$, 由谱定理, 存在唯一与之对应的谱测度 $\mathbf{E}$.

我们最关心的就是正规算子的谱刻画, 即能否对其各类谱点的性质给出更清晰的描述. 让我们从下面的定理开始:

定理 1.2. 设 $f\in C(\sigma (N))$, 记 $\omega =f^{-1}(0)$, 则$$\ker f(N)=\mathrm{Im}(E(\omega )).$$

证明. 定义 $g:=1_{\omega }\in L^{\infty }(E)$ 则 $E(\omega )=g(N)$, 那么 $f\cdot g=0$, 即有 $f(N)E(\omega )=0$, 这样 $\mathrm{Im}(E(\omega ))\subset \ker f(N)$. 另一方面, 我们定义$${\omega }_0:=\{\lambda \in \sigma (N):|f(\lambda )|\ge 1\},{\omega }_n:=\{\lambda \in \sigma (N):(n+1{)}^{-1}\le |f(\lambda )|<n^{-1}\}.$$这样 ${\omega }_n$ 的无交并即 $\sigma (N)\backslash \omega$. 现在定义 $g_n(\lambda )=1_{{\omega }_n}/f(\lambda )$, 于是 $f(N)g_n(N)=E({\omega }_n)$. 对任意 $x\in \ker f(N)$ 总有 $E({\omega }_n)x=0$, 于是$$x=E(\omega )x+\sum _{n=0}^{\infty }E({\omega }_n)x=E(\omega )x.$$从而得到 $x\in \mathrm{Im}E(\omega )$. 由 $x$ 的任意性我们得到了 $\mathrm{Im}(E(\omega ))\subset \ker f(N)$.

$\square$

推论 1.3. 作为上述定理的推论:

(1) 考虑单点, ${\lambda }_0\in \sigma (N)$, 定义 $E_{{\lambda }_0}:=E(\{{\lambda }_0\})$, 于是 $\ker ({\lambda }_{0}e-N)=\mathrm{Im}{E}_{{\lambda }_0}$.

(2) ${\lambda }_0\in {\sigma }_p(N)$ 是点谱当且仅当 $E_{{\lambda }_0}\ne 0$.

(3) ${\sigma }_r(N)=\varnothing$. 即正规算子没有剩余谱.

(4) ${\lambda }_0\in \sigma (N)$ 当且仅当 ${\lambda }_0$ 的任意开邻域 $U$, 都有 $E(U)\ne 0$.

(5) 若 ${\lambda }_0$ 是 $\sigma (N)$ 中的离散点 (孤立点), 即存在开邻域 $U$ 使得 $U\cap \sigma (N)=\{{\lambda }_0\}$, 则 ${\lambda }_0\in {\sigma }_p(N)$ 是点谱.

(6) 若 $\sigma (N)$ 至多可数, 设之 $\{{\lambda }_n{\}}_n$, 那么任意 $x\in H$ 存在唯一的分解: $$x=\sum x_n,N{x}_n={\lambda }_n{x}_n,x_i\perp x_j(i\ne j).$$

证明. (1) 代入 $f={\lambda }_0-\lambda$. (2) 是 (1) 和点谱的定义. (3) 假设某 ${\lambda }_0\in {\sigma }_r(N)$, 下面推矛盾.

现在 ${\overline{\mathrm{Im}({\lambda }_{0}e-N)}}^{\perp }=\ker (\overline{{\lambda }_0}e-N^{\ast })\ne 0$. 即 $\overline{{\lambda }_0}\in {\sigma }_p(N)$ 是点谱, 由 (2) 也就有 $E^{N^{\ast }}(\{\overline{{\lambda }_0}\})\ne 0$, 但是 $E^{N^{\ast }}(\{\overline{{\lambda }_0}\})=E^N(\{{\lambda }_0\})$, 因此再次由 (2) 有 ${\lambda }_0\in {\sigma }_p(N)$ 矛盾. 这里让我们补充一下细节, $N^{\ast }$ 的谱分解实则是 $N$ 的谱分解的共轭, 即 $E^N(\omega )=E^{N^{\ast }}(\overline{\omega })$, 这是因为对 $T\in C(\sigma (N))$ 对应 $f(\lambda )$, 放在 $C(\sigma (N^{\ast }))$ 上就是 $f(\overline{\lambda })$, 需要看作谱集共轭上的函数. 在这一观点下, 结合谱测度唯一性及其定义$${\int }_{C(\sigma (N))}\hat{T}d{E}_{xy}^N=(Tx,y)={\int }_{C(\sigma (N^{\ast }))}\hat{T}d{E}_{xy}^{N^{\ast }}.$$立刻得知 $E^N$ 就是将 $E^{N^{\ast }}$ 定义域共轭一下, 取值完全没变化.

(4) 这是因为 ${\lambda }_0\in \sigma (N)$ 当且仅当 ${\lambda }_0$ 在 $f(\lambda )=\lambda$ 的必要像中, 而题面中的开集描述就是点在必要像中的定义. (5) 是 (4) 和 (2) 的立刻推论. 然后来看 (6), 存在性是由于 $\sigma (N)$ 是 $\{{\lambda }_n{\}}_n$ 的无交并, 所以$$x=E(\sigma (N))x=\sum E_{{\lambda }_n}x,x_n:=E_{{\lambda }_n}x$$而 (1) 告诉我们 $N{x}_n={\lambda }_n{x}_n$, 单位分解的定义给出垂直性. 最后唯一性是因为 $x_n$ 的定义要求它在 $E_{{\lambda }_n}$ 像中, 结合正交性, 将 $x=\sum x_n$ 往 $\mathrm{Im}{E}_{{\lambda }_n}$ 投影, 其他 $E_m(m\ne 0)$ 都消没, 得知投影结果就是 (就唯一确定了) $x_n$.

$\square$

回忆关于紧算子的事实: 紧算子的和, 紧算子与普通算子的乘积是紧算子, 紧算子在算子范数下是闭的, 有限秩算子是紧算子.

命题 1.4. 给定正规算子 $N$, 一些与紧算子相关的事实列举如下:

(7) $N$ 是紧算子当且仅当对任意不包含 $0$ 的开邻域的开集 $U\subset \mathbb{C},U\cap B_r(0)=\varnothing$, $\mathrm{Im}E(U)$ 有限维.

(8) $N$ 是紧算子当且仅当下面两条同时成立:

其一, $\sigma (N)$ 的极限点至多只有 $0$; 其二, 任意 $\lambda \ne 0$ 都有 $\ker (\lambda e-N)$ 有限维.

(9) $N$ 是紧算子, 那么它的谱集满足如下这些事实:

$\bullet$ (9.1) $\sigma (N)$ 至多可数, 而且除了 $0$ 以外的点都是离散点. 实际上这正是 (8) 其一的等价刻画.

$\bullet$ (9.2) 存在 $\lambda \in \sigma (N)$ 使 $|\lambda |=\rho (N)=\Vert N\Vert$.

(10) $N$ 是紧算子, 若 $f\in C(\sigma (N))$ 且 $f(0)=0$ 则 $f(N)$ 也是紧算子.

(11) $N$ 是紧算子, $H$ 无穷维, 若 $f\in C(\sigma (N))$ 且 $f(0)\ne 0$ 则 $f(N)$ 不是紧算子.

证明. (7) 先来做右推左, 首先 $NE(U)$ 是紧算子, 因为 $E(U)$ 是有限秩的, 其次我们取 $U=\{z:|z|>r\}$, 那么 $\Vert N-NE(U)\Vert \le r$(因为函数上说 $\lambda (1-1_U)$ 的最大模被 $r$ 控制), 于是 $N$ 是 $NE(U)$ 的算子极限, 由于紧算子在算子范数下是闭的, 因此 $N$ 也紧. 然后再来看左推右, $N$ 是紧算子, 那么考虑 $g:=1_U/\lambda$, 由 $U$ 的条件它良定义, 设它对应算子 $T:=g(U)$, 那么 $NT=E(U)$ 是紧算子, 又是正规投影算子, 所以只能有限秩: 因为 $H$ 中单位球 $B_1(0)$ 在 $E(U)$ 下的像是 $E(U)$ 中的单位球, 闭包是紧集. 而闭单位球是 Banach 空间中的紧集当且仅当它有限秩.

(8) 使用 (7) 将紧算子等价掉, 先看 (7) 右推 (8) 右, 若 $\sigma (N)$ 有非 $0$ 聚点 ${\lambda }_0$, 取一列 ${\lambda }_n\to {\lambda }_0$, 满足: $|{\lambda }_n|$ 有大于 $0$ 的一致下界 $r$, 且 $|\lambda -{\lambda }_n|$ 单调减. 于是我们可构造诸 ${\lambda }_n$ 的位于 $\overline{B(0,r/2)}$ 外的一族两两不交的开邻域 $U_n$. 由 (4) 知诸 $E(U_n)\ne 0$ 且正交, 且诸 $U_n$ 含于 $U=\{z:|z|>r/2\}$ 因此 $E(U)$ 无穷维而矛盾. 然后对 $\lambda \ne 0$, $\ker (\lambda e-N)=\mathrm{Im}{E}_{\lambda }$ 所以有限维. 再看 (8) 右推 (7) 右, 这同时也是 (9.1), (9.2) 是 (9.1) 的立刻推论. 此时除了 $0$ 以外的点不能是极限点因此离散, 从而可以给每个 $0$ 以外的点对应一个不交开邻域, 由不交开邻域至多可数得知. 这样 (7) 中之 $U$ 只含有限个 $\sigma (N)$ 中的点, 故 $\mathrm{Im}E(U)$ 是它包含的点对应 $\ker (\lambda e-N)$ 的并, 于是有限维.

(10) 注意到 $f$ 是 $f_n=f\cdot e^{-1/(nz\overline{z})}$ 的一致极限, 而它在 $0$ 处可微, 故 $g_n=f_n/z$ 有界连续. 由于 $f_n(N)=g_n(N)\cdot N$ 是有界算子乘紧算子从而是紧算子, 故 $f(N)$ 是一列紧算子 $f_n(N)$ 的极限从而是紧算子. (11) $f(N)-f(0)e$ 由 (10) 是紧算子, $f(N)$ 倘若是紧算子, 则 $f(0)e$ 是紧算子进而 $e$ 是紧算子, 这意味着空间有限维矛盾.

$\square$

正元素再探

命题 1.5. 设 $N$ 为正规算子, 证明 $\mathrm{Im}N$ 闭当且仅当 $0$ 不是 $\sigma (N)$ 的极限点.

证明. 先看 $0$ 不是极限点, 即是孤立点, 考虑 $E_0:=E(\{0\})$, $E_1:=E(\sigma (N)\backslash \{0\})$. 那么显然 $E_0,E_1$ 是正交投影且 $E_0+E_1=I$. 我们声称 $\mathrm{Im}N=\mathrm{Im}{E}_1$ 这样像就是闭集.

此时函数 $g=1_{\sigma (N)\backslash \{0\}}/z$ 是有界 Borel 函数, 这样 $N\cdot g(N)=E_1$. 这代数上立刻给出 $\mathrm{Im}{E}_1\subset \mathrm{Im}N$, 反过来对 $x=Ny$, 注意到 $Ny=N(E_{0}y+E_{1}y)$, 因为 $N{E}_0=0$, 我们得到$$x=Ny=E_{1}Ny\subset \mathrm{Im}{E}_1.$$

反设 $\mathrm{Im}N$ 闭, 考虑直和分解 $H=\ker N\oplus (\ker N{)}^{\perp }$. 记后者为空间 $V$, 那么 $N{|}_V$ 是单射, 而且像是闭集, 开映射定理表明 $N:V\to \mathrm{Im}N$ 是 Banach 空间的同构映射. 也就是说存在常数 $c>0$ 使得对任意 $x\in V$ 有 $\Vert Nx\Vert \ge c\Vert x\Vert$.

现在我们再从谱定理的角度看待问题, 上述直和分解同时也是 $H=\mathrm{Im}{E}_0\oplus \mathrm{Im}{E}_1$, 于是 $\Vert N{E}_{1}x\Vert \ge c\Vert E_{1}x\Vert$ 对任意 $x$, 这表明 $(N{E}_1{)}^{\ast }(N{E}_1)\ge c^2{E}_1^{\ast }{E}_1\ge 0$, 于是 $|\lambda {|}^2$ 作为 $\sigma (N)\backslash \{0\}$ 上的函数, 模长有非零下界 $c^2$, 这表明$$\sigma (N)\backslash \{0\}\subset \{z:|z|\ge c\}.$$至此命题得证.

$\square$

注 1.6. 命题中关于 $N$ 正规的条件不可去掉. 对一般 Hilbert 空间上的算子来说这不真, 例如在 ${\ell }^2({\mathbb{Z}}_{+})$ 上定义算子$$N{e}_k:=\frac{1}{k+1}{e}_{k+1}.$$首先 $\Vert N^k\Vert \le 1/(k!)$ 故它的谱半径是 $0$, 从而 $0$ 是谱集中的孤立点, 其次它的像不是闭的因为它的像包含任意有限和 ${\sum }_{k=2}^N{a}_k{e}_k$. 但是 $N$ 的像并不是 $e_1$ 的正交补空间, 很显然诸如 $e_2/2+e_3/3+\cdots$ 者不在像中.

反过来对于 $0$ 是谱集中的极限点的情况, 像也可能是闭的, 例如$$N{e}_1:=e_2,N{e}_k:=\frac{1}{2^k}{e}_k+e_{k+1}(k\ge 2).$$此时我声称像集是 $e_1$ 正交补, 对任意 $a={\sum }_{k\ge 2}{a}_k{e}_k$, 显然存在唯一 $b={\sum }_{k\ge 1}{b}_k{e}_k$ 使得 $Nb=a$(留给读者思考). 但显然对 $k\ge 2$, $2^{-k}\in \sigma (N)$, 因为 $N-2^{-k}e$ 的像并不是全空间, 它的像在前 $k$ 个分量上只能取到一个 $k-1$ 维子空间.

GNS 构造

遍历性质

让我们讨论一个很简单的例子, 稍稍往遍历论和动力系统的门缝里瞄一眼.

所谓遍历一词原本是一个统计力学术语. (不准确也不严谨地) 说的是一个系统 " 时间平均=空间平均 ". 设 $\mu$ 是某概率测度于某 $\sigma$-代数 $\mathcal{M}$ 上, 全空间 (态空间) 记作 $\Omega$. 现在我们有一个映射 $\psi :\Omega \to \Omega$, 它刻画的是: 这个系统经过一段固定时间后的表现, 由初态 $x\in \Omega$ 唯一决定了末态 $\psi (x)\in \Omega$. 这样对 $\Omega$ 上的函数 $f$(系统的某个量), 所谓的时间平均就是$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}(f+f\psi +f{\psi }^2+\cdots +f{\psi }^{n-1}).$$这个极限按某种意义存在. 空间平均就非常朴素了, 对 $f\in L^1(\mu )$, 就应该是 ${\int }_{\Omega }fd\mu$.

现在我们考虑两个关键概念, 第一个是保测, 我们说 $\psi :\Omega \to \Omega$ 保测指对一切 $E\in \mathcal{M}$ 有 ${\psi }^{-1}(E)\in \mathcal{M}$, 而且测度 $\mu (E)=\mu ({\psi }^{-1}(E))$. 由此可以证明对 $f\in L^1(\mu )$ 都有$${\int }_{\Omega }(f\psi )d\mu ={\int }_{\Omega }fd\mu .$$第二个概念是遍历, 称 $\psi$ 遍历指 $\psi (E)=E\in \mathcal{M}$ 仅当 $\mu (E)=0$ 或 $\mu (E)=1$ 时发生. 也就是说介于 $0,1$ 测度的集合不能在 $\psi$ 下保持不动, 这在第一眼上看还不很好理解, 让我们看看有限的例子:

假设 $\Omega$ 是有限集, $\mathcal{M}=2^{\Omega }$ 幂集, 每个元素测度都为 $1/\#\Omega$. 那么此时 $\psi$ 遍历当且仅当 $\psi$ 作用是一个全元素的轮换, 也就是对每个初值 $x\in \Omega$, ${\psi }^k(x)$ 取遍全体 $\Omega$. 这样说应该就能理解了.