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1第二讲

始终记得如果没有其他说明, 从现在开始都考虑含幺 $e$ 且 $\Vert e\Vert =1$ 的 Banach 代数.

Gelfand–Mazur 定理及其立刻推论

首先让我们介绍 Gelfand–Mazur 定理. 这个定理说的事情及其证明都非常简单:

定理 1.1 (Gelfand–Mazur). 若 $A$ 是 Banach 代数, 同时是除环, 即满足每个非零元都可逆, 那么 $A$ 等距同构于 $\mathbb{C}$.

证明. 注意到对每个 $x\in A$, $\sigma (x)$ 非空, 任取 $\lambda \in \sigma (x)$ 那么 $\lambda e-x$ 不可逆从而是 $0$. 这表明 $x=\lambda e$ 于是 $x$ 中的元素都是 $e$ 的 $\mathbb{C}$ 中元素倍从而 $A$ 是 $\mathbb{C}$-一维的. 最后度量上依定义必须 $\Vert \lambda e\Vert =|\lambda |$ 从而等距同构于 $\mathbb{C}$.

$\square$

注意到这一定理并没有要求 $\mathbf{A}$ 具有任何的交换性, 但是这一定理对于交换 Banach 代数的研究有很大的帮助. 我们知道交换含幺代数模掉极大理想总得到一个域, 如果它上面有 Banach 代数结构, 那么由 Gelfand–Mazur 它将是 $\mathbb{C}$. 现在我们将这一计划付诸实践.

引理 1.2. (含幺)Banach 代数 $A$ 的极大 (左, 右, 双边) 理想 $\mathfrak{m}$ 总是闭的.

证明. 考虑 $\mathfrak{m}$ 的闭包, 它仍是 (左, 右, 双边) 理想, 只需证明 $\overline{\mathfrak{m}}=\mathfrak{m}$. 于是只需检查它是真理想, 即 $1\notin \overline{\mathfrak{m}}$, 注意到 $B(e,1)\cap \mathfrak{m}=\varnothing$. 这是因为 $e-x\in B(e,1)$ 是可逆的, 其逆为经典的 $e+x+x^2+\cdots$, 引理得证.

$\square$

现在对 Banach 代数 $A$ 及闭双边真理想 $J$, 这时候 $A/J$ 有自然的 Banach 代数结构, 定义: $$\Vert [a]\Vert :=\underset{x\in [a]}{\inf }\Vert x\Vert =\underset{j\in J}{\inf }\Vert x+j\Vert .$$由于 $J$ 闭, 这当然使商空间成为 Banach 空间, 容易发现$$\Vert [ab]\Vert \le \underset{x\in [a],y\in [b]}{\inf }\Vert xy\Vert \le \underset{x\in [a]}{\inf }\Vert x\Vert \cdot \underset{y\in [b]}{\inf }\Vert y\Vert =\Vert [a]\Vert \cdot \Vert [b]\Vert .$$而 $\Vert [e]\Vert =1$ 这是因为若 $j\in J$ 使 $\Vert e+j\Vert <1$ 则 $e-(e+j)\in J$ 可逆而矛盾.

推论 1.3. 设 $A$ 是含幺交换 Banach 代数, 则对任意极大理想 $\mathfrak{m}$ 都有 $A/\mathfrak{m}$ 等距同构于 $\mathbb{C}$.

这样我们就能定义自然映射 ${\phi }_{\mathfrak{m}}:A\to \mathbb{C}\cong A/\mathfrak{m}$, 而且在第一讲中我们已证明 $|{\phi }_{\mathfrak{m}}(x)|\le \Vert x\Vert$, 结合 $\phi (e)=1$, 实际上我们得到算子范数 $\Vert {\phi }_{\mathfrak{m}}\Vert =1$. 至此我们已经做好介绍 Gelfand–Mazur 理论的准备.

极大理想空间

记 $A$ 全体极大理想构成的集合 $\mathfrak{M}$, 我们第一步赋予它一个自然的拓扑结构.

我们已经将每个极大理想 $\mathfrak{m}\in \mathfrak{M}$ 都和一个单位连续泛函 ${\phi }_{\mathfrak{m}}\in A^{\ast }$ 联系起来. 既然 $A^{\ast }$ 上有 $\ast$ 弱拓扑, 那么我们自然能诱导出 $\mathfrak{M}\subset A^{\ast }$ 上的子拓扑, 记作 $\tau$, 马上我们将看到 $\tau$ 足够好:

实际上, 使用 $\ast$ 弱拓扑的一大理由是

定理 1.4 (Alaoglu). Banach 空间 $X$ 的对偶空间 $X^{\ast }$ 中的闭单位球 $B$ 是 $\ast$ 弱拓扑下紧的.

证明. 首先考虑自然映射 $B\to Y:={\prod }_{x\in X}\overline{B_{\mathbb{C}}(0,\Vert x\Vert )}$, 这里为 $f\mapsto (f(x){)}_{x\in X}$. 它当然是单射, 因为 $f$ 的值决定 $f$, 其次它是连续的, 因为对开集 $O\subset \mathbb{C}$ 和 $x\in X$, 标准开集 $O\cap \overline{B_{\mathbb{C}}(0,\Vert x\Vert )}$ 的原像 $\{f:f(x)\in O\}$ 依定义是 $\ast$ 弱开的. 更强的 $f$ 其实是到像同胚, 只需证明 $B$ 标准开集基中开集的像, 是 $Y$ 中开集与 $B$ 的像的交, 这也基本就是定义.

由 Tychonoff 定理可知 $Y$ 是紧集, 现只需证明 $B$ 的像在 $Y$ 中是闭集. 倘若 $(a_x{)}_{x\in X}$ 不在 $B$ 的像中, 这实则说明要么存在 $x,y\in X$ 使 $a_{x+y}\ne a_x+a_y$, 要么说明存在 $r\in \mathbb{C}$ 和 $x\in X$ 使 $a_{rx}\ne r\cdot ax$, 否则定义 $f(x):=a_x$ 就是一个 $B$ 中的线性函数. 也就是说, 线性性被破坏了. 那么 $a_{x+y}\ne a_x+a_y$ 的情况下, 设 $U_{x+y},U_x,U_y$ 为包含 $a_{x+y},a_x,a_y$ 的开集使其中没有元素 $b_{x+y},b_x,b_y$ 使 $b_{x+y}=b_x+b_y$. 那么 $U_{x+y}\cap U_x\cap U_y$ 中不会含有 $B$ 的像, $a_{rx}\ne r\cdot a_x$ 的情形同理. 这全是因为 $\mathbb{C}$ 上的加法和乘法连续.

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反过来, 整理一下, 留给读者不难证明:

引理 1.5. 设 $A$ 是含幺交换 Banach 代数, $\phi :A\to \mathbb{C}$ 是非退化同态, 那么:

$\phi$ 一定是连续的, $\phi (e)=1$ 而且 $J=\ker \phi$ 是 $A$ 中的极大理想.

由此可得 $\mathfrak{M}$ 和 $\phi :A\to \mathbb{C}$ 的非退化 (自动连续) 同态一一对应.

这让我们只需关心代数性质, 现在我们可以陈述并证明核心定理:

定理 1.6. 对于 $(\mathfrak{M},\tau )$, 下面的事实成立.

(1) $(\mathfrak{M},\tau )$ 是紧 Hausdorff 空间;

(2) 对每个 $x\in A$, $\hat{x}:={\phi }_{\bullet }(x)$ 定义了 $(\mathfrak{M},\tau )$ 上的一个连续函数.

证明. 先看 (1), 延续 Alaoglu 定理的证明, 这次只需证明嵌入 $\mathfrak{M}\to Y:={\prod }_{x\in X}\overline{B_{\mathbb{C}}(0,\Vert x\Vert )}$ 像是闭集. 更好的是 $Y$ 已经 Hausdorff 了, 所以 $\mathfrak{M}$ 的像子遗传得到 Hausdorff 性质. 现在为了证明像闭, 只需证明像在 $B$ 的像中是闭集, 需要讨论两种情形, 第一种是发生 $a_{xy}\ne a_x\cdot a_y$, 这和前面的技巧完全一样. 第二种是很特别的情形, $(0{)}_{x\in X}$ 也有包含它的开集 $U_e$(包含 $0$ 但是不含 $1$), 该开集中不含 $\mathfrak{M}$ 的像因为非退化同态在 $e$ 处取值总是 $1$.

再来看 (2), 这立刻来自弱拓扑的定义, 细节留给读者.

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Gelfand–Mazur 理论

现在我们来拼上最后一块拼图. 前一节的核心定理告诉我们对含幺交换 Banach 代数 $A$, 这样一个映射, 称为 Gelfand 映射: $$A\to C(\mathfrak{M}),a\mapsto \hat{a}.$$其中 $C(\mathfrak{M})$ 表示 $\mathfrak{M}$ 上的 $\mathbb{C}$-连续函数空间并带有最大模范数, 让我们来分析这一映射的性质:

定理 1.7. 关于 Gelfand 映射:

(1) 对任意 $a\in A$, $\sigma (a)=\{\hat{a}(\mathfrak{m}):\mathfrak{m}\in \mathfrak{M}\}$.

(2) Gelfand 映射是连续映射, 实际上对任意 $a\in A$, $\Vert \hat{a}\Vert :=\Vert \hat{a}{\Vert }_{C(\mathfrak{M})}=\rho (a)\le \Vert a\Vert$.

(3) Gelfand 映射是单射当且仅当全体极大理想的交 $R(A)$ 平凡, 即 $R(A)=0$. 这时我们称 $A$ 为半单的.

(4) Gelfand 映射是到像等距 (自然是单射) 当且仅当 $\Vert a^2\Vert =\Vert a{\Vert }^2$ 对一切 $a\in A$.

(5) Gelfand 映射是单射且 $A$ 的像是 $C(\mathfrak{M})$ 中的闭集当且仅当存在正实数 $K$ 使 $\Vert x{\Vert }^2\le K\Vert x^2\Vert$.

证明. 先证 (1), 对 $\lambda \in \sigma (a)$, $\lambda e-a$ 不可逆故存在极大理想 $\mathfrak{m}$ 包含它, 从而 $\hat{a}(\mathfrak{m})=\lambda$, 反过来 $\hat{a}(\mathfrak{m})=\lambda$ 即得到 $\lambda e-a\in \mathfrak{m}$ 从而不可逆. 现在 (2) 就是 (1) 的立刻推论. (3) 即是 Gelfand 映射核平凡的定义. 然后是 (4), 首先看右推左, 此时 $\Vert a^{2^n}\Vert =\Vert a^{2^{n-1}}{\Vert }^2=\cdots =\Vert a{\Vert }^{2^n}$ 从而 $\rho (a)=\Vert a\Vert$ 总成立. 反过来左推右, $\rho (a)=\Vert a\Vert$, 自然也有 $\rho (a^2)=\Vert a^2\Vert$, 而多项式演算带来 $\rho (a^2)=\rho (a{)}^2$, 这表明 $\Vert a^2\Vert =\Vert a{\Vert }^2$. 最后是 (5), 是单射且像是闭集当且仅当范数等价, 即当且仅当存在 $s>0$ 使得 $\rho (x)\ge s\Vert x\Vert$. 我们声称若记$$r:=\underset{x\ne 0}{\inf }\frac{\Vert x^2\Vert }{\Vert x{\Vert }^2},s:=\underset{x\ne 0}{\inf }\frac{\rho (x)}{\Vert x\Vert },$$则成立着 $s^2\le r\le s$, 这样 $r>0$ 当且仅当 $s>0$ 从而命题得证. $s^2\le r$ 是立刻的因为 $\rho (x{)}^2=\rho (x{)}^2\le \Vert x^2\Vert$; 另一边, 归纳地证明 $\Vert x^{2^n}\Vert \ge r^{2^n-1}\Vert x{\Vert }^{2^n}$ 因此 $\rho (x)\ge r\Vert x\Vert$.

$\square$

这些基本的事实构成了 Gelfand 理论最基本的内容. 但是我们仍然需要提醒, Gelfand 映射只能对交换 Banach 代数定义.