用户: Cybcat/Banach 代数/第七讲

1第七讲

投影算子的性质再探

命题 1.1. 关于正规投影 $P_1,P_2$:

(1) $P_1{P}_2$ 是正规投影当且仅当 $P_1{P}_2=P_2{P}_1$.

$\bullet$ 称 $P_1$ 与 $P_2$ 可交换. 此时 $\mathrm{Im}{P}_1{P}_2=\mathrm{Im}{P}_1\cap \mathrm{Im}{P}_2$.

(2) $P_1+P_2$ 是正规投影当且仅当 $P_1{P}_2=0$ (或者 $P_2{P}_1=0$), 当且仅当值域 $\mathrm{Im}{P}_1\perp \mathrm{Im}{P}_2$ 正交.

$\bullet$ 称 $P_1$ 与 $P_2$ 正交. 此时 $\mathrm{Im}(P_1+P_2)=\mathrm{Im}{P}_1\oplus \mathrm{Im}{P}_2$.

(3) $\mathrm{Im}{P}_1\subset \mathrm{Im}{P}_2$ 当且仅当 $P_1{P}_2=P_1$ (或者 $P_2{P}_1=P_1$), 或者 $\Vert P_{1}x\Vert \le \Vert P_{2}x\Vert$ 对任意 $x\in H$.

$\bullet$ 称 $P_1$ 为 $P_2$ 的部分投影.

(4) $P_2-P_1$ 是正规投影当且仅当 $P_1$ 为 $P_2$ 的部分投影.

$\bullet$ 称 $P_2-P_1$ 为 $P_2$ 和 $P_1$ 的差投影. 此时 $\mathrm{Im}(P_2-P_1)=\mathrm{Im}{P}_2\cap \ker P_1$.

这些结论的证明并不困难, 我们把它们留给读者作为练习.

证明.

证明. (1) 注意到正规投影等价于 Hermite 投影.

(2) 注意到 $P_1+P_2$ 是投影故 $P_1{P}_2+P_2{P}_1=0$, 左乘 $P_1$ 并注意 $I+P_1$ 可逆得 $P_1{P}_2=0$. 反过来 $P_1{P}_2=0$ 取 $\ast$ 即得 $P_2{P}_1=0$. 然后因为 $\mathrm{Im}{P}_1=(\ker P_1{)}^{\perp }$, 于是 $\mathrm{Im}{P}_1\perp \mathrm{Im}{P}_2$ 当且仅当 $\mathrm{Im}{P}_2\subset \ker P_1$.

(3) 如果 $\mathrm{Im}{P}_1\subset \mathrm{Im}{P}_2$, 那么 $P_{1}x\in \mathrm{Im}{P}_2$ 故 $P_2(P_{1}x)=P_{1}x$. 反过来取 $\ast$ 得到 $P_2{P}_1=P_1$ 推出 $\mathrm{Im}(P_1)\subset \mathrm{Im}(P_2)$. $P_1{P}_2=P_1$ 容易推出 $\Vert P_{1}x\Vert \le \Vert P_{2}x\Vert$. 反过来若 $x\in \mathrm{Im}{P}_1\backslash \mathrm{Im}{P}_2$, 那么 $\Vert P_{2}x\Vert <\Vert x\Vert =\Vert P_{1}x\Vert$ 矛盾.

(4) 若 $P_2-P_1$ 正规投影, $(P_2-P_1)+P_1=P_2$ 推出 $(P_2-P_1)P_1=0$. 反过来计算 $(P_2-P_1{)}^2$ 展开即得.

$\square$

这一结论似乎暗含了诸投影的某种神秘结构, 让我们利用这些性质来构建如下的理论:

单位分解 (Resolutions of the Identity)

定义 1.2. 设 $\mathfrak{A}$ 是集合 $\Omega$ 上的 $\sigma$-代数, $H$ 为一个 Hilbert 空间, 则 $H$ 在 $\mathfrak{A}$ 的一个单位分解包含如下资料: 一个映射$$E:\mathfrak{A}\to \mathcal{L}(H),$$满足如下一系列性质:

(1) $E(\varnothing )=0,E(\Omega )=I$.

(2) 任意 $\omega \in \mathfrak{A}$, $E(\omega )$ 都是正规投影.

(3) 任意 ${\omega }_1,{\omega }_2\in \mathfrak{A}$, $E({\omega }_1\cap {\omega }_2)=E({\omega }_1)E({\omega }_2)$ (可交换).

(4) 若 ${\omega }_1,{\omega }_2\in \mathfrak{A}$ 使 ${\omega }_1\cap {\omega }_2=\varnothing$, $E({\omega }_1\cap {\omega }_2)=E({\omega }_1)+E({\omega }_2)$ (正交).

(5) 对每个 $x,y\in H$, $$E_{xy}(\omega )=(E(\omega )x,y)$$定义了 $\mathfrak{A}$ 上的一个 (正则) 复测度.

注 1.3. 注意到若 $\mathfrak{A}$ 是一个紧 Hausdorff 空间上的全体 Borel 可测集, 则时常要求复测度都是正则的, 即全变差测度 $|E_{xy}|$ 正则, 对非负测度来说的正则, 即可测集的测度, 都是包含它的开集的测度下确界, 含于它的紧集的测度上确界. 不过倘若该紧 Hausdorff 空间带有度量, 那么复测度总是正则的.

关于这点, 注意到紧集可以是一系列下降开集的交. 然后证明如下集合 $A$ 构成 $\sigma$-代数即可: $A\subset \Omega$ 使得任意 $ϵ>0$ 存在 $K\subset A\subset U$, 其中 $K$ 紧 $U$ 开而且 $\mu (U\backslash K)<ϵ$.

另外 Riesz 表示定理总是带给我们正则 Borel 测度, 所以无需太过担心.

引理 1.4. 关于单位分解 $E$:

(1) $\omega \mapsto E(\omega )$ 在 $\ast$ 弱拓扑下是可数可加的. 即:

对任意 $x\in H$ 和一族两两不交的 $\{{\omega }_n{\}}_{n=1}^{\infty }$, 记 $\omega ={\bigcup }_n{\omega }_n$, 则 $\sum E({\omega }_n)x=E(\omega )x$.

(2) 可数个 $E$ 零测的 $\omega$ 的并仍是 $E$ 零测的. 即:

对任意一族 $\{{\omega }_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 使 $E({\omega }_n)=0$ 对一切 $n$, 记 $\omega ={\bigcup }_n{\omega }_n$, 则 $E(\omega )=0$.

证明. (1) 由于诸 $E({\omega }_n)x$ 正交, 由上一讲的正交收敛判定只需证明 $\sum E_{xy}({\omega }_n)=E_{xy}(\omega )$ 对任意 $y\in H$, 这正是复测度的可数可加性. (2) 注意到 $E_{xx}({\omega }_n)=0$ 对一切 $x,n$. 由于 $E_{xx}$ 可数可加, 而且是非负测度, 我们得到 $E_{xx}(\omega )=0$, 即 $\Vert E(\omega )x{\Vert }^2=0$, 由 $x$ 的任意性可得 $E(\omega )=0$.

$\square$

注意 (1) 中我们并不能得到强收敛, 因为投影算子的模长总是 $1$ 或者 $0$ (零投影), 从而除了极特殊的平凡求和情况, 一般得不到 Cauchy 列.

$L^{\infty }(E)$ 的定义与映射构造

定义 1.5. 用 $L^{\infty }(E)$ 表示 $\Omega$ 上的全体 $\mathfrak{A}$-可测复有界函数商掉几乎处处为 $0$ 的等价类.

所谓 $\mathfrak{A}$-可测复函数 $f$ 的必要像, 即最大使得 $E(f^{-1}(U))=0$ 的开集 $U\subset \mathbb{C}$ 的补. 在全体 $\mathfrak{A}$-可测复有界函数构成的 Banach 代数, 商掉几乎处处等于 $0$ 这一闭理想后, 我们得到了 Banach 代数 $L^{\infty }(E)$, 不过我们在说话时像对往常的 $L^{\infty }$ 空间一样, 常用可测复有界函数代表元 $f$, 而非整个等价类.

接下来我们要做的, 就是让记号 $\int fdE$ 良定义, 当然我们先假设 $E$ 存在:

定理 1.6. 存在 $\ast$-同构映射 $\Psi$, 将 Banach 代数 $L^{\infty }(E)$ 打到某关于 $\ast$ 封闭的交换闭子代数 $A\subset \mathcal{L}(H)$, 满足$$(\Psi (f)x,y)={\int }_{\Omega }fd{E}_{xy},\forall x,y\in H,f\in L^{\infty }(E).$$而且满足如下三条性质: $$\Vert \Psi (f)\Vert =\Vert f{\Vert }_{\infty },\Vert \Psi (f)x{\Vert }^2={\int }_{\Omega }|f{|}^{2}d{E}_{xx}.$$且 $\mathcal{L}(H)$ 中一个算子, 与每个 $\Psi (f)$ 可交换当且仅当与每个 $E(\omega )$ 可交换.

证明. 一步步来.

(1) 若 $s$ 为 $\Omega$ 上的简单函数, 即 $\Omega ={\bigsqcup }_{i=1}^n{\omega }_i$ 无交并, 使得 $s=\sum {\alpha }_i{1}_{{\omega }_i}$, 那么定义$$\Psi (s):=\sum _{i=1}^n{\alpha }_{i}E({\omega }_i).$$很明显这定义不随着划分细分而改变, 因此与有限划分的选取无关, 这样由于诸 $E({\omega }_i)$ 自伴, $\Psi (s{)}^{\ast }=\Psi (\overline{s})$, 而且对两个简单函数来说, 计算它们的乘积只需取公共划分, 然后利用 $E({\omega }_i)E({\omega }_j)=E({\omega }_i\cap {\omega }_j)$ 即可得到 $\Psi (st)=\Psi (s)\Psi (t)$. 类似的, $\mathbb{C}$ 线性性是简单的. 很明显此时 $(\Psi (s)x,y)=\int fd{E}_{xy}$.

(2) 然后是检查符合定理的前两条要求, 对简单函数来说, 计算$$\Vert \Psi (s)x{\Vert }^2=(\Psi (s{)}^{\ast }\Psi (s)x,x)=(\Psi (|s{|}^2)x,x)={\int }_{\Omega }|s{|}^{2}d{E}_{x,x}.$$这表明 $\Vert \Psi (s)x\Vert \le \Vert s{\Vert }_{\infty }\Vert x\Vert$, 另一方面取最大模的 ${\alpha }_i$, 对 $x\in \mathrm{Im}(E({\omega }_i))$ 即得到 $\Psi (s)x={\alpha }_{i}x$, 于是$$\Vert \Psi (s)x\Vert =|{\alpha }_i|\cdot \Vert x\Vert =\Vert s{\Vert }_{\infty }\Vert x\Vert .$$因此 $\Vert \Psi (s)\Vert =\Vert s{\Vert }_{\infty }$.

(3) 推广到全体 $L_{\infty }$ 函数, 对任意 $f\in L^{\infty }(E)$ 取一列可测简单函数 $s_k$ 在 $L^{\infty }$ 范数下收敛到 $f$. 那么由于 $\Vert \Psi (s)\Vert =\Vert s{\Vert }_{\infty }$ 以及简单函数在 $L^{\infty }(E)$ 稠密, 还有引理 1.4 保证与有界函数代表元选取无关, 我们得知这 $\Psi$ 良定. 并且由于共轭与 $\ast$ 的连续性, 加法与乘法的连续性, 平方积分的连续性, 我们得到了除了可交换以外的全部性质.

(4) 若算子与每个 $E(\omega )$ 可交换, 它就会与全体简单函数定义的 $\Psi (s)$ 可交换, 由于 $\Psi (s)$ 的稠密性, 就会与全体 $\Psi (f)$ 可交换.

$\square$

注 1.7. 对全体 $f\in L^{\infty }(E)$, 前述定理的性质给到我们$$\Vert f{\Vert }_{\infty }^2=\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }{\int }_{\Omega }|f{|}^{2}d{E}_{xx}.$$

主定理

现在我们有能力来陈述和证明我们的主定理, 对于 Hilbert 空间中的有界正规算子 $T$, 我们希望找到 $\sigma (T)$ 的 Borel 子集上的单位分解 $E$, 与前文的 Gelfand–Naimark 定理给出的 $C(\sigma (T))\to A_T$ 相容. 这样我们就能将 $C(\sigma (T))$ 上定义的算子延拓为 $L^{\infty }(E)=L^{\infty }(\sigma (T))$ 上定义的算子. 实际上更加一般地:

定理 1.8 (谱理论主定理). 设 $A\subset \mathcal{L}(H)$ 是含幺交换 $C^{\ast }$ 子代数 (关于 $\ast$ 封闭), 那么

(a) 存在唯一单位分解 $E$ 在 $\mathfrak{M}$ 的全体 Borel 子集上并满足: $$T={\int }_{\mathfrak{M}}\hat{T}dE,\forall T\in A.$$$\hat{T}\in C(\mathfrak{M})$, 换言之, 这延拓了 Gelfand 映射的逆映射.

(b) Gelfand 映射的逆映射 $\Phi$ 这样给出: $$\Phi f:={\int }_{\mathfrak{M}}fdE.$$是 $C(\mathfrak{M})\to \mathcal{L}(H)$ 到 $L^{\infty }(E)\to \mathcal{L}(H)$ 中一个子代数 $B$ 的 $C^{\ast }$ 代数同构, 具体即$$\Phi \overline{f}=(\Phi f{)}^{\ast },\Vert \Phi f\Vert =\Vert f{\Vert }_{\infty }.$$

(c) $B$ 是 $E(\omega )$ 有限线性组合在 $\mathcal{L}(H)$ 中的闭包.

(d) $\omega \subset \mathfrak{M}$ 若是非空开集, 则 $E(\omega )\ne 0$.

(e) $\mathcal{L}(H)$ 中的算子 $S$, 与全体 $A$ 中算子可交换当且仅当与全体 $E(\omega )$ 可交换, 当且仅当与全体 $B$ 中算子可交换.

证明. (1) 先来证明 (a) 中 $E$ 的唯一性, 按定义$$(Tx,y)={\int }_{\mathfrak{M}}\hat{T}d{E}_{xy}.$$由于 $\hat{T}$ 取遍 $C(\mathfrak{M})$, 因此 Borel 测度 $E_{xy}$ 被唯一决定: 这即测度版本的 Riesz 表示定理. 由此 $E_{xy}(\omega )=(E(\omega )x,y)$ 即该复测度在全体 Borel 集上的取值也被唯一决定.

(2) 上面的唯一性证明帮助我们给出存在性的构造, 先解决 Borel 测度: 首先对 $x,y\in H$ 给定, 由于 $\Vert \hat{T}{\Vert }_{\infty }=\Vert T\Vert$, $\hat{T}\mapsto (Tx,y)$ 是 $C(\mathfrak{M})\to \mathbb{C}$ 的有界线性泛函, 模长不超过 $\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert$. Riesz 表示定理告诉我们存在复 Borel 测度 ${\mu }_{xy}$ 使得$$(Tx,y)={\int }_{\mathfrak{M}}\hat{T}d{\mu }_{xy},\forall T\in A.$$我们的目的就是检查 $E_{xy}={\mu }_{xy}$ 符合条件.

对自伴算子 $T$ 检查 $(Tx,y)=\overline{(Ty,x)}$ 给出 ${\mu }_{xy}=\overline{{\mu }_{yx}}$, 而 $(Tx,y)$ 关于 $x,y$ 的共轭线性给出 ${\mu }_{xy}$ 也是共轭双线性的. 这样一来关于 $x,y$ 的双线性性质被检查完成.

(3) 再解决 $\Phi$ 的定义: 现在我们将连续函数 $\hat{T}\in C(\mathfrak{M})$ 替换为任意有界 Borel 函数 $f$, 定义: $$((\Phi f)x,y)={\int }_{\mathfrak{M}}fd{\mu }_{xy}.$$显然对于给定的 $f$, 右式是关于 $(x,y)$ 的有界 ($\Vert f{\Vert }_{\infty }$ 控制) 共轭双线性映射, 由双线性的 Riesz 表示定理, 我们定义了 $\Phi f\in \mathcal{L}(H)$ 且 $\Vert \Phi f\Vert \le \Vert f{\Vert }_{\infty }$.

(4) 验证 $\Phi$ 的一些基本性质, $\Phi$ 关于 $f$ 线性是显然的, 而且$$((\Phi \overline{f})x,y)={\int }_{\mathfrak{M}}\overline{f}d{\mu }_{xy}=\overline{{\int }_{\mathfrak{M}}fd{\mu }_{yx}}=\overline{((\Phi f)x,y)}=(x,(\Phi f)y).$$由此得知 $\Phi \overline{f}=(\Phi f{)}^{\ast }$. 现在需要检查 $\Phi (fg)=\Phi (f)\cdot \Phi (g)$. 我们先来看 $S,T\in A$, 此时 $\widehat{ST}=\hat{S}\cdot \hat{T}$. 即$${\int }_{\mathfrak{M}}\hat{S}\hat{T}d{\mu }_{xy}=(STx,y)={\int }_{\mathfrak{M}}\hat{S}d{\mu }_{Tx,y}.$$注意到这对一切 $\hat{S}\in C(\mathfrak{M})$ 成立, 因此把 $\hat{S}$ 换成一切有界 Borel 可测 $f$ 也成立, 于是$${\int }_{\mathfrak{M}}f\hat{T}d{\mu }_{xy}={\int }_{\mathfrak{M}}fd{\mu }_{Tx,y}=((\Phi f)Tx,y)=(Tx,(\Phi f{)}^{\ast }y)={\int }_{\mathfrak{M}}\hat{T}d{\mu }_{x,(\Phi f{)}^{\ast }y}.$$注意到这对一切 $\hat{T}\in C(\mathfrak{M})$ 成立, 因此把 $\hat{T}$ 换成一切有界 Borel 可测 $g$ 也成立, 于是$$\Phi (fg)x,y={\int }_{\mathfrak{M}}fgd{\mu }_{xy}={\int }_{\mathfrak{M}}gd{\mu }_{x,(\Phi f{)}^{\ast }y}=((\Phi g)x,(\Phi f{)}^{\ast }y)=(\Phi (f)\Phi (g)x,y).$$

(5) 现在乘积公式也有了, 终于可以定义 $E$. 定义 $E(\omega ):=\Phi (1_{\omega })$. 显然它是实的, 值域 $0,1$ 即有 $1_{\omega }^2=1_{\omega }$, 故它对应正规投影. 显然 $E(\varnothing )=0,E(\mathfrak{M})=1$. 然后是 $1_{{\omega }_1\cap {\omega }_2}=1_{{\omega }_1}{1}_{{\omega }_2}$, 还有对于不交的 $1_{{\omega }_1\cup {\omega }_2}=1_{{\omega }_1}+1_{{\omega }_2}$. 最后$$E_{xy}(\omega )=(E(\omega )x,y)=\int 1_{\omega }d{\mu }_{xy}={\mu }_{xy}(\omega )$$完成了绝杀, 当然它是 Riesz 表示定理带来的所以总是正则.

(6) 由此 $\Vert \Phi f\Vert =\Vert f{\Vert }_{\infty }$ 来自前一个定理, 因为全体简单函数, 全体连续函数都满足 $L^1$ 稠密性, 按照上述 (4) 一样的方法若 $S\in \mathcal{L}(H)$ 与全体 $T\in A$ 可交换, 则对 $x,y\in H,\omega \in \mathfrak{A}$, 记 $z:=S^{\ast }y$, 计算$$(STx,y)=(Tx,z)={\int }_{\mathfrak{M}}\hat{T}d{E}_{xz},(TSx,y)={\int }_{\mathfrak{M}}\hat{T}d{E}_{Sx,y}.$$它们总相等当且仅当可以将 $\hat{T}$ 换成全体简单函数, 或者全体 $L^{\infty }(E)$ 函数. 现在 (a)(b)(e) 都得证.

再看 (c), 这也是稠密性. 最后是 (d), 若 $\omega$ 开使得 $E(\omega )=0$, 取 $T\in A$ 非零使 $\hat{T}$ 支在 $\omega$ 内, 由 $E(\omega )=0$ 可知非负测度 $E_{xx}({\omega }_1)=0$ 对一切 $x\in H$ 和 ${\omega }_1\subset \omega$, 于是 $(\Phi (\hat{T})x,x)=0$ 对一切 $x$, 得到 $\Phi (\hat{T})=T=0$ 矛盾. 于是整个定理得证.

$\square$

注 1.9. 值得注意的是, $C(\mathfrak{M})$ 并不在 $L^{\infty }(E)$ 中稠密, 但是简单函数在 $L^{\infty }(E)$ 中稠密, 这就是为什么 (c) 对全体 $E(\omega )$ 进行陈述, 同样也解释了我们通常不能得到算子范数下 $E(\omega )$ 的可数可加性而只能弱 $\ast$ 意义 (对应 $L^1$ 意义) 下. 不过对一个复测度 $\mu$, 总有连续函数以及简单函数皆在 $L^1(\mu )$ 稠密.

最后我们来陈述并证明关于正规算子 $T$ 的谱定理:

定理 1.10. 对正规 $T\in \mathcal{L}(H)$, $\sigma (T)$ 上存在唯一的单位分解 $E$ 使得$$T={\int }_{\sigma (T)}\lambda dE(\lambda ).$$而且使得 $S\in \mathcal{L}(H)$ 与 $T$ 可交换就能推出 $S$ 与全体 $E(\omega )$ 可交换.

证明. 存在性自然是对 Banach 代数 $A_T$ 使用主定理. 注意到 $ST=TS$ 当且仅当 $S{T}^{\ast }=T^{\ast }S$ 以及 $T,T^{\ast }$ 的多项式在 $A_T$ 依定义稠密, 命题得证. 实际上 Weierstrass 逼近定理也告诉我们 $\lambda ,\overline{\lambda }$ 的多项式能逼近任意连续函数.

$\square$

注 1.11. 和以前一样, 对 $f\in L^{i}nfty(E)$ 即 $\mathfrak{M}$ 上的 Borel 函数, 定义 $f(T):=\Phi (f)$.

本节中的这两个定理通称为谱定理.

最后我们以 $\Phi (f)$ 谱集的研究作为本讲的收尾:

定理 1.12. 在谱理论主定理 1.8 的语境下, $\sigma (\Phi (f))$ 即 $f$ 的必要像.

证明. (1) 首先我们取 $f$ 必要像以外的一点 $\lambda$. 按照必要像的定义, 这表明存在 $r>0$ 使得 $f^{-1}(B_r(\lambda ))$ 零测. 于是我们定义 $g=(\lambda -f{)}^{-1}\in L^{\infty }(E)$, 它良定义是因为除开一个零测集外, 其余处 $|g|\le r^{-1}$ 成立, 因此可以找一个模长被 $r^{-1}$ 控制的 Borel 函数 $\tilde{g}$ 使得它 $E$-几乎处处等于 $g$, 这样 $\Phi (\lambda e-f)\Phi (g)=\Phi (1)=e$. 由此 $\lambda \notin \sigma (\Phi (f))$.

(2) 然后我们来对简单函数来证明这个结论, 假设 $f=\sum a_i{1}_{{\omega }_i}$, 其中诸 $E({\omega }_i)\ne 0$(也就是非零测) 而且 $\Omega =\bigsqcup {\omega }_i$ 即构成一个剖分. 很明显 $f$ 的必要像就是全体 $a_i$, 我们只需证明此时 $\{a_i{\}}_i\subset \sigma (\Phi (f))$, 也就是证明每个 $a_i$ 在谱集中. 注意到 $a_{i}e-\Phi (f)$ 在 ${\omega }_i$ 上取值为 $0$, 故对 $x\in \mathrm{Im}E({\omega }_i)$, 结合 $E({\omega }_i)$ 与其他 $E({\omega }_j)(j\ne i)$ 为正交投影, 我们有 $(a_{i}e-\Phi (f))x=0$, 由于 $E({\omega }_i)\ne 0$ 故可以取 $x\ne 0$, 这表明 $a_{i}e-\Phi (f)$ 不是单射, 从而不可逆.

(3) 回到一般情况, 我们取一般 $f\in L^{\infty }(E)$ 必要像内的一点 $\lambda$. 并固定 $r>0$. 按照必要像的定义, $f^{-1}(B_r(\lambda ))$ 不是零测集. 现在我们来用简单函数来逼近 $f$, 这个简单函数 $s$ 要满足: 在 $f^{-1}(B_r(\lambda ))$ 内取 $\lambda$, 在该集合外, $|s-f|<r$ 处处成立. 这只需为必要像划分即可. 现在根据 (2), 因为 $f^{-1}(B_r(\lambda ))$ 正测, 故 $\sigma (\Phi (s))$ 包含 $\lambda$. 而注意到 $s=f+(s-f)$, 故由 $L^{\infty }(E)$ 的可交换性和谱算术结论 $\lambda \in \sigma (\Phi s)\subset \sigma (\Phi f)+\sigma (\Phi (s-f))$. 由于 $\rho (s-f)\le \Vert s-f\Vert \le r$, 故存在 ${\lambda }^{\prime }\in \sigma (\Phi f)$ 使得 $|\lambda -{\lambda }^{\prime }|\le r$, 现在由 $\sigma (\Phi f)$ 闭, $r$ 任意可知: $\lambda$ 是诸 ${\lambda }^{\prime }$ 的极限点故 $\lambda \in \sigma (\Phi f)$, 结论得证.

$\square$