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1番外篇其一

椭圆曲线

我很喜欢用复的方法引入椭圆曲线, 这一部分选自我的本科毕业论文, 用最简短的语言介绍了椭圆曲线的最基本信息.

定义 1.1. 一条椭圆曲线指一个亏格 $1$ 的紧 Riemann 面.

为研究椭圆曲线, 我们需给出它的具体刻画. 它最基本的事实由下面的定理给出:

定理 1.2. 椭圆曲线都全纯同构于 $\mathbb{C}/\Lambda$, 其中 $\Lambda$ 为 $\mathbb{C}$ 中秩 $2$ 的格.

证明. 设 $X$ 为亏格 $1$ 的紧 Riemann 面. 考虑 Abel–Jacobi 映射 $J:X\to \mathrm{Jac}(X)$, 我们证明它是 Riemann 面的同构, 那么由于 $X$ 亏格 $1$, $X$ 的 Jacobi 簇是 $1$ 维复环面, 即可证出命题. 考虑 $X$ 上非平凡的全纯 $1$-形式 $\omega$, 取定 $x_0\in X$, 对 $x\in X$ 具体计算 $J(x)$ 得到

$$J(x)={\int }_{x_0}^x\omega .$$

显然 $J$ 是 Riemann 面间的全纯映射, 于是它是满射, 现只需证明是单射. 假设不是单射, 即存在 $y\ne x$ 使 $J(y)=J(x)$, 就会存在 $1$-圈 $\gamma \in Z_1(X)$ 满足

$${\int }_{x_0}^y\omega ={\int }_{x_0}^x\omega +{\int }_{\gamma }\omega .$$

由 Abel 定理, 我们得知存在 $X$ 上的亚纯函数 $f$ 具有唯一的单极点, 这将给出 $f:X\to \mathbb{S}$ 为到 Riemann 球面的同构, 这与亏格 $1$ 相矛盾.

$\square$

接下来我们引入双周期函数. 这是为了具体构造椭圆曲线上的函数.

定义 1.3. 双周期 (复) 函数指一个 $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ 满足存在秩 $2$ 的格 $\Lambda \subset \mathbb{C}$ 使得一切 $x\in \mathbb{C},s\in \Lambda$ 有 $f(x+s)=f(x)$, 格 $\Lambda$ 称 $f$ 的周期格, $\Lambda$ 的一组基 $w_1,w_2$ 称一个基本周期对. 给定 $w_1,w_2\in \mathbb{C}$ 满足 $\mathbb{R}$-线性无关, 则它生成秩二的格 $\Lambda =\Lambda (w_1,w_2)=\mathbb{Z}{w}_1+\mathbb{Z}{w}_2$. 给定 $s\in \mathbb{C}$, 记 ${\Pi }_s={\Pi }_s(w_1,w_2)=s+[0,1)w_1+[0,1)w_2$, 称一个基本平行四边形或基本区域.

下面固定秩 $2$ 的格 $\Lambda$, 记 $X=\mathbb{C}/\Lambda$, 定义

$$\wp (z)=\wp (z;\Lambda ):=\frac{1}{z^2}+\sum _{s\in \Lambda \backslash 0}\left(\frac{1}{(z-s{)}^2}-\frac{1}{s^2}\right).$$

称为 $\Lambda$ 的 Weierstrass $\wp$ 函数, 简单的分析学告诉我们它在 $\mathbb{C}-\Lambda$ 的紧集中一致绝对收敛. 作为 $X$ 上的亚纯函数它有唯一的一个 $2$ 重极点. 利用 $\wp$ 是偶函数, 对 $u\in \mathbb{C}$, $\wp -u$ 作为 $X$ 上函数的零点情况是, 要么有一对关于原点中心对称的零点, 要么在 $\Lambda /2$ 的某点处有两个零点. 导函数 ${\wp }^{\prime }$ 具有唯一的 $3$ 重极点, 从而具有按重数的 $3$ 个零点, 利在格 $\Lambda /2$ 处是零点, 故在 $X$ 上的全体零点正是 $1$ 重的 $w_1/2,w_2/2,(w_1+w_2)/2$.

推论 1.4. 对椭圆函数域 $\mathcal{E}$, 即以 $\Lambda$ 为周期的亚纯函数构成的域, 有$$\mathcal{E}=\mathbb{C}(\wp ,{\wp }^{\prime })\cong \mathbb{C}(x)[y]/(y^2-F(x)).$$其中 $F(x)=4(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)\in \mathbb{C}[x]$ 使代数关系 $({\wp }^{\prime }{)}^2=F(\wp )$ 总成立, $e_1,e_2,e_3$ 是 $\wp$ 在 $w_1/2,w_2/2,w_3/2=(w_1+w_2)/2$ 处的值, 故 $\mathcal{E}$ 在 $\mathbb{C}$ 上超越度为 $1$.

核心技巧是证明 $\mathcal{E}$ 中的偶函数构成的子域为 $\mathbb{C}(\wp )=\mathbb{C}(x)$, 通过前面对 $\wp$ 的零点信息分析, 配凑就可以得到一般的偶函数. 而奇函数为 ${\wp }^{\prime }\mathbb{C}(\wp )$.

接下来确定 $F(x)$ 的系数, 得到一个只涉及 $\Lambda$ 的表达式. 对正整数 $k\ge 3$, 定义

$$G_k=G_k(\Lambda )=G_k(w_1,w_2):=\sum _{s\in \Lambda \backslash 0}\frac{1}{s^k}=\sum _{m,n\in \mathbb{Z};(m,n)\ne (0,0)}\frac{1}{(m{w}_1+n{w}_2{)}^k}.$$

不难检查这一求和也绝对收敛.

定理 1.5 (Weierstrass 形式). 我们有 $F(x)=4x^3-60G_{4}x-140G_6$. 在传统记号上一般定义 $g_2=60G_4,g_3=140G_6$ 这样上述表达式也被写作 $f(x)=4x^3-g_{2}x-g_3$.

证明. 在原点写 $\wp (z),{\wp }^{\prime }(z)$ 的 Laurent 展式, 通过比较系数配凑消掉 $z^{-n}(n\le 0)$ 的项后得到 $X$ 上的全纯函数, 且在原点取 $0$ 从而只能是 $0$. $$\begin{array}{rl}\wp (z)& =\frac{1}{z^2}+\sum _{s\in \Lambda \backslash 0}\left(\frac{2z}{s^3}+\frac{3z^2}{s^4}+\frac{4z^3}{s^5}+\frac{5z^4}{s^6}+\cdots \right)\\ & =\frac{1}{z^2}+3G_4{z}^2+5G_6{z}^4+\cdots \end{array}$$

第二个等号交换了求和顺序, 并且利用了 $\wp$ 是偶函数得出 $G_3=G_5=\cdots =0$.

类似的写 ${\wp }^{\prime },({\wp }^{\prime }{)}^2,{\wp }^2,{\wp }^3$ 的 Laurent 展开得$$\begin{array}{rl}{\wp }^{\prime }(z)& =-\frac{2}{z^3}+6G_{4}z+20G_6{z}^3+42G_8{z}^5+\cdots ,\\ {\wp }^{\prime }(z{)}^2& =\frac{4}{z^6}-24G_4\frac{1}{z^2}-80G_6+(36G_4^2-168G_8)z^2+\cdots ,\\ \wp (z{)}^2& =\frac{1}{z^4}+6G_4+10G_6{z}^2+\cdots ,\\ \wp (z{)}^3& =\frac{1}{z^6}+9G_4\frac{1}{z^2}+15G_6+(27G_4^2+21G_8)z^2+\cdots .\end{array}$$

由此待定 $F(X)=4X^3+b{X}^2+cX+d$, 列出 $z^{-6},z^{-4},z^{-2},z^0$ 的系数方程解得 $b=0,c=-60G_4,d=-140G_6$. 至此我们确定了 $F$ 的使用 $\Lambda$ 表示的具体形式.

$\square$

注 1.6. 当然上述表达式立刻带来一系列推论, 例如观察 $z^2$ 的系数会得到 $36G_4^2-168G_8=4(27G_4^2+21G_8)-60G_4\cdot 3G_4$, 化简得到 $G_8=3G_4^2/7$. 为了得到一般的公式, ${\wp }^{\prime \prime }(z)=6\wp (z{)}^2-30G_4$, 由此比较两边的系数立刻得到对 $m\ge 4$ 时成立着递推式$$(2m+1)(2m-1)(m-3)G_{2m}=3\sum _{r=2}^{m-2}(2r-1)(2m-2r-1)G_{2r}{G}_{2m-2r}.$$

自然地定义 $\varphi :\mathbb{C}/\Lambda \to {\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2,z\mapsto [\wp (z):{\wp }^{\prime }(z),1]$.

命题 1.7. 上述 $\varphi$ 在逐点上是 $\mathbb{C}/\Lambda$ 到 $y^{2}z=4x^3-g_{2}x{z}^3-g_3{z}^3$ 的解析双射, 或者说全纯同构. 特别地, $\varphi (0):=[0:1:0]$ 为三次曲线在 $y$ 轴方向上的无穷远点.

证明. 注意到 $z$ 不是半格点时 $\wp (z)=\wp (w_1+w_2-z),{\wp }^{\prime }(z)=-{\wp }^{\prime }(w_1+w_2-z)$, 这告诉我们 $x\ne e_i$ 时对应三次曲线上的全体 $\pm y\in {\mathbb{C}}^{\times }$, 每个点都恰取到一次. 而 $x=e_i,0$ 时对应三次曲线上全体 $y=0$ 的点和无穷远点 $[0:1:0]$, 恰各取一次, 这证明了双射.

不难求导检查三次曲线的光滑性, 从而它是紧 Riemann 面. $\varphi$ 的解析性显然, 根据上一段的叙述, $\varphi$ 在 $\infty$ 处以外已检查是双射, ${\varphi }^{\prime }$ 没有重根故求导得知 $\infty$ 以外处是全纯双射, 特别的 $\infty$ 的解析性只需用到映射在该点的局部有界性从而作为奇点可去.

$\square$

注意到 $\mathbb{C}/\Lambda$ 上带有由 $(\mathbb{C},+)$ 自然诱导的加法结构, 借由双射 $\varphi$, 这一加法被带到三次曲线 $y^{2}z=4x^3-g_{2}x{z}^3-g_3{z}^3$ 上去, 我们需要确定这一加法的具体形式. 即给定这三次曲线上的两点, 如何仅通过三次曲线的参数 $g_2,g_3$ 表示出两点和与它们逆的坐标.

引理 1.8. 对任意 $f(z)\in \mathcal{E}$, 设它在某基本区域 ${\Pi }_{\alpha }(\alpha \in \mathbb{C})$ 中的零点和极点 (按重数计) 分别为 $\{a_i{\}}_{i=1}^m$, $\{b_j{\}}_{j=1}^n$, 则 $\sum a_i-\sum b_j\in \Lambda$.

证明. 微扰 $\alpha$ 使 $C=\partial {\Pi }_{\alpha }$ 上没有 $f$ 的极点和零点, 这只会让某些 $a_i,b_j$ 被换成了差一个 $\Lambda$ 中元素的代表元而不影响问题. 于是计算得$$\begin{array}{r}\frac{1}{2\pi i}{\int }_C\frac{z{f}^{\prime }(z)}{f(z)}dz=-\frac{w_1}{2\pi i}{\int }_{\alpha }^{\alpha +w_1}\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz+\frac{w_2}{2\pi i}{\int }_{\alpha }^{\alpha +w_2}\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz\end{array}$$通过换元 $u=f(z)$, 记 $C_1,C_2$ 分别为 $\alpha ,\alpha +w_1$ 的线段与 $\alpha ,\alpha +w_2$ 的线段在 $f$ 下的像, 得$$\begin{array}{r}\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\alpha }^{\alpha +w_i}\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{C_i}\frac{du}{u}\in \mathbb{Z}⟹\frac{1}{2\pi i}{\int }_C\frac{z{f}^{\prime }(z)}{f(z)}dz\in \Lambda .\end{array}$$然后注意到 $z{f}^{\prime }(z)/f(z)$ 在 $k$ 阶零点 $a$ 的 Laurent 展开的第一项为 $ka/(z-a)$, 在 $k$ 阶极点 $b$ 的 Laurent 展开的第一项为 $-kb/(z-b)$ 由留数定理得$$\frac{1}{2\pi i}{\int }_C\frac{z{f}^{\prime }(z)}{f(z)}dz=\sum a_i-\sum b_i\in \Lambda$$这即是我们要证明的命题.

$\square$

定理 1.9. 对 ${\mathbb{P}}^2$ 中椭圆曲线上的一点 $P=[x:y:z]$, 记 $-P=[x:-y:z]$. 则其上由 $\mathbb{C}/\Lambda$ 诱导的交换群, 零元是无穷远点 $[0:1:0]$, 点 $P$ 的逆元为 $-P$, 给定两点 $P_1,P_2$, 记它们确定的 (复) 直线 (如果 $P_1=P_2$ 则为该点处三次曲线的切线) 与三次曲线的第三个交点为 $P_3$, 则 $P_1,P_2$ 的和为 $-P_3$.

证明. 首先零元和逆元的对应都是很明确的, 都能通过直接的计算得到. 现在对三次曲面上的两点 $P_1,P_2$ 依题意确定直线 $ax+by+cz=0$, 构造 $f=a\wp +b{\wp }^{\prime }+c\in \mathcal{E}$, 由 1.8, 它的零点坐标和极点坐标求和作差位于 $\Lambda$, 显然它的零点就是 $P_1,P_2,P_3$. 它的极点在 $\Lambda$ 有三重, 因此在 $\mathbb{C}/\Lambda$ 上看 $P_1+P_2+P_3=0$, 于是 $-P_3=P_1+P_2$.

$\square$

注 1.10. 在定义椭圆曲线的时候, 有时额外要求指定一个基点作为幺元, 否则它只能是一个扭子 (torsor) , 在标准的射影嵌入下, 往往取无穷远点 $[0:1:0]$ 作为幺元, 因为过它的直线都是好计算的.

注 1.11 (Legendre 族). 考虑 $\{[x:y:z]\in {\mathbb{P}}^2:y^{2}z=x(x-z)(x-\lambda z)\}$ 以 $\lambda \in {\mathbb{P}}^1\backslash \{0,1,\infty \}$ 为参数, 是一族椭圆曲线, 称为 Legendre 族.

然后是椭圆曲线间的映射, 即所谓的同源 (isogeny) , 本节主要参考:

命题 1.12. 以下等价.

(1) $\lambda :A\to B$ 是两个椭圆曲线间的 $\mathbb{C}$-代数群同态;

(2) $\lambda :A\to B$ 是两个 ${\mathbb{P}}^2$ 中椭圆曲线间保护 $\infty$ 点的 $\mathbb{C}$-代数映射.

假设 $A,B$ 通过前面的 $\varphi$ 映射对应 $\mathbb{C}/L,\mathbb{C}/M$, 则还有下列等价刻画.

(3) 全纯群同态 $\tilde{\lambda }:\mathbb{C}/L\to \mathbb{C}/M$;

(4) 全纯映射 $\tilde{\lambda }:\mathbb{C}/L\to \mathbb{C}/M$ 且 $0$ 映到 $0$;

(5) $\mathbb{C}$ 上是一次函数 $\bar{\lambda }:z\mapsto az$ 满足 $\bar{\lambda }L\subset M$ 然后商到环面上.

证明. 首先 $(1)⟹(2),(5)⟹(3)⟹(4)$ 都显然. 接下来看 $(4)⟹(5)$, 注意它自然提升诱导万有覆叠上的全纯映射 $\bar{\lambda }:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$, 且可以要求 $0\mapsto 0$. 它是提升的条件推出 $\bar{\lambda }(z+w)-\bar{\lambda }(z)\in M$ 对一切 $w\in L$, 由 $M$ 的离散性得 $\bar{\lambda }(z+w)-\bar{\lambda }(z)$ 是一 $M$ 中常数, 因此求导得到 ${\bar{\lambda }}^{\prime }$ 是格 $L$ 上的全纯双周期函数, 从而由 Liouville 定理得知 ${\bar{\lambda }}^{\prime }$ 是常数从而 $\bar{\lambda }$ 是一次函数且常数项为 $0$, 由 $\mathbb{C}/L$ 的 $0$ 映到 $\mathbb{C}/M$ 的 $0$ 得知 $\bar{\lambda }L\subset M$.

然后 $(2)⟹(4)$ 利用 1.7 证的 $\varphi$ 是全纯同构得知, 注意代数映射也是全纯映射即可. 最后是 $(5)⟹(1)$, $\lambda :A\to B$ 诱导了 $[\wp (z;L):{\wp }^{\prime }(z;L):1]\mapsto [\wp (az;M):{\wp }^{\prime }(az;M):1]$, 根据域结构定理 1.4 只需检查 $\wp (az;M),{\wp }^{\prime }(az;M)$ 是 $L$ 上的亚纯椭圆函数即可, 注意 $aL\subset M$ 可知.

$\square$

定义 1.13. 由命题 1.12, 把符合上述五条的椭圆曲线间的非常值映射称为同源, 若两个椭圆曲线间存在同源映射则称这两个椭圆曲线是同源的.

定义 1.14. 由 1.12, 用 $\mathrm{Hom}(A,B)=\{a\in \mathbb{C}:aL\subset M\}$ 表示 $A\to B$ 的同源映射在加法下构成的群, 它显然是无挠的. 对同源 $\lambda$, 如果它是 $z\mapsto az$, 记 $v(\lambda )=[M:aL]$ 称为 $\lambda$ 的度 (度数). 它是同源作为覆叠映射的重数, 也是映射核的大小.

引理 1.15. 任意同源 $\lambda :A\to B$, 存在同源 $\mu :B\to A$ 使

$$\mu \lambda =\lambda \mu =v(\lambda )$$

最后一项即 $v(\lambda )$ 倍映射.

证明. 设 $\lambda$ 为 $z\mapsto az$, 则考虑 $\mu$ 取作 $z\mapsto (v(\lambda )/a)z$. 为了检查 $\mu$ 是同源, 对任意 $B$ 中格的元素 $w\in M$, 由格间指标的性质 $[M:aL]w\in aL$, 故 $(v(\lambda )/a)w\in L$.

$\square$

记 $\mathrm{End}(A)=\mathrm{Hom}(A,A)$. 它实则在复合和相加下构成环.

命题 1.16. (1) 如果 $\mathrm{End}(A)$ 或 $\mathrm{End}(B)$ 为 $\mathbb{Z}$, 则 $\mathrm{Hom}(A,B)$ 为 $0$ 或 $\mathbb{Z}$. (2) 在 (1) 假设下若成立着 $\mathrm{Hom}(A,B)=\mathbb{Z}$, 那么 $\mathrm{End}(A)=\mathrm{End}(B)=\mathbb{Z}$ 必然同时成立.

证明. (1) 若 $\mathrm{End}(A)=\mathbb{Z}$, 用 1.15 倘若存在 $\lambda \in \mathrm{Hom}(A,B)$ 非零, 取 $\mu$ 使 $\lambda \mu =\mu \lambda =v(\lambda )=:N$. 检查 $\mu \circ -:\mathrm{Hom}(A,B)\to \mathrm{End}(A)$ 是单同态, 因为 $\mu \alpha =0$ 推出 $N\alpha =\lambda \mu \alpha =0$, 从无挠推出 $\alpha =0$. 类似的证明 $\mathrm{End}(B)=\mathbb{Z}$ 的情形.

(2) 沿用前一题符号, 我们检查 $-\circ \lambda :\mathrm{End}(B)\to \mathrm{Hom}(A,B)$ 是单同态, 注意到 $\alpha \lambda =0$ 推出 $N\alpha =\alpha N=\alpha \lambda \mu =0$, 从无挠推出 $\alpha =0$.

$\square$

下面考察同源的一些简单的应用.

命题 1.17. 设 $\alpha :A\to A$ 是一非平凡自同态, 用 ${\alpha }^{\prime }$ 表示 1.15 中得到的 ${\alpha }^{\prime }:A\to A$ 使 $\alpha {\alpha }^{\prime }={\alpha }^{\prime }\alpha =v(\alpha )$, 那么 $v(\alpha )$ 对应的复数是 $\alpha$ 对应者的复共轭, 且其模长平方是 $v(\alpha )$.

证明. 设 $A$ 对应格 $\Lambda$, $\alpha$ 对应复数 $c=x+iy$. 注意 $\alpha$ 使单位平行四边形面积变成 $\det \left[\begin{array}{cc}x& -y\\ y& x\end{array}\right]=|c{|}^2$ 倍, 对应 $[\Lambda :c\Lambda ]=|c{|}^2=v(\alpha )$, 结合 1.15 的计算, ${\alpha }^{\prime }$ 对应 $|c{|}^2/c=\overline{c}$.

$\square$

命题 1.18. 任意椭圆曲线 $A$ 到自身的同构只有有限多种情况. 实际上准确地说自同构群只有 $\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/4,\mathbb{Z}/6$ 三种可能性, 而后两种可能性只有格同构于特定二次扩张的整数环 $\mathbb{Z}[i],\mathbb{Z}[\omega ]$ 时取到, 其余情况下自同构群总是 $\mathbb{Z}/2$.

证明. 换言之, 只需证明对任意格 $\Lambda$ 有 $\{a\in \mathbb{Z}:a\Lambda =\Lambda \}$ 有限, 注意 $a$ 不改变单位平行四边形的面积知 $|a|=1$, 由此结合格的离散性 (单位圆周上只有有限多点) 知 $a$ 只能是单位根, 而且必须是至多二次的代数数, 否则 $\mathbb{Z}[a]\Lambda \subset \Lambda$ 将推出它不是二阶的, 由此 $a$ 只有 $\pm 1,\pm i,\pm \omega ,\pm {\omega }^2$ 这些可能性, 而且那些二次单位根对应的格同构 $\mathbb{Z}[i],\mathbb{Z}[\omega ]$.

$\square$

漫谈 Hurwitz 定理与曲面自同构

著名的 Hurwitz 定理说:

定理 1.19. 设 $X$ 是亏格 $g$ 的紧黎曼面, 且 $g>1$, 那么 $\mathrm{Aut}(X)$ 即 $X$ 的全纯自同构群有限, 且阶数不超过 $84(g-1)$.

先看另一方面, 哪些有限群 $G$ 能成为紧黎曼面的自同构群呢? 仔细一想, 这其实和所谓的 Galois 逆问题密切相关, 因为 $\mathbb{C}$ 上的紧合或说射影代数曲线在双有理等价下的范畴, 等价于 $\mathbb{C}$ 上紧黎曼面在全纯等价下的范畴, 等价于 $\mathbb{C}$ 上 $1$ 次超越域的范畴. 更强的事实是: 代数闭域上的一元分式域上面的 Galois 逆问题是可解的, 也就是说, 不仅 $G$ 是自同构群, 而且存在到黎曼球面 ${\mathbb{P}}^1$ 的分歧覆盖, 使 (去掉分歧点后) 对应的 Deck transformation group 就是 $G$. 在较弱的命题上, 几何学给出了如下的美丽证明:

命题 1.20. 每个有限群都能作用在某个紧黎曼面上.

证明. 设 $G$ 由 $g$ 个元素 $x_1,\cdots ,x_g$ 生成, 那么任取亏格 $g$ 的紧黎曼面 $X_0$, 考虑 $\tilde{G}:={\pi }_1(X_0)$, 我们熟知它是$$\tilde{G}=⟨a_1,b_1,\cdots ,a_g,b_g:[a_1,b_1]\cdots [a_g,b_g]=e⟩.$$熟知其中的元素 $a_1,\cdots ,a_g$ 是自由的, 因为通过 $b_i=1$ 就能看出它有自由商. 不过这里继续商, 可知 $G$ 也是 $\tilde{G}$ 的商, 于是覆叠理论可知, 存在紧黎曼面 $X$ 和覆叠映射 $X\to X_0$, 使得 $G$ 作为 Deck transformation group 作用在 $X$ 上.

由于 $X\to X_0$ 毫无分歧点, 根据 Hurwitz 公式 $g$ 元生成的有限群可以作用在某个亏格 $1+(g-1)\#G$ 的紧黎曼面上.

$\square$

Fuchs 群