用户: Cybcat/数学物理学家用的数学/量子上同调 (一)

这是我在施哥讨论班要讲内容的讲义. 在第一部分我们主要追随 Rahul Pandharipande 的文章 Cohomological Field Theory Calculations.

1上同调场论 (CohFT) 及其公理

上同调场论 (Cohomological field theories CohFTs) 是 Kontsevich 和 Manin 在上世纪 90 年代自主研发的一款公理化场论. 他的诞生更好地公理化了 Gromov-Witten 理论, 并提供了一种研究场论的一般工具. 其细节大量地涉及到曲线的模空间以及上面的相交理论, 简单来说, 它总结了涉及曲线模空间的几个场论的一般性质, 某种意义上说, 可以认为是研究某种计数问题和不变量的公理化和系统化阐述.

让我们首先回顾曲线模空间的一些基本构造. 这些记号是标准的, 在本讲义中我们始终使用如下的记号.

定义 1.1. 记号说明.

$\bullet$ 用 ${\overline{M}}_{g,n}$ 表示亏格 $g$ 带有 $n$ 个标记点的稳定曲线的 Deligne-Mumford 模空间.

$\bullet$ 用 $p:{\overline{M}}_{g,n+1}\to {\overline{M}}_{g,n}$ 表示遗忘最后一个标记点的遗忘 (forgetful) 映射 (注意真实操作中需要作稳定化).

$\bullet$ 用 $q:{\overline{M}}_{g-1,n+2}\to {\overline{M}}_{g,n}$ 表示粘接最后两个标记点的内粘合 (inner gluing) 映射.

$\bullet$ 用 $r:{\overline{M}}_{g_1,n_1+1}\times {\overline{M}}_{g_2,n_2+1}\to {\overline{M}}_{g,n}$ 表示粘接两个模空间最后一个标记点的外粘合 (outer gluing) 映射. 这里 $g_1+g_2=g,n_1+n_2=n$.

$\circ$ 用 ${\overline{M}}_{g,n}(X,\beta )$ 表示亏格 $g$ 带有 $n$ 个标记点到 $X$ 的像 $\beta \in H_2(X,\mathbb{Z})$ 的稳定映射构成的模空间.

$\circ$ 用 $\pi :{\overline{M}}_{g,n}(X,\beta )\to {\overline{M}}_{g,n}$ 表示遗忘掉映射, 只记录 (稳定化的) 曲线的信息. 这里 $2g-2+n>0$.

$\circ$ 用 ${\mathrm{ev}}_i:{\overline{M}}_{g,n}(X,\beta )\to X$ 表示观察标记点 $i$ 的像, 这里 $1\le i\le n$.

$\circ$ 对同调类 $v_1,\cdots ,v_n\in H^{\ast }(X)$, 定义对应的 Gromov-Witten 类$${\Omega }_{g,n,\beta }^X(v_1,\cdots ,v_n):={\pi }_{\ast }({\mathrm{ev}}_1^{\ast }{v}_1⌣\cdots ⌣{\mathrm{ev}}_n^{\ast }{v}_n⌣[{\overline{M}}_{g,n}(X,\beta ){]}^{\mathrm{vir}})\in H^{\ast }({\overline{M}}_{g,n},\mathbb{C}).$$而对应的 Gromov-Witten 不变量为$$⟨v_1,\cdots ,v_n{⟩}_{g,n,\beta }^X:={\int }_{{\overline{M}}_{g,n}}{\Omega }_{g,n,\beta }^X(v_1,\cdots ,v_n).$$

那么什么是上同调场论呢?

定义 1.2 (上同调场论). 一个上同调场论包含了如下的信息:

$\bullet$ $V$ 是一个有限维 $\mathbb{C}$-线性空间.

$\bullet$ $\eta :V\times V\to V$ 是 $V$ 上的一个非退化对称双线性型.

$\bullet$ 一族线性映射 $\Omega =\{{\Omega }_{g,n}{\}}_{2g-2+n>0}$. 具体来说: $${\Omega }_{g,n}\in H^{\ast }({\overline{M}}_{g,n},\mathbb{C})\otimes (V^{\ast }{)}^{\otimes n}.$$

那么对张量 ${\Omega }_{g,n}$, 当代入 $n$ 个元素 $v_1,\cdots ,v_n\in V$ 后, 得到$${\Omega }_{g,n}(v_1,\cdots ,v_n)\in H^{\ast }({\overline{M}}_{g,n},\mathbb{C}).$$称为关联的同调类 (the cohomology class associated with $v_i$-s).

这些 ${\Omega }_{g,n}$ 满足一系列公理. 将在后文中介绍.

我们应该如何想象这些资料? 实际上, 在具体应用中 $V=H^{\ast }(X)$ 一般是一个流形或者其他几何对象 $X$ 的上同调环. 而 $\eta$ 则是上面的 Poincare pairing, 也就是 $\eta ({\omega }_1,{\omega }_2)$ 表示 ${\omega }_1⌣{\omega }_2$ 中顶维上同调的系数, 具有熟知的非退化性. 最后这些 ${\Omega }_{g,n}(v_1,\cdots ,v_n)$, 它们实际上可以类比为 Gromov Witten 理论中的 ${\mathrm{ev}}_1^{\ast }{v}_1⌣\cdots ⌣{\mathrm{ev}}_n^{\ast }{v}_n$, 它们即将要在模空间 ${\overline{M}}_{g,n}$ 中的同调类上作积分 (配对), 所以这解释了为什么它们生活在上同调环 $H^{\ast }({\overline{M}}_{g,n},\mathbb{C})$ 里.

那么它们需要满足怎么样的公理呢?

定义 1.3 (基本公理). 基本公理 (fundamental axioms) 包含下面两条.

(1) 对称性 (Symmetric), 当对称群 $S_n$ 中的元素同时作用在 ${\overline{M}}_{g,n}$(交换 $n$ 个标记点) 以及 $(V^{\ast }{)}^{\otimes n}$(交换 $n$ 个输入) 上时, ${\Omega }_{g,n}$ 保持不变.

(2) 边界粘合相容性 (Gluing compatibility), 对于两个粘合诱导的拉回$$q^{\ast }:H^{\ast }({\overline{M}}_{g,n},\mathbb{C})\to H^{\ast }({\overline{M}}_{g-1,n+2},\mathbb{C}),r^{\ast }:H^{\ast }({\overline{M}}_{g,n},\mathbb{C})\to H^{\ast }({\overline{M}}_{g_1,n_1+1},\mathbb{C})\otimes H^{\ast }({\overline{M}}_{g_2,n_2+1},\mathbb{C}).$$假设 $V$ 有一组 $\mathbb{C}$-基 $\{e_i{\}}_i$, 记 ${\eta }_{ij}=\eta (e_i,e_j),{\eta }^{ij}=(\eta {)}_{i,j}^{-1}$, 那么对内粘合$$q^{\ast }({\Omega }_{g,n}(v_1,\cdots ,v_n))=\sum _{j,k}{\eta }^{jk}{\Omega }_{g-1,n+2}(v_1,\cdots ,v_n,e_j,e_k).$$对外粘合, 我们有$$r^{\ast }({\Omega }_{g,n}(v_1,\cdots ,v_n))=\sum _{j,k}{\eta }^{jk}{\Omega }_{g_1,n_1+1}(v_1,\cdots ,v_{n_1},e_j)\otimes {\Omega }_{g_2,n_2+1}(v_{n_1+1},\cdots ,v_n,e_k).$$

首先, 对称性体现了模空间中 $n$ 个标记点本身具有的对称性. 所以对称性公理体现了 $\Omega$ 与此标准对称性具有的相容性. $$S_n\curvearrowright {\overline{M}}_{g,n}.$$

然后边界相容性之所以叫做边界相容性, 因为粘合映射的像都位于模空间的边界 $\mathrm{Im}q,\mathrm{Im}r\subset \partial {\overline{M}}_{g,n}={\overline{M}}_{g,n}\backslash M_{g,n}$. 所以边界粘合相容性体现了关于模空间紧化的构造信息. 再就是关于取基 $e_i$ 的说明, 首先作为线性代数练习, 读者可以检查这两个求和式与基的选取无关, 只和 $\eta$ 本身有关. 在物理学家用的 Einstin 求和记号中, 这种技术被称为张量指标缩合 (tensor index contraction), 是一种自然的构造. 这里相当于先用 $\eta$ 对偶然后缩合.

让我们以 $q$ 有关的公理为例. 几何意义上说, ${\Omega }_{g,n}$ 就是沿着赋值映射拉回 $X$ 上的一些上同调类, 那么当我们把两个标记点粘起来后, 形式上看就应该如下面的交换图表所展示: 理应有 $\tilde{f}(x_{n+1})=\tilde{f}(x_{n+2})$, 所以它对应了我们要求$${\pi }_{\ast }{\mathrm{ev}}^{\ast }(i_{\ast }{\mathrm{pr}}^{\ast }(v_1⌣\cdots ⌣v_n))=q^{\ast }({\pi }_{\ast }{\mathrm{ev}}^{\ast }(v_1⌣\cdots ⌣v_n)).$$将 ${\pi }_{\ast }{\mathrm{ev}}^{\ast }$ 视作取 $\Omega$, $i_{\ast }{\mathrm{pr}}^{\ast }$ 视作缩合, 那么我们就得到了 Gromov-Witten 不变量满足边界相容性公理的验证. 类似地我们也能检查关于 $r$ 的公理.

然后, 我们知道连通的几何对象的上同调中具有一个特别的元素 $[1]\in H^0(X)$, 它在 Poincare 对偶下对应了 $[X]\in H_{\text{top dim}}(X)$. 在我们的公理体系中假设了它的存在性之后, 就需要额外添加两条.

定义 1.4 (单位公理). 元素 $0\ne [1]\in V$ 取定, 称之单位元素. 那么关于它需加入如下两条单位公理 (unit axioms).

(3) 遗忘相容性 (Forgetful compatibility), 对于遗忘映射诱导的拉回$$p^{\ast }:H^{\ast }({\overline{M}}_{g,n},\mathbb{C})\to H^{\ast }({\overline{M}}_{g,n+1},\mathbb{C}).$$我们有$$p^{\ast }({\Omega }_{g,n}(v_1,\cdots ,v_n))={\Omega }_{g,n+1}(v_1,\cdots ,v_n,[1]).$$

(4) 归一化 (Normalization), 我们有$${\Omega }_{0,3}(v_1,v_2,[1])=\eta (v_1,v_2).$$因为 ${\overline{M}}_{0,3}$ 是一个点, 所以这里把 $H^{\ast }({\overline{M}}_{0,3},\mathbb{C})\cong \mathbb{C}$ 等同.

类似前文的处理, 这样遗忘映射 $p$ 对应了如下的图表: 我们要求$${\pi }_{\ast }{\mathrm{ev}}^{\ast }({\mathrm{pr}}^{\ast }(v_1⌣\cdots ⌣v_n))=q^{\ast }({\pi }_{\ast }{\mathrm{ev}}^{\ast }(v_1⌣\cdots ⌣v_n)).$$而注意到遗忘最后一个 $X$ 相当于上同调拉回的时候取多一个基本类 $[1]$.

再来看归一化公理, 某种意义上说, 它体现了几何上的相交. 考虑 ${\Omega }_{0,3,0}^X(v_1,v_2,[1])$, 回顾模空间 ${\overline{M}}_{0,3}(X,0)$ 的定义, 相当于观察 $f:{\mathbb{P}}^1\to X$ 被打到一个点的退化情形, 而标记点 $x_1,x_2$ 的像 (也就是那个像点) 位于 $v_1,v_2\in H^{\ast }(X)$, 那么这样的 $f$ 的数量 (在维数合适的情况下) 自然应该是 $v_1⌣v_2$.

一般地对于 $\beta \ne 0$, ${\Omega }_{0,3,\beta }^X(v_1,v_2,[1])=0$(读者可以参考 Kontsevich 和 Manin 的量子上同调原文).

注 1.5. 对于一个满足基本公理 (1) 和 (2) 的资料 $(V,\eta ,\Omega )$, 我们称一个 CohFT; 而对于一个还满足 (3) 和 (4) 的 CohFT $(V,\eta ,\Omega ,[1])$, 我们称一个带单位的 CohFT(CohFT with unit).

注意到诸如 Gromov-Witten 类等 CohFT 满足更多的公理, 这个我们后面再说.

另外, 我们指出即便是 $V=\mathbb{C},\eta (x,y)=xy,[1]=1$ 这样的几何平凡情况 (几何上看, 就是一个点的 CohFT), 也有很不平凡的例子, 显然这来自于模空间本身的复杂性.

一个相对简单但是本质上比较重要的例子是, 考虑秩 $g$ 的 Hodge 丛 (简单来说就是对曲线 $X$ 考虑其上同调 $H^{1,0}(X)$ 作为一个线性空间, 可将它实现为模空间 ${\overline{M}}_{g,n}$ 上的向量丛) $E\to {\overline{M}}_{g,n}$, 我们取 Chern 类 ${\Omega }_{g,n}(1,\cdots ,1):=c(E)\in H^{\ast }({\overline{M}}_{g,n},\mathbb{C})$.

检查上述构造给出一个 CohFT with unit 并不困难, 唯一要验证的公理是边界相容性 (因为只有它可能涉及曲线本身而不仅仅是标记点), 核心在于利用 Chern 类和 Hodge 丛的函子性.

另一个有趣, 有点平凡的小例子是 ${\omega }_{g,n}:=[{\Omega }_{g,n}{]}^0\in H^0({\overline{M}}_{g,n},\mathbb{C})\otimes (V^{\ast }{)}^{\otimes n}$ 也是一个 CohFT. $\omega$ 被称为 $\Omega$ 的拓扑组分 (Topological part).

2半单性 (Semisimplicity)

一个带单位的 CohFT 定义了一个量子积 (quantum product):

定义 2.1 (量子积). 设 $\Omega$ 是 CohFT with unit, 则 $V$ 上可定义量子积: $$\eta (v_1\bullet v_2,v_3):={\Omega }_{0,3}(v_1\otimes v_2\otimes v_3).$$

我们做一些最基本的检查, 首先它是良定义的, 也就是说 $(v_1,v_2)\mapsto v_1\bullet v_2$ 定义了一个 $V\otimes V\to V$ 的 $\mathbb{C}$-双线性映射. 双线性性是 $\Omega$ 本身保证的, 而无关性在于 $\eta$ 是非退化的, 所以本质上 ${\Omega }_{0,3}(v_1,v_2,-)$ 是一个 $V^{\ast }$ 中的线性映射, 所以把它写作 $\eta (v_1\bullet v_2,-)$ 形式下, $v_1\bullet v_2$ 唯一, 也可以看作一种 Riesz 表示定理.

然后我们有交换律 $v_1\bullet v_2=v_2\bullet v_1$, 这是因为对称性公理 (1) 给出 ${\Omega }_{0,3}(v_1,v_2,v_3)$ 的对称性.

接下来是幺元, $[1]\bullet v=v$, 这是因为我们有归一化公理 (4), $\eta ([1]\bullet v,w)={\Omega }_{0,3}([1],v,w)=\eta (v,w)$.

最后我们声称还有结合律, 我们来检查 $(v_1\bullet v_2)\bullet v_3=v_1\bullet (v_2\bullet v_3)$, 也就是$${\Omega }_{0,3}(v_1\bullet v_2,v_3,v_4)={\Omega }_{0,3}(v_1,v_2\bullet v_3,v_4).$$首先运用亏格 $0$ 时的遗忘相容公理 (3) 还有粘合相容公理 (2), 过程中我们会大量用对称性公理 (1), 计算得到$$\begin{array}{rl}& r^{\ast }{p}^{\ast }{\Omega }_{0,3}(v_1\bullet v_2,v_3,v_4)\\ =& r^{\ast }{\Omega }_{0,4}(v_1\bullet v_2,v_3,v_4,[1])=r^{\ast }{\Omega }_{0,4}(v_1\bullet v_2,[1],v_3,v_4)\\ =& \sum _{j,k}{\eta }^{jk}{\Omega }_{0,3}(v_1\bullet v_2,[1],e_j){\Omega }_{0,3}(v_3,v_4,e_k)\\ =& \sum _{j,k}{\eta }^{jk}{\Omega }_{0,3}(v_1,v_2,e_j){\Omega }_{0,3}(v_3,v_4,e_k)\\ =& r^{\ast }{\Omega }_{0,4}(v_1,v_2,v_3,v_4).\end{array}$$仍是注意 $H^{\ast }({\overline{M}}_{0,3},\mathbb{C})=H^0({\overline{M}}_{0,3},\mathbb{C})=\mathbb{C}$. 结合 $r^{\ast },p^{\ast }$ 的非退化性, 所以上述带拉回 $r^{\ast }{p}^{\ast }$ 的检查即可确定原来的等式成立. 由此我们得知 $(V,\bullet ,[1])$ 构成了 $\mathbb{C}$-有限维交换含幺代数.

研究量子积的一大意义是下面的引理:

引理 2.2. 一个 CohFT with unit $\Omega$ 的拓扑组分 $\omega$ 由 ${\Omega }_{0,3}\in (V^{\ast }{)}^{\otimes 3}$ (和 $\eta ,[1]$ 这些基本的信息) 唯一决定.

证明. 我们来观察 ${\omega }_{g,n}$ 的确定. 技巧是考虑一个特殊的 $[C,p_1,\cdots ,p_n]\in {\overline{M}}_{g,n}$, 其中 $C$ 的每个不可约分支都同构于 ${\mathbb{P}}^1$ 且上面带有三个特殊点. 例如 ${\overline{M}}_{2,3}$ 的一个例子是: 这种曲线也称极大退化曲线 (maximal degenerate curve), 根据一些组合数学它是存在的 (尽管不一定唯一), 我们知道它可以由一系列 (不难得知是 $2g+n-2$ 个) ${\overline{M}}_{0,3}$ 经过两个粘接映射 $q,r$ 得到. 现在由于 ${\omega }_{g,n}(v_1,\cdots ,v_n)\in H^0({\overline{M}}_{g,n},\mathbb{C})$, 所以它的值只需要在一点处确定. 于是在 $C$ 处的取值就由 $q,r$ 的拉回组合地确定.

$\square$

使用交换代数知识, 我们实则知道上述代数 $V$ 是一个 Artin 环, 所以由于 $\mathbb{C}$ 代数闭, 它的谱集本质上是有限多个点, 结构定理告诉我们, $V$ 同构于 $\mathbb{C}[ϵ]/({ϵ}^n)$ 的直和. 这种代数的半单性刻画非常容易, 实际上

引理 2.3. 对一个 $\mathbb{C}$-有限维含幺交换代数 $A$, 下面这些等价:

(0) $A$ 是半单代数.

(1) 不存在非零幂零元, 即 $\mathrm{rad}A=(0)$.

(2) 存在一组 $\mathbb{C}$-基 $e_i$, 使得 $e_i{e}_j={\delta }_{ij}{e}_i$.

(3) $A\cong {\mathbb{C}}^{\oplus \dim A}$.

由于 $\mathbb{C}$ 代数闭, 所以上面的刻画非常好. 但是在一般的情况下, 例如当我们需要讨论 $\mathbb{Q}$ 上的有限维半单代数时, 它也可以是一系列 $\mathbb{Q}$-有限扩张的直和. 当然, 其半单性可以基变换到 $\mathbb{C}$ 来检查.

定义 2.4. 一个 CohFT with unit $\Omega$ 被称为半单的 (Semisimple), 指的是 $(V,\bullet ,[1])$ 是半单代数.

$\circ$ 和这个定义密切有关的结果是所谓的 Givental-Teleman 分类, 它完全分类了 semisimple CohFT with unit($V$ 的维数不限). 特别地, $\dim V=1$ 的情况, $V$ 由单位 $[1]$ 生成, 这表明它的乘法是非退化的, 从而是半单的, 于是这时的情况确实被上述 GT 分类包含.

这个分类的内容简单来说, $\Omega$ 由以下两个结构唯一决定:

$\bullet$ 首先是 $\Omega$ 的拓扑组分 $\omega$.

$\bullet$ 然后是一个 $R$-矩阵: $$R(z):=\mathrm{id}+R_{1}z+R_2{z}^2+\cdots ,R_k\in \mathrm{End}(V).$$满足所谓的辛性质 (symplectic property)$$R(z)\cdot R^{\ast }(-z)=\mathrm{id}.$$这里 $\ast$ 表示取关于双线性形式 $\eta$ 的伴随.

$\circ$ 值得一提的是, 如果 $V$ 是一维的, 那么伴随就是自身, 所以 $R(z)R(-z)=1$, 一个直接的例子是 $R(z)=\exp (cz)$. 实际上如果考虑 $R$ 是 $0$ 一个邻域内的全纯函数, 那么由于它非零, 可设 $R(z)=\exp h(z)$, 求得 $h(z)+h(-z)=0$, 所以实际上所有符合条件的解是 $R(z)=\exp h(z)$, 其中 $h$ 可以是任意全纯奇函数.

而根据我们前面的引理, $\omega$ 由 ${\Omega }_{0,3}$ 决定, 如果 $V$ 是一维的那么这个映射也是平凡的. 由此我们得到了上述 GT 分类的一个小小特例.

$\circ$ 实际上在一般的情况下, 我们也可以三步走来研究一个带单位的半单 CohFT:

(1) 具体地决定环 $(V,\bullet ,[1])$,

(2) 使用上述引理决定拓扑组分 $\omega$,

(3) 计算该理论的 $R$-矩阵.

$\circ$ 特别地, 如果我们考虑的是 Gromov-Witten 理论的具体计算. 那么上述 (1) 由量子上同调环 $Q{H}^{\ast }(X,\mathbb{C})$ 决定, [需要细节] .

$\circ$ 另外, 很多有趣的 CohFT 都不是半单的, 典例是 quintic $X_5\subset {\mathbb{P}}^4$. 不过近年来, 人们似乎找到了一种利用 semisimple formal quintic theory 来作为替代研究对象的解决方案. 不过在本笔记中我们并不会介绍其细节.