草稿

紧合作用是紧合映射在群作用中的特殊情况.

1定义

定义 1.1. 设拓扑群 $G$ 连续 (左) 作用在拓扑空间 $E$ 上. 那么如果映射$$\theta :G\times E\to E\times E,(s,x)\mapsto (x,s\cdot x)$$是紧合映射, 那么我们说 $G$ 紧合作用在 $E$ 上.

2例子

•	若 $E=G$, $G$ 通过左乘连续作用在 $E$ 上, 那么映射 $\theta$ 就是同胚映射, 自然也是紧合映射
•	若 $H$ 是 $G$ 的闭子群, $G$ 紧合作用在 $E$ 上, 那么 $H$ 也紧合作用在 $E$ 上因为 $H\times E$ 是 $G\times E$ 的闭子集.

3性质

自由作用时

设群 $G$ 自由作用在集合 $E$ 上 (即 $s\cdot x=x$ 推得出 $s=e$). 又设 $C=\{(x,s\cdot x)\in E\times E\mid x\in E,s\in G\}$ 是群作用的图像. 那么由于 $G$ 自由作用, 若 $(x,y)\in C$ 则存在唯一的 $s\in G$ 使得 $y=s\cdot x$. 因此我们有如下良定义的映射:$$t:C\to G,(x,s\cdot x)\mapsto s$$这样有:

命题 3.1 ([Bourbaki 2007, III.p31, Prop.6]). 设拓扑群 $G$ 连续自由作用拓扑空间 $E$ 上. 那么 $G$ 紧合作用的充分必要条件是

•	作用图像 $C$ 是 $E\times E$ 的闭子集, 且映射 $t$ 是连续的.

当 $t$ 连续时, 也称 $G$ 弱紧合作用在 $E$ 上 [Dieck 2008].

命题 3.2 ([Dieck 2008, Prop.14.1.12]). 设离散群 $G$ 连续自由作用拓扑空间 $E$ 上. 则下列叙述等价:

•	标准投射 $p:E\to E/G$ 是 $G$-主覆叠.
•	每个 $x\in E$ 都有一个邻域 $U$ 使得 $U\cap sU\ne \varnothing$ 蕴含 $s=e$ (这个性质也称为离散紧合).
•	集合 $t^{-1}(e)$ 是 $C$ 中的开集.
•	映射 $t$ 是连续的 (即 $G$ 弱紧合).

作用在局部紧空间时

现在给出一个 Hausdorff 拓扑群 $G$ 是否紧合作用在局部紧空间 $E$ 上的判据. 对任意两个子集 $K,L\subset E$, 用 $P(K,L)$ 表示使得 $sK\cap L\ne \varnothing$ 的 $s\in G$ 的集合. 我们有:

定理 3.3 ([Bourbaki 2007, III.p33, Th.1]). 设分离拓扑群 $G$ 连续作用在拓扑空间 $E$ 上, $K$ 是 $E$ 的紧子集, $L$ 是 $E$ 的闭子集. 那么

•	集合 $P(K,L)$ 是 $G$ 的闭子集.
•	若 $G$ 紧合作用在 $E$ 上, 且 $L$ 是紧集, 那么 $P(K,L)$ 也是 $G$ 的紧子集.

反过来, 若 $E$ 是局部紧空间, 且对任意两个紧子集 $K,L\subset E$ 有 $P(K,L)$ 是 $G$ 的紧子集, 那么 $G$ 紧合作用在 $E$ 上.

注 3.4. 由于显然 $P(K,L)\subset P(K\cup L,K\cup L)$, 因此分离拓扑群 $G$ 紧合作用在局部紧空间 $E$ 上当且仅当对于任意紧子集 $K\subset E$, 集合 $P(K,K)$ 是 $G$ 的紧子集.

特别地, 对于离散群 $G$, 其紧合作用在局部紧空间 $E$ 上当且仅当对于 $E$ 的任何紧子集 $K$, 只有有限个 $s\in G$ 能使 $sK\cap K\ne \varnothing$.

4参考文献

N. Bourbaki (2007). Topologie générale: Chapitres 1 à 4. Bourbaki, Nicolas. Springer Berlin Heidelberg.

T. Dieck (2008). Algebraic Topology. EMS textbooks in mathematics. European Mathematical Society.