曲率 (Hermite 流形)

关于其它种类的曲率, 请参见 “曲率”.

给定 Hermite 流形 $(X,\omega )$, 我们可在其上定义以下几种互不相同的联络与曲率.

1$T^{1,0}X$ 上的陈联络及曲率

利用全纯切丛 $T^{1,0}X$ 上的 Hermite 度量 $h$, 我们定义相应的陈联络 $\nabla$:$$\nabla :\Gamma (X,T^{1,0}X)\to \Gamma (X,T_{\mathbb{C}}^{\ast }X\otimes T^{1,0}X).$$在局部坐标下, 陈联络有表达式 (在以下行文中我们使用 Eienstein 求和约定, 略去求和符号):$$\begin{array}{rl}\nabla \left(\frac{\partial }{\partial z^j}\right)& ={\Gamma }_{kj}^l\mathrm{d}{z}^k\otimes \frac{\partial }{\partial z^l}\\ & =(h^{l\overline{m}}{\partial }_k{h}_{j\overline{m}})\mathrm{d}{z}^k\otimes \frac{\partial }{\partial z^l}.\end{array}$$这里 $h^{l\overline{m}}$ 表示 $\overline{h^{-1}}$ 的 $(l,m)$ 分量, $h=(h_{i\overline{j}})$ 此处被视为正定 Hermite 矩阵.

利用此联络, 我们定义对应的曲率$$\Theta ={\nabla }^2=({\nabla }^{\prime }+\overline{\partial }{)}^2={\nabla }^{\prime }\overline{\partial }+\overline{\partial }{\nabla }^{\prime }\in \Gamma (X,{\Lambda }^{1,1}{T}_{\mathbb{C}}^{\ast }X\otimes \mathrm{End}(T^{1,0}X)).$$

在局部坐标下:

$$\Theta ={\Theta }_{j\overline{k}l}^m\mathrm{d}{z}^j\wedge \mathrm{d}{\overline{z}}^k\otimes \mathrm{d}{z}^l\otimes \frac{\partial }{\partial z^m},$$

这里

$${\Theta }_{j\overline{k}l}^m=-\frac{\partial {\Gamma }_{jl}^m}{\partial {\overline{z}}^k}.$$

利用 Hermite 度量对上述曲率张量进行缩并, 我们得到$$\begin{array}{rl}\Theta & =({\Theta }_{j\overline{k}l}^n{h}_{n\overline{m}})\mathrm{d}{z}^j\wedge \mathrm{d}{\overline{z}}^k\otimes \mathrm{d}{z}^l\otimes \mathrm{d}{\overline{z}}^m\\ & ={\Theta }_{j\overline{k}l\overline{m}}\mathrm{d}{z}^j\wedge \mathrm{d}{\overline{z}}^k\otimes \mathrm{d}{z}^l\otimes \mathrm{d}{\overline{z}}^m.\end{array}$$

我们一般不具体区分上述两种不同的曲率张量, 在它们两者间互相转换是容易的. 在下文中, 我们通常使用第二种曲率张量.

利用局部坐标, 我们可将曲率张量的分量具体写出: $${\Theta }_{j\overline{k}l\overline{m}}=-\frac{{\partial }^2{h}_{l\overline{m}}}{\partial z^j\partial {\overline{z}}^k}+h^{p\overline{q}}\frac{\partial h_{p\overline{m}}}{\partial {\overline{z}}^k}\frac{\partial h_{l\overline{q}}}{\partial z^j}.$$

在一般的文献与书籍里, 我们把如上定义的曲率称作 Hermite 流形 $(X,\omega )$ 的曲率. 我们还有

定义 1.1. $(X,\omega )$ 上有如下曲率记号

•	全纯双截曲率: 对于 $X,Z\in T^{1,0}X$, 我们定义 $X,Z$ 方向的全纯双截曲率为$$B(X,Z)=\frac{\Theta (X,\overline{X},Z,\overline{Z})}{|X{|}^2|Z{|}^2}.$$
•	全纯截曲率: 对于 $X\in T^{1,0}X$, 我们定义 $X$ 方向的全纯截曲率为$$H(X)=B(X,X)=\frac{\Theta (X,\overline{X},X,\overline{X})}{|X{|}^4}.$$
•	实双截曲率 [YZ19]: 若 $e=\{e_1,\cdots ,e_n\}$ 为 $T^{1,0}X$ 在点 $p$ 处的标准正交基, $a=\{a_1,\cdots ,a_n\}$ 是一列非负实数, 满足 $|a{|}^2=a_1^2+\cdots +a_n^2>0$, 那么 $(e,a)$ 方向的实双截曲率为$$B_{\mathbb{R}}(e,X)=\frac{1}{|a{|}^2}\sum _{j,k}{R}_{j\overline{j}k\overline{k}}{a}_j{a}_k.$$
•	第一 Ricci 曲率: 它是如下张量 $Ri{c}^{(1)}(\omega ):=i{\Theta }_{j\overline{k}}^{(1)}\mathrm{d}{z}^j\wedge \mathrm{d}{\overline{z}}^k$, 其中$${\Theta }_{j\overline{k}}^{(1)}=h^{l\overline{m}}{\Theta }_{j\overline{k}l\overline{m}}=-\frac{{\partial }^2\log (\det h_{l\overline{m}})}{\partial z^j\partial {\overline{z}}^k}.$$
•	第二 Ricci 曲率: 它是如下张量 $Ri{c}^{(2)}(\omega ):=i{\Theta }_{j\overline{k}}^{(2)}\mathrm{d}{z}^j\wedge \mathrm{d}{\overline{z}}^k$, 其中$${\Theta }_{j\overline{k}}^{(2)}=h^{l\overline{m}}{\Theta }_{l\overline{m}j\overline{k}}.$$
•	第三 Ricci 曲率: 它是如下张量 $Ri{c}^{(3)}(\omega ):=i{\Theta }_{j\overline{k}}^{(3)}\mathrm{d}{z}^j\wedge \mathrm{d}{\overline{z}}^k$, 其中$${\Theta }_{j\overline{k}}^{(3)}=h^{l\overline{m}}{\Theta }_{j\overline{m}l\overline{k}}.$$
•	标量曲率: 它是 $X$ 上函数 $s=h^{l\overline{m}}{h}^{j\overline{k}}{\Theta }_{j\overline{k}l\overline{m}}$.

注 1.2. Hermite 流形的曲率张量有如下的对称关系: $${\Theta }_{j\overline{k}l\overline{m}}=\overline{{\Theta }_{k\overline{j}m\overline{l}}}.$$与黎曼流形的曲率张量不同, 我们一般不能将 Hermite 曲率张量的前两个与后两个分量调换, 亦即: $${\Theta }_{j\overline{k}l\overline{m}}\ne {\Theta }_{l\overline{m}j\overline{k}}.$$这种对称性的缺失也表明一般情况下, 前面所定义的三种 Ricci 曲率互不相同.

2$T_{\mathbb{C}}X$ 上的 Levi-Civita 联络及曲率

利用 $T_{\mathbb{R}}X$ 上的黎曼度量, 我们得到 $T_{\mathbb{R}}X$ 上的 Levi-Civita 联络. 将这个联络 $\mathbb{C}$ 线性地扩张至 $T_{\mathbb{C}}X$, 我们得到了 $T_{\mathbb{C}}X$ 上的联络 ${\nabla }^{LC}$: $${\nabla }^{LC}:\Gamma (X,T_{\mathbb{C}}X)\to \Gamma (X,T_{\mathbb{C}}^{\ast }X\otimes T_{\mathbb{C}}X).$$

在局部坐标下, ${\nabla }^{LC}$ 的 Christoffel 符号可写为:$$\begin{array}{rl}{\Gamma }_{jk}^l& =\frac{1}{2}{h}^{l\overline{m}}\left(\frac{\partial h_{j\overline{m}}}{\partial z^k}+\frac{\partial h_{k\overline{m}}}{\partial z^j}\right),{\Gamma }_{\overline{j}k}^l=\frac{1}{2}{h}^{l\overline{m}}\left(\frac{\partial h_{k\overline{m}}}{\partial {\overline{z}}^j}-\frac{\partial h_{k\overline{j}}}{\partial {\overline{z}}^m}\right),\\ {\Gamma }_{jk}^{\overline{l}}& =0,\end{array}$$其余的 Christoffel 符号可由如下的关系给出$${\Gamma }_{AB}^C={\Gamma }_{BA}^C,\overline{{\Gamma }_{AB}^C}={\Gamma }_{\overline{A}\overline{B}}^{\overline{C}},$$这里 $A,B,C\in \{1,2,\cdots ,n,\overline{1},\overline{2},\cdots ,\overline{n}\}$.

利用上述联络, 我们定义如下曲率: $$R(X,Y,Z,W)=g({\nabla }_X^{LC}{\nabla }_Y^{LC}Z-{\nabla }_Y^{LC}{\nabla }_X^{LC}Z-{\nabla }_{[X,Y]}^{LC}Z,W).$$

由于 ${\nabla }^{LC}$ 是 $(T_{\mathbb{R}}X,g)$ 所对应的 Levi-Civita 联络的线性延拓, 所以上述曲率是对应实流形曲率的复化. 因此 $R$ 具有同黎曼流形曲率相同的对称性, 这与上文由陈联络定义的曲率不同. (回忆注 1.2)

利用坐标, 我们可以写出曲率分量的具体式子: $$R_{ABC}^D=-\left(\frac{\partial {\Gamma }_{AC}^D}{\partial z^B}-\frac{\partial {\Gamma }_{BC}^D}{\partial z^A}+{\Gamma }_{AC}^F{\Gamma }_{BF}^D-{\Gamma }_{BC}^F{\Gamma }_{AF}^D\right).$$特别地, $$R_{j\overline{k}l}^m=-\left(\frac{\partial {\Gamma }_{jl}^m}{\partial {\overline{z}}^k}-\frac{\partial {\Gamma }_{\overline{k}l}^m}{\partial z^j}+{\Gamma }_{jl}^n{\Gamma }_{\overline{k}n}^m-{\Gamma }_{\overline{k}l}^n{\Gamma }_{jn}^m-{\Gamma }_{\overline{k}l}^{\overline{n}}{\Gamma }_{j\overline{n}}^m\right).$$

3$T^{1,0}X$ 上的 Levi-Civita 联络及曲率

利用 $T_{\mathbb{C}}X$ 上的 Levi-Civita 联络, 我们得到 $T^{1,0}X$ 上的联络 ${\hat{\nabla }}^{LC}$, 这由如下构造给出: $${\hat{\nabla }}^{LC}:\Gamma (X,T^{1,0}X)\to \Gamma (X,T_{\mathbb{C}}^{\ast }X\otimes T_{\mathbb{C}}X)\to \Gamma (X,T_{\mathbb{C}}^{\ast }X\otimes T^{1,0}X),$$其中第一个态射由 ${\nabla }^{LC}$ 给出, 第二个态射是 $T_{\mathbb{C}}X$ 到 $T^{1,0}X$ 的自然投影.

由于 ${\nabla }^{LC}$ 与 $X$ 的黎曼度量相容, 容易验证 ${\hat{\nabla }}^{LC}$ 与 Hermite 度量 $h$ 相容, 即$$\mathrm{d}h(s,t)=h({\hat{\nabla }}^{LC}s,t)+h(s,{\hat{\nabla }}^{LC}t)对s,t\in \Gamma (X,T^{1,0}X).$$

利用局部坐标, 可将 ${\hat{\nabla }}^{LC}$ 表示为如下形式: $${\hat{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial z^j}}^{LC}\left(\frac{\partial }{\partial z^k}\right)={\hat{\Gamma }}_{jk}^l\frac{\partial }{\partial z^l},{\hat{\nabla }}_{\frac{\partial }{\partial {\overline{z}}^j}}^{LC}\left(\frac{\partial }{\partial z^k}\right)={\hat{\Gamma }}_{\overline{j}k}^l\frac{\partial }{\partial z^l},$$其中$${\hat{\Gamma }}_{jk}^l=\frac{1}{2}{h}^{l\overline{m}}\left(\frac{\partial h_{k\overline{m}}}{\partial z^j}+\frac{\partial h_{j\overline{m}}}{\partial z^k}\right),{\hat{\Gamma }}_{\overline{j}k}^l=\frac{1}{2}{h}^{l\overline{m}}\left(\frac{\partial h_{k\overline{m}}}{\partial {\overline{z}}^j}-\frac{\partial h_{k\overline{j}}}{\partial {\overline{z}}^m}\right).$$

${\hat{\nabla }}^{LC}$ 的曲率张量 $\hat{R}\in \Gamma (X,{\Lambda }^{1,1}{T}_{\mathbb{C}}^{\ast }X\otimes \mathrm{End}(T^{1,0}X))$ 由下式定义: $$\hat{R}(X,Y)s={\hat{\nabla }}_X^{LC}{\hat{\nabla }}_Y^{LC}s-{\hat{\nabla }}_Y^{LC}{\hat{\nabla }}_X^{LC}s-{\hat{\nabla }}_{[X,Y]}^{LC}s.$$使用局部坐标, $\hat{R}$ 可写为: $$\begin{array}{r}{\hat{R}}_{j\overline{k}l}^m=-\left(\frac{\partial {\hat{\Gamma }}_{jl}^m}{\partial {\overline{z}}^k}-\frac{\partial {\hat{\Gamma }}_{\overline{k}l}^m}{\partial z^j}+{\hat{\Gamma }}_{jl}^n{\hat{\Gamma }}_{\overline{k}n}^m-{\hat{\Gamma }}_{\overline{k}l}^n{\hat{\Gamma }}_{jn}^m\right),\\ {\hat{R}}_{jkl}^m=-\left(\frac{\partial {\hat{\Gamma }}_{jl}^m}{\partial z^k}-\frac{\partial {\hat{\Gamma }}_{kl}^m}{\partial z^j}+{\hat{\Gamma }}_{jl}^n{\hat{\Gamma }}_{kn}^m-{\hat{\Gamma }}_{kl}^n{\hat{\Gamma }}_{jn}^m\right),\\ {\hat{R}}_{\overline{j}\overline{k}l}^m=-\left(\frac{\partial {\hat{\Gamma }}_{\overline{j}l}^m}{\partial {\overline{z}}^k}-\frac{\partial {\hat{\Gamma }}_{\overline{k}l}^m}{\partial {\overline{z}}^j}+{\hat{\Gamma }}_{\overline{j}l}^n{\hat{\Gamma }}_{\overline{k}n}^m-{\hat{\Gamma }}_{\overline{k}l}^n{\hat{\Gamma }}_{\overline{j}n}^m\right).\end{array}$$

利用 Hermite 度量, 我们可定义$${\hat{R}}_{ABl\overline{m}}={\hat{R}}_{ABl}^n{h}_{n\overline{m}}.$$

4上述三者的关系

命题 4.1 (两个 Levi-Civita 曲率的关系). 我们有$${\hat{R}}_{\overline{j}\overline{k}l}^m=R_{\overline{j}\overline{k}l}^m,{\hat{R}}_{\overline{j}\overline{k}l}^m=R_{\overline{j}\overline{k}l}^m,$$且$$R_{j\overline{k}l}^m-{\hat{R}}_{j\overline{k}l}^m={\hat{\Gamma }}_{j\overline{n}}^m\overline{{\hat{\Gamma }}_{k\overline{l}}^n}.$$

证明. 直接计算.

$\square$

命题 4.2 (Kähler 情形). 设 $(X,\omega )$ 为 Hermite 流形, 以下三条等价:

•	$\mathrm{d}\omega =0$.
•	${\nabla }^{LC}J=0$.
•	$T^{1,0}X$ 上的陈联络 $\nabla$ 与 ${\hat{\nabla }}^{LC}$ 相等.

证明.

证明.

$\square$

注 4.3. 当 $(X,\omega )$ 为 Kähler 流形时, 对于 $U,V\in T^{1,0}X$, 我们有$${\nabla }_U^{LC}V\in T^{1,0}X,{\nabla }_{\overline{U}}^{LC}V\in T^{1,0}X,$$于是 ${\nabla }_U^{LC}V={\hat{\nabla }}_U^{LC}V={\nabla }_{U}V$, ${\nabla }_{\overline{U}}^{LC}V={\nabla }_{\overline{U}}V$.

由于$$g(U,\overline{V})=\frac{1}{2}h(U,V),$$我们有$$\frac{1}{2}\Theta (U,\overline{V},Y,\overline{Z})=R(U,\overline{V},Y,\overline{Z})对U,V,Y,Z\in T^{1,0}X.$$

5参考文献

•	杨晓奎, 郑方阳. On real bisectional curvature for Hermitian manifolds. Transactions of the American Mathematical Society, 371.4 (2019): 2703-2718. https://doi.org/10.1090/tran/7445

术语翻译

全纯双截曲率 • 英文 holomorphic bisectional curvature • 法文 courbure bissectionnelle holomorphe • 拉丁文 curvatura bisectionalis holomorpha

全纯截曲率 • 英文 holomorphic sectional curvature • 法文 courbure sectionnelle holomorphe • 拉丁文 curvatura sectionalis holomorpha

实双截曲率 • 英文 real bisectional curvature • 法文 courbure bissectionnelle réelle • 拉丁文 curvatura bisectionalis realis