数学哲学

数学哲学是研究数学的哲学分支, 其主要论题包括数学的本质、数学的基础、数学的应用等.

1数学的本质

在数学哲学中, 对数学本质的讨论主要围绕以下一类问题:

•	数学是先验的还是经验的? 换言之, 数学是被发现的还是被发明的?
•	数学对象是存在的还是虚构的? 我们谈论它们的性质时, 实际上在谈论什么?

对于这些问题有诸多不同回答, 以下列举一些常见的观点.

Platon 主义

参见: Platon 主义

Platon 主义认为, 数学对象先验地存在于某种理想世界中, 而数学家们发现这些对象, 并研究它们的规律. Platon 主义的描述契合多数人对数学研究的体验, 也能与非构造主义数学相容, 故被很多数学家推崇.

三大学派

以下三种学派常常合称为二十世纪初数学哲学的三大学派, 它们都试图避免 Platon 主义而解释数学的本质.

逻辑主义

参见: 逻辑主义

逻辑主义的观点是, 数学的本质是逻辑, 整个数学都能化归为逻辑演绎.

形式主义

参见: 形式主义

数学中的形式主义由 David Hilbert 提出, 他认为数学的本质是对一些形式符号的操作, 一切数学对象都是形式符号.

直觉主义

参见: 直觉主义

直觉主义起源于 L. E. J. Brouwer, 其观点与主流数学的观点相悖, 否认排中律的成立, 认为只有可构造的数学对象是存在的. 例如, 在这种观点下 Brouwer 不动点定理的通常证明并不正确, 因为该证明是非构造性的.

当代观点

结构主义

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虚构主义

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2数学的基础

参见: 数学的基础

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3数学的应用

参见: 数学的应用

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参考文献

[SEP]

Stanford Encyclopedia of Philosophy: Philosophy of Mathematics.

术语翻译

数学哲学 • 英文 philosophy of mathematics • 德文 Philosophie der Mathematik (f) • 法文 philosophie des mathématiques (f) • 拉丁文 philosophia mathematicae (f) • 古希腊文 φιλοσοφία τῆς μαθηματικῆς (f)