心结构

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴.

心结构是衡结构的推广, 总结了从正合范畴的有界导出范畴恢复出正合范畴所需的信息.

1定义

定义 1.1. 设 $\mathcal{C}$ 是稳定范畴. $\mathcal{C}$ 的心结构, 指的是二元组 $({\mathcal{C}}_{\ge 0},{\mathcal{C}}_{\le 0})$ 满足:

1.	${\mathcal{C}}_{\ge 0}$ 和 ${\mathcal{C}}_{\le 0}$ 都是 $\mathcal{C}$ 的满子范畴, 且对扩张封闭.
2.	对 $n\in \mathbb{Z}$, 记 ${\mathcal{C}}_{\ge n}={\mathcal{C}}_{\ge 0}[n]$, ${\mathcal{C}}_{\le n}={\mathcal{C}}_{\le 0}[n]$, 则 ${\mathcal{C}}_{\ge 1}\subseteq {\mathcal{C}}_{\ge 0}$, ${\mathcal{C}}_{\le 0}\subseteq {\mathcal{C}}_{\le 1}$.
3.	对任意 $x\in \mathcal{C}$, 存在纤维列 $x^{\prime }\to x\to x^{\prime \prime }$, 其中 $x^{\prime }\in {\mathcal{C}}_{\le 0}$, $x^{\prime \prime }\in {\mathcal{C}}_{\ge 1}$.

保持心结构的正合函子称为心正合函子. 带心结构的稳定小范畴关于心正合函子构成范畴, 记作 ${\mathsf{Cat}}^{\mathrm{heart}}$.

定义 1.2 (有界性). 称稳定范畴 $\mathcal{C}$ 的衡结构 $({\mathcal{C}}_{\ge 0},{\mathcal{C}}_{\le 0})$ 为:

•	左有界, 指 $\mathcal{C}={\bigcup }_{n\in \mathbb{Z}}{\mathcal{C}}_{\le n}$.

•	右有界, 指 $\mathcal{C}={\bigcup }_{n\in \mathbb{Z}}{\mathcal{C}}_{\ge n}$.

•	有界, 指它左有界且右有界.

定义 1.3 (心). 稳定范畴 $\mathcal{C}$ 的衡结构 $({\mathcal{C}}_{\ge 0},{\mathcal{C}}_{\le 0})$ 的心指满子范畴 ${\mathcal{C}}_{\ge 0}\cap {\mathcal{C}}_{\le 0}$, 记作 ${\mathcal{C}}^{♡}$, 自带正合范畴结构如下:

•	称 ${\mathcal{C}}^{♡}$ 中映射 $f$ 是余纤维化, 指其在 $\mathcal{C}$ 中的余纤维仍处于 ${\mathcal{C}}^{♡}$ 中, 即 $\mathrm{cofib}(f)\in {\mathcal{C}}_{\le 0}$.
•	称 ${\mathcal{C}}^{♡}$ 中映射 $f$ 是纤维化, 指其在 $\mathcal{C}$ 中的纤维仍处于 ${\mathcal{C}}^{♡}$ 中, 即 $\mathrm{fib}(f)\in {\mathcal{C}}_{\ge 0}$.

2性质

定理 2.1. 我们有自然的伴随对$${\mathsf{D}}^{\mathrm{b}}:\mathsf{Exact}\rightleftarrows {\mathsf{Cat}}^{\mathrm{heart}}:(-{)}^{♡}$$其中 $(-{)}^{♡}$ 限制在有界心结构上为满忠实.

3参考文献

Victor Saunier (2023). “A Theorem of the Heart for K-theory of Endomorphisms”. arXiv: 2311.13836 [math.KT].

4相关概念

•	衡结构
•	正合范畴
•	消解定理

术语翻译

心结构 • 英文 heart structure