Schwinger–Dyson 方程

Schwinger–Dyson 方程是量子场论中的恒等式. 它是经典场论中场的运动方程的类比: 在经典场论中场会满足 $D\varphi =0$ 的条件, 其中 $D$ 是某个微分算子, 则 $D$ 作用在多点函数 $⟨{\varphi }_1\cdots {\varphi }_n⟩$ 上会得到含有 $\delta$ 函数式子.

一些文献会把此处所给出的恒等式称为 Ward 恒等式, 但我们用这个名字称呼另一个恒等式 (见该条目).

1陈述

下面的证明中使用了路径积分, 因此是半严格的

定理 1.1. 设场 $\varphi$ 的作用量为 $S[\varphi ]$, $X$ 是与 $\varphi$ 有关的式子 (例如 $\varphi (x_1)\cdots \varphi (x_n)$), 则对时空中一点 $x$, 有$$⟨\frac{\delta X}{\delta \varphi (x)}⟩=⟨X\frac{\delta S(\varphi )}{\delta \varphi (x)}⟩$$其中的导数是泛函导数.

取定理中 $X=\varphi (x_1)\cdots \varphi (x_n)$, 则左式等于$$\sum _{i=1}^n\delta (x-x_i)⟨\varphi (x_1)\cdots \widehat{\varphi (x_i)}\cdots \varphi (x_n)⟩$$而右式中 $\frac{\delta S(\varphi )}{\delta \varphi }$ 即为经典运动方程中需要等于零的项.

证明. 考虑 $⟨X⟩$, 它等于$$⟨X⟩=\frac{1}{Z}\int [d\varphi ]X{\mathrm{e}}^{-S(\varphi )}$$其中 $Z$ 为真空泛函. 假设在变换 $\varphi \to ϵ+\varphi$ (一个平移) 之下测度 $[d\varphi ]$ 不变, 则换元得在一阶近似下$$0=\frac{1}{Z}\int [d\varphi ]\int dx\left(\frac{\delta X}{\delta \varphi (x)}-X\frac{\delta S(\varphi )}{\delta \varphi (x)}\right)ϵ(x){\mathrm{e}}^{-S(\varphi )}$$由于 $ϵ$ 的选取任意, 可知$$0=\frac{1}{Z}\int [d\varphi ]\left(\frac{\delta X}{\delta \varphi (x)}-X\frac{\delta S(\varphi )}{\delta \varphi (x)}\right){\mathrm{e}}^{-S[\varphi ]}$$定理即证.

$\square$

注 1.2. 物理书中给出的方程可能与此处差一个 $\mathrm{i}$ 系数, 这是因为对作用量的约定不同.

2例子

例 2.1. 考虑 Klein–Gordon 场, 作用量密度 (前面的系数不是很重要) $$\mathcal{L}=-\frac{\mathrm{i}}{2}\left(-m^2{\phi }^2+({\partial }_{\mu }\phi )({\partial }^{\mu }\phi )\right)$$取 $X=\varphi (y)$ 代入方程可得$$\delta (x-y)=\mathrm{i}({\square }^2+m^2)⟨\varphi (x)\varphi (y)⟩$$

3相关概念

•	Ward 恒等式
•	运动方程

术语翻译

Schwinger–Dyson 方程 • 英文 Schwinger–Dyson equation • 德文 Schwinger–Dyson-Gleichung • 法文 équation de Schwinger–Dyson