Einstein 场方程

约定. 在本文中,

• 为简洁起见, 我们设定光速 $c=1$, 引力常数 $G=1$.

广义相对论中, Einstein 场方程描述了物质分布和时空弯曲的关系. 大致来说, 时空弯曲由各种曲率 $R$, $\mathrm{Ric}$ 或者 Einstein 张量 $G$ 描述, 而物质分布由能动张量 $T$ 描述. 在这种描述下, Einstein 方程是$$G=8\pi T.$$

需要注意的是, 在求解方程的过程中, 我们需要人为设定 $T$ 的形式, 且这一形式可能与时空度规 $g$ 有关. 例如, 理想流体的能动张量设定为$$T^{\mu \nu }=(p+g)U^{\mu }{U}^{\nu }+p{g}^{\mu \nu }$$, 其中 $p$ 是常数, $U$ 是 $4$-速度. 因此严格来说不能认为是物质分布 “决定” 时空度规.

1陈述

设时空度量为 $g$, 其 Ricci 曲率为 $\mathrm{Ric}$, 数量曲率为 $R$, 我们可以定义 Einstein 张量为$$G=\mathrm{Ric}-\frac{1}{2}Rg.$$时空里有物质分布, 设其能动张量为 $T$.

那么时空必须满足 Einstein 场方程:$$G=8\pi T.$$(1)

如果能动张量为 $0$, 我们称此时的状态为真空那么时空满足真空 Einstein 场方程$$G=0.$$真空 Einstein 场方程等价于 $\mathrm{Ric}=0$.

2导出

原始思路

设引力势为 $\varphi$, Newton 近似下的方向为 $\lambda (\tau )$ 的潮汐加速度可轻易计算出:$$\frac{d^2}{d{t}^2}\left(\frac{d{\lambda }^i}{d\tau }\right)=\frac{{\partial }^2\varphi }{d{x}^{i}d{x}^j}\frac{d{\lambda }^j}{d\tau }.$$而在弯曲的时空中, 潮汐加速度代表测地线的变分所满足的运动方程, 所以是 Jacobi 方程:$$\frac{D^2}{d{t}^2}J+R(J,\dot{\gamma })\dot{\gamma }=0.$$从而我们可以近似地把引力势的 Hesse 矩阵看作 Riemann 曲率的分量:$$\left(\frac{{\partial }^2}{d{x}^{i}d{x}^j}\varphi \right)=-R(-,\dot{\gamma })\dot{\gamma }.$$缩并, Newton 近似后得$$\Delta \varphi =-\mathrm{Ric}(\dot{\gamma },\dot{\gamma })\approx -{\mathrm{Ric}}_{00}.$$引力势的 Poisson 方程给出$$\Delta \varphi =-4\pi T_{00},$$所以不妨猜测$$\mathrm{Ric}=4\pi T.$$这也是 Einstein 最初的假设, 但是它的缺陷在于 $\mathrm{Ric}$ 不一定满足如下连续性方程:$${\nabla }^a{T}_{ab}=0;{\nabla }^a{\mathrm{Ric}}_{ab}\ne 0.$$Einstein 就用 Einstein 张量 $G$ 修正此方程, 变为$$G=8\pi T.$$这正是 Einstein 场方程.

通过 Einstein–Hilbert 作用量

主条目: Einstein–Hilbert 作用量

考虑 Lagrange 量$$\mathcal{L}=\frac{1}{16\pi }R+\mathcal{M}$$的作用量, 称为 Einstein–Hilbert 作用量:$$S=\int \mathcal{L}\mathrm{vol},$$其中 $\mathrm{vol}$ 是体积元. 则它关于度规 $g$ 的变分方程就是 Einstein 场方程.

3线性化

在时空接近平直时, 我们可以把 Einstein 场方程做线性近似. 此时可设 $g=\eta +h$, 其中 $\eta$ 是 Minkowski 度规, $h$ 是一阶小量. 则 Christoffel 符号近似为$${\Gamma }_{ab}^c=\frac{1}{2}{\eta }^{cd}\left({\partial }_a{h}_{bd}+{\partial }_b{h}_{ad}-{\partial }_d{h}_{ab}\right).$$所以 Ricci 曲率近似为$$R_{ab}={\partial }_c{\Gamma }_{ab}^c-{\partial }_b{\Gamma }_{ca}^c\approx \frac{1}{2}\left({\partial }^c{\partial }_a{h}_{bc}+{\partial }^c{\partial }_b{h}_{ac}\right)-\frac{1}{2}\left({\partial }^c{\partial }_c{h}_{ab}+{\partial }_a{\partial }_b{h}_c^c\right).$$从而$$R={\partial }^c{\partial }^b{h}_{bc}-{\partial }^c{\partial }_c{h}_b^b.$$这给出了线性 Einstein 场方程:$$\frac{1}{2}\left({\partial }^c{\partial }_a{h}_{bc}+{\partial }^c{\partial }_b{h}_{ac}\right)-\frac{1}{2}\left({\partial }^c{\partial }_c{h}_{ab}+{\partial }_a{\partial }_b{h}_c^c\right)-\frac{1}{2}{\eta }_{ab}\left({\partial }^c{\partial }^d{h}_{cd}-{\partial }^c{\partial }_c{h}_d^d\right)=8\pi T_{ab}.$$在换元 ${\overline{h}}_{ab}=h_{ab}-\frac{1}{2}{\eta }_{ab}{h}_c^c$ 下, 方程变为$$\frac{1}{2}\left({\partial }^c{\partial }_a{\overline{h}}_{bc}+{\partial }^c{\partial }_b{\overline{h}}_{ac}\right)-\frac{1}{2}{\partial }^c{\partial }_c{\overline{h}}_{ab}-\frac{1}{2}{\eta }_{ab}{\partial }^c{\partial }^d{\overline{h}}_{cd}=8\pi T_{ab}.$$左式在规范变换 $x^a\mapsto x^a+{\xi }^a$ 下不变 (以 ${\overline{h}}_{ab}\mapsto {\overline{h}}_{ab}+{\partial }_a{\xi }_b+{\partial }_b{\xi }_a-{\eta }_{ab}{\partial }_c{\xi }^c$ 代入验证), 且在此变换下 ${\partial }_a{\overline{h}}^{ab}\mapsto {\partial }_a{\overline{h}}^{ab}+{\partial }^c{\partial }_c{\xi }^a$. 故可以选取 Lorenz 规范$${\partial }_a{\overline{h}}^{ab}=0.$$在此规范下重写线性 Einstein 场方程为$$-\frac{1}{2}{\partial }^c{\partial }_c{\overline{h}}_{ab}=8\pi T_{ab}.$$在真空条件 $T=0$ 下, 此方程代表引力波, 类比标准模型应该对应于某个自旋为 $2$ 的粒子, 称为引力子.

4精确解

Schwarzschild 真空解

主条目: Schwarzschild 度规

Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker 度规

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Tolman–Oppenheimer–Volkoff 方程

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