Chebyshev 不等式 (数论)

在数论中, Chebyshev 不等式一般指存在正数 $x_0,c_1,c_2$ 使下列不等式

$$c_1\le \vartheta (x)\le \psi (x)\le c_{2}x$$

对所有 $x\ge x_0$ 均成立. 其中 $\vartheta ,\psi$ 为 Chebyshev 函数.

1准备工作

$\vartheta ,\psi$ 之关系

结合 von Mangoldt 函数的定义, 我们可以发现:

$$\begin{array}{rl}0& \le \psi (x)-\vartheta (x)=\sum _{2\le k\le {\log }_{2}x}\vartheta (x^{1/k})\\ & \le \vartheta (x^{1/2})+\sum _{3\le k\le {\log }_{2}x}\vartheta (x^{1/3})\\ & \le x^{1/2}\log x+\frac{x^{3/2}{\log }^{2}x}{\log 2}\end{array}$$

很明显第二个项的增速比第一项慢很多, 所以:

引理 1.1. 对于 $x\ge 2$ 总有: $$\vartheta (x)=\psi (x)+O(x^{1/2}\log x)$$

通过引理 1.1, 许多 $\psi (x)$ 和 $\vartheta (x)$ 之间的性质就可以互相转化了.

$\log \lfloor x\rfloor !$ 的两种展开

引理 1.2 (Stirling). 设 $T(x)=\log \lfloor x\rfloor !$ 则有: $$T(x)=x\log x-x+O(\log x)$$

证明.

证明. 设 $N=\lfloor x\rfloor$, 则利用积分放缩, 可知 $T(x)$ 有上界: $$\begin{array}{rl}T(x)& =\sum _{1\le n\le N}\log n\le \log N+\sum _{1\le n\le N-1}{\int }_n^{n+1}\log t\mathrm{d}t\\ & =\log N+{\int }_1^N\log t\mathrm{d}t=\underset{f(N)}{\underbrace{N\log N-N}}+\log N+1\end{array}$$以及下界: $$\begin{array}{rl}T(x)& \ge \sum _{1\le n\le N}{\int }_{n-1}^n\log t\mathrm{d}t={\int }_0^N\log t\mathrm{d}t\\ & =N\log N-N\end{array}$$当 $f(t)=t\log t-t$ 时 $f^{\prime }(t)=\log t$ 我们就可以利用均值定理得到: $$|f(N)-f(x)|\le f^{\prime }(x+1)|N-x|=O(\log x)$$这意味着 $f(N)=f(x)+O(\log x)$, 所以命题得证.

$\square$

利用 $\Lambda (n)$ 的性质:

$$\sum _{d|n}\Lambda (d)=\log n$$

可得:

$$T(x)=\sum _{d\le x}\sum _{k\le x/d}\Lambda (k)=\sum _{d\le x}\psi \left(\frac{x}{d}\right)$$(1)

根据引理 1.2, 我们知道:

$$T(x)-2T\left(\frac{x}{2}\right)=x\log 2+O(\log x)$$

将此结论与 (1) 结合, 便有:

引理 1.3 (Ramanujan). 当 $x\ge 2$ 时, 成立$$\psi (x)-\psi \left(\frac{x}{2}\right)+\psi \left(\frac{x}{3}\right)-\cdots =x\log 2+O(\log x)$$

2Chebyshev 上界的证明

由于 $x\le y$ 时 $\psi (x)\le \psi (y)$, 所以根据引理 1.3 可知:

$$\psi (x)-\psi \left(\frac{x}{2}\right)\le x\log 2+O(\log x)$$

这意味着:

$$\begin{array}{rl}\psi (x)& =\psi (x)-\psi \left(\frac{x}{2}\right)+\psi \left(\frac{x}{2}\right)-\psi \left(\frac{x}{4}\right)+\dots \\ & =\sum _{r\le {\log }_{2}x}\left[\psi \left(\frac{x}{2^{r-1}}\right)-\psi \left(\frac{x}{2^r}\right)\right]\\ & \le \sum _{r\le {\log }_{2}x}\frac{x}{2^{r-1}}\log 2+O({\log }^{2}x)\end{array}$$

最后结合几何级数的性质, 即得:

定理 2.1 (Chebyshev). 当 $x\ge 2$ 时: $$\vartheta (x)\le \psi (x)\le 2x\log 2+O({\log }^{2}x)$$

3Chebyshev 下界的证明

根据引理 1.3 可知:

$$\psi (x)-\psi \left(\frac{x}{2}\right)+\psi \left(\frac{x}{3}\right)\ge x\log 2+O(\log x)$$

现在再结合定理 2.1, 即得:

$$\psi (x)-\psi \left(\frac{x}{2}\right)\ge \frac{x}{3}\log 2+({\log }^{2}x)$$

将此式与 1.1 结合, 就有:

定理 3.1 (Bertrand–Chebyshev). 对于 $x\ge 2$ 总有: $$\psi (x)\ge \vartheta (x)-\vartheta \left(\frac{x}{2}\right)\ge \frac{x}{3}\log 2+O(x^{1/2}\log x)$$

注 3.2. 事实上定理 3.1 也意味着当 $x$ 充分大时$$\sum _{x<p\le 2x}\log p>0$$因此当 $x$ 充分大时 $(x,2x]$ 中总能找到素数, 即 Bertrand 假设.

4相关概念

•	Chebyshev 函数
•	von Mangoldt 函数
•	Mertens 定理
•	素数
•	素数定理