1. ZFC 公理

1.1ZFC 公理

本节从零开始用 Zermelo–Fraenkel 公理集合论构造数学的基础, 其中选择公理和正则公理将在第 5,6 节进一步讨论.

在一切开始之前, 请先忘掉过去所有的数学, 在我们接下来要构建的体系之中, 一切对象都是集合.

定义 1.1.1 (类). 如果 $\phi (x,p)$ 是命题, $p$ 是参数, 那么 $\{x:\phi (x,p)\}$ 是类.

特别的, 任意一个集合 $X=\{x:x\in X\}$ 是类, 全体集合 $\{x:x=x\}$ 是类.

对类可以定义包含关系和一些基本运算: $$\begin{array}{rl}& C\subset D⟺\forall x(x\in C⟹x\in D)\\ & C\cap D=\{x:x\in C\wedge x\in D\}\\ & C\cup D=\{x:x\in C\vee x\in D\}\\ & C\setminus D=\{x:x\in C\wedge x\notin D\}\\ & \bigcup C=\{x:\exists u\in C,x\in u\}\end{array}$$

不是集合的类称为真类, 我们将使用正则公理证明集合不能包含自身, 于是全体集合的类是真类.

公理 (外延). 如果两个集合的元素相同, 那么它们相等. $$\forall x(x\in X⟺x\in Y)⟺X=Y.$$

这是我们对集合最基本的直觉: 集合由其元素确定.

公理 (配对). 如果 $a,b$ 是集合, 那么存在一个集合 $\{a,b\}$ 恰包含 $a,b$ 两个元素. $$\forall a\forall b\exists X\forall x(x\in X⟺x=a\vee x=b).$$

配对公理提供了由已知的集合构造新的集合的最基础的方式, 和接下来的并集公理一起使用可以构造 $n$ 元集.

单元素集 $\{a\}=\{a,a\}$.
有序对 $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$.
递归地可以定义有序 $n$ 元组为 $((a_1,\dots ,a_{n-1}),a_n)$.

公理 (分离模式). 如果 $\phi (x,p)$ 是命题, 那么对于任意的集合 $X$ 和参数 $p$, $Y=\{x:x\in X\wedge \phi (x,p)\}$ 是集合. $$\forall X\forall p\exists Y\forall x(x\in Y⟺x\in X\wedge \phi (x,p)).$$

对于任意一条命题 $\phi (x,p)$, 上述命题是一条 (分离) 公理, 这是这条公理称为 “分离公理模式” 的原因.
分离公理模式提供了从已有的集合 “分离” 出新的集合的方式, 使用分离公理模式可以证明类与集合的交是集合, 集合的差是集合, 以及集合的类的交是集合.
假设至少存在一个集合 (我们前面的公理并没有保证集合的存在性! ) , 那么空类 $\{x:x\ne x\}$ 是集合——空集 $\varnothing$.

公理 (并集). 对任意的集合 $X$, 全体 $X$ 元素之并 $\bigcup X$ 是集合. $$\forall X\exists Y\forall x(x\in Y⟺\exists u(u\in X\wedge x\in u)).$$

公理 (幂集). 对任意的集合 $X$, 全体 $X$ 的子集的类是集合, 记作 $X$ 的幂集 $P(X)$. $$\forall X\exists Y\forall x(x\in Y⟺x\subset X).$$

借助幂集公理我们可以定义许多基本的记号:
集合的乘积 $X\times Y=\{(x,y):x\in X\wedge y\in Y\}$ 是集合因为 $X\times Y\subset P(P(X\cup Y))$

定义 1.1.2 (关系). 一个二元关系 $R$ 是类 $\{(x,y):\phi (x,y)\}$

二元关系的定义域 $\text{dom}(R)=\{x:\exists y,(x,y)\in R\}$, 值域 $\text{ran}(R)=\{y:\exists x,(x,y)\in R\}$, $(x,y)\in R$ 也记作 $xRy$.
可以用 $n$ 元组类似地定义 $n$ 元关系.

定义 1.1.3 (函数). 一个二元关系 $F$ 称为函数或映射, 如果$$(x,y)\text{ and }(x,z)\in F⟹y=z.$$如果 $(x,y)\in F$, 就记 $y=F(x)$.

$F$ 被称为是 $X$ 上的函数, 如果 $\text{dom}(F)=X$. 如果进一步有 $\text{ran}(F)\subset Y$, 就称 $F$ 是 $X$ 到 $Y$ 的函数, 记作$$F:X\to Y.$$特别的, 如果 $X$ 和 $Y$ 都是集合, 那么 $F$ 也是集合.

$F$ 称为是单的, 如果 $F(x)=F(y)⟹x=y$.
$F$ 称为是 (到 $Y$) 满的, 如果 $\text{ran}(F)=Y$.

定义 1.1.4 (等价). 一个 $X$ 上的二元关系 $\sim$ 称为等价, 如果对任意的 $x,y,z\in X$

1.	$x\sim x$
2.	$x\sim y⟹y\sim x$
3.	$x\sim y\wedge y\sim z⟹x\sim z$

定义 1.1.5 (归纳集). 集合 $S$ 称为归纳 (inductive) 的, 如果$$\varnothing \in S\wedge (\forall x\in S)x\cup \{x\}\in S.$$

公理 (无穷). 存在一个归纳集. $$\exists S(\varnothing \in S\wedge (\forall x\in S)x\cup \{x\}\in S).$$

在序数一节我们将看到, 最小的归纳集将成为可数序数 $\omega$, i.e. 自然数集 $\mathbb{N}$.
无穷公理也保证了至少存在一个集合.

公理 (替换模式). 如果 $F$ 是函数, 那么对于任意的集合 $X$, $F(X)$ 是集合. $$\begin{array}{rl}\forall x\forall y\forall z(\phi (x,y,p)\wedge \phi (x,z,p)& ⟹y=z)\\ & ⟹\forall X\exists Y\forall y(y\in Y⟺(\exists x\in X)\phi (x,y,p)).\end{array}$$

上述命题的条件部分实际上就是在说 “如果 $F$ 是函数”.
替换公理模式提供了从已知的集合和关系构造 “不相干” 的集合的方式, 不同于分离公理模式只可以构造子集.

实际上, 使用替换公理可以 “几乎” 证明分离公理:

定理 1.1.6. 如果假设替换公理及空集公理 (i.e. 空类是集合), 那么分离公理成立.

证明. 设 $\phi (x,p)$ 是命题, $X$ 是集合, 如果存在 $x_0$ 使得 $\phi (x,p)$ 成立, 构造一个函数$$F(x)=\{\begin{array}{l}x,\phi (x,p)\\ x_0,\text{否则}.\end{array}$$那么根据替换公理, $\{x\in X:\phi (x,p)\}=F(X)$ 是集合.
如果这样的 $x_0$ 不存在, $\{x\in X:\phi (x,p)\}$ 是空类, 根据空集公理它是集合.

$\square$

注 1.1.7. 注意到, 空集公理仅仅在 $x_0$ 不存在的时候发挥了作用. 在其它的书中, 常常用空集公理代替分离公理.

在朴素的集合论中, 我们假设了一个过于强的公理:

命题 1.1.8 (万有分类). 对任意的命题 $\phi (x,p)$, $\{x:\phi (x,p)\}$ 是集合.

这是我们对集合朴素的直觉: 将满足一定条件的对象放在一起就是集合, 然而如果对于集合的元素不加以限制就会导致著名的罗素悖论:

命题 1.1.9 (罗素悖论). 假设万有分类公理, 那么 $R=\{x:x\notin x\}$ 是集合.

如果 $R\in R$, 那么 $R$ 不满足 $x\notin x$ 的条件, 于是 $R\notin R$, 反之如果 $R\notin R$, 那么 $R$ 满足 $x\notin x$ 的条件, 于是 $R\in R$, 这从逻辑的根本上造成了悖论. 我们看到万有分类公理 “过于强” 了, 以至于和自身相矛盾.

因此, 我们不得不引入比集合高一层级的对象: 类, 来避免悖论的发生, 但是即便如此仍然不够, 因为悖论产生的根源是集合可以作为自身的元素出现, 我们需要加入一条公理来保证这永远不会发生:

公理 (正则). 任意非空集合含有一个与自身不相交的元素. $$\forall X(X\ne \varnothing ⟹\exists x(x\in X\wedge X\cap x=\varnothing ))$$

现在假设存在一个集合 $x$ 使得 $x\in x$, 那么根据配对公理 $X=\{x\}$ 是集合, 由于 $x\in x$, 因此 $x\cap X$ 含有元素 $x$, 但 $x$ 是 $X$ 唯一的元素, 这与正则公理矛盾.

以上八条公理合称 ZF, 加入如下的选择公理 (AC) 后合称为 ZFC.

公理 (选择). 对任意不含空集的集合 $S$ 存在一个选择函数 $F$ 使得$$F(X)\in X,\forall X\in S.$$

注意到, $F$ 是 $X$ 到 $\bigcup X$ 的函数, 于是 $F$ 一定是集合.
选择公理不同于其余八条公理的地方在于, 它断言了一个集合 (i.e. 选择函数 $F$) 的存在性而没有具体的把它构造出来.
选择公理是一条很强大的公理, 我们将用它的推论 Zorn 引理 (实际上二者等价) 证明每个线性空间都有基.

1.2习题: 构造自然数

定义 1.2.1 (传递集). 集合 $T$ 称为传递 (transitive) 的, 如果 $x\in T⟹x\subset T$.

令$$\mathbb{N}=\bigcap \left\{X:X\text{ 是归纳集}\right\}.$$于是 $\mathbb{N}$ 是最小的归纳集, 称之为自然数集.
使用如下记号: $$0=\varnothing ,1=\left\{0\right\},2=\left\{0,1\right\},3=\left\{0,1,2\right\},\dots$$如果 $n\in \mathbb{N}$, 定义 $n$ 的后继 $n^{\ast }=n\cup \left\{n\right\}$.
如果 $m,n\in \mathbb{N}$, 定义 $m<n⟺m\in n$.

命题 1.2.2. 如果 $X$ 是归纳集, 那么 $\left\{x\in X:x\subset X\right\}$ 是归纳集.

于是 $\mathbb{N}$ 是传递集, 并且 $\forall n\in \mathbb{N}$, $n=\left\{m\in \mathbb{N}:m<n\right\}$.

命题 1.2.3. 如果 $X$ 是归纳集, 那么 $\left\{x\in X:x\text{ 是传递集}\right\}$ 是归纳集.

于是每个自然数 $n\in \mathbb{N}$ 是传递集.

命题 1.2.4. 如果 $X$ 是归纳集, 那么 $\left\{x\in X:x\text{ 是传递集}\wedge x\notin x\right\}$ 是归纳集.

因此 $n\notin n$ 且 $n\ne n^{\ast }$, 注意这里我们没有使用正则公理!

命题 1.2.5. 如果 $X$ 是归纳集, 那么 $\left\{x\in X:x\text{ 是传递集}\wedge x\text{ 的每个非空子集有}\in \text{-极小元}\right\}$ 是归纳集.

定理 1.2.6. 任意非空集合 $X\subset \mathbb{N}$ 有 $\in$-极小元.

提示: 取 $n\in X$ 然后考虑 $X\cap n$.

命题 1.2.7. 如果 $X$ 是归纳集, 那么 $\left\{x\in X:x=\varnothing \vee \exists y(x=y\cup \left\{y\right\})\right\}$ 是归纳集.

于是一个自然数要么是 0, 要么是某个自然数的后继.

定理 1.2.8 (归纳法). 设集合 $X\subset \mathbb{N}$, $0\in X$, 并且 $n\in X⟹n^{\ast }\in X$, 那么 $X=\mathbb{N}$.

于是我们构造的自然数集 $\mathbb{N}$ 满足 Peano 的全部五条公理, 这给出了集合论中自然数的定义.