5. 实数

5.1连续统的基数

的基数为 , 称为连续统. 因为 中稠密, 任意实数 等于 , 所以 . 又 Cantor 集的基数等于 , . 所以由 Cantor–Bernstein 定理, .

于是 . Cantor 猜测 的任何子集要么至多可数要么与连续统等势. 在 ZFC 中每个无限基数都是一个 , 所以 . 于是 Cantor 的猜想就是在说, . 这也被称为连续统假设.

5.2 上的序

定义 5.2.1 (完备). 一个全序集 称为完备的, 是指 的每个非空有界子集都有上确界.

事实上, 是唯一的完备有序域 (但我们在这里不关心域结构, 只谈论序的性质).

定义 5.2.2 (稠密). 一个全序集 稠密的, 是指对任意 都存在 使得 .

的子集 稠密, 是指对任意 , 若 , 则存在 使得 .

注 5.2.3. 特别地, 稠密子集本身是稠密的. 请注意, 本身稠密的子集不一定是稠密子集.

有一个可数的稠密子集 .

定义 5.2.4 (可分). 有可数的稠密子集的全序集称为可分 (separable) 的.

定义 5.2.5 (无界). 既无最大元又无最小元的序集称为无界的.

下面的定理表明了无界、可分、完备的全序集 的唯一性.

定理 5.2.6 (Cantor).

1.

任意一个无界、可数、稠密的全序集同构于 .

2.

任意一个无界、可分、完备的全序集同构于 .

证明.

1.

. 在保持序关系的前提下, 依次定义 . 这个构造的可行性由无界及稠密保证.

2.

是另一个完备全序集, 有可数稠密子集 . 那么, 由前一条所构造的从 的同构 可延拓为 的同构 , 具体地说,

 

这样一个 (无界、可分、完备的全序集) 的存在性是由 Dedekind 分割保证的. 一般的 Dedekind 分割由如下定理给出.

定理 5.2.7. 对任意无界、稠密的全序集 , 存在无界、完备的全序集 使得

1.

, 且 上相容;

2.

中稠密.

证明. 的一个 Dedekind 分割定义为不交非空子集的有序对 , 其中

1.

;

2.

对任意 成立;

3.

无最大元.

的所有 Dedekind 分割的集合, 并令 当且仅当 (也即 ).

是完备的, 因为对任意非空有界子集 , 是其上确界.

, 将 对应到 Dedekind 分割 . 则 同构于 .

下证 中稠密. 对任意 Dedekind 分割 , 因为 , 存在 , 则 . 若 , 结论成立; 若 , 因为 无最大元, 所以存在 , . 此时便有 .

注 5.2.8. 请读者思考, 在上述证明中, 的稠密性用在了哪里.

5.3Suslin 问题

我们现在知道了 是 (同构意义下) 唯一的无界、可分、完备的全序集.

可分的一个有趣的推论是, 任何一族互不相交的开区间至多有可数个.

对稠密全序集 , 若其中任何一族互不相交的开区间至多可数, 我们称 满足可数链条件 (countable chain condition). 因此, 可数链条件是比可分弱的条件.

注 5.3.1. 可数链条件这个名字可能会引起困惑. 其中的 " 链 " 是指一些开区间构成了 的所有开区间在 下构成的偏序集的反链, 即任意两个元素的相遇 (meet) 为空集. (偏序集中两个元素 相遇是指不超过二者的最大元 [参考 https://ncatlab.org/nlab/show/meet]. 对于集合的情形, 相遇即是相交.)

Suslin 问题说的是: 设 是无界的完备稠密全序集, 满足可数链条件, 那么 是否同构于 ?

这个问题不能在 ZFC 中解决.

5.4实数轴的拓扑

一个度量空间称为完备 (complete) 的, 是指每个 Cauchy 列收敛. 就是一个可分的完备度量空间.

中的开集是开区间的并; 事实上它是以有理数为端点的开区间的并. 这意味着 中开集的数目与闭集的数目都是连续统.

无孤立点的非空闭集称作完美集 (perfect set).

定理 5.4.1. 完美集的基数为 .

证明. (略证) 对任何完美集 , 存在两个不相交的闭区间 , 都是完美集. 对每个小完美集重复这个过程, 我们最终得到 的单射. (其中可能要使用闭区间套原理, 为此需要让所使用的闭区间长度趋于 .)

使用上面的方法可以得到更一般的结论: 可分完备度量空间中的每个完美集都有一个闭的 Cantor 集的身影.

定理 5.4.2 (Cantor–Bendixson). 的不可数闭集, 则 , 其中 是完美集, 至多可数.

证明. 的每个子集 , 令 的所有极限点的集合. (称 的极限点是指 的任意邻域包含 中无穷多个点.) 容易看到 是闭集, 且当 闭时, .

存在序数 使得 . 令 , 则要么 是空集要么 .

现在只需证明 至多可数. 将以有理数为端点的开区间 (这种区间有可数个) 列为 . 注意到 是所有形如 的子集的无交并, 所以对每个 , 存在唯一的序数 使得 的孤立点. 因此, 存在 使得 . 取最小的这样的 , 这给出了 的单射.

 

的一个子集无处稠密, 是指它的闭包的内部为空.

注 5.4.3. 一个子集无处稠密的等价定义是它不在任何一个开区间中稠密; 这解释了 " 无处稠密 " 的含义.

另外, 无处稠密集的补集是稠密的开集. 这解释了如下的 Baire 纲定理的叙述.

中的第一纲集是指至多可数个无处稠密集的并. 如下的定理表明 不是第一纲集.

定理 5.4.4 (Baire 纲定理). 中稠密的开集, 则 稠密.

证明. 任取开区间 , 我们证明 . 将以有理数为端点的开区间列为 .

, 对每个 , 令区间 , 使得其闭包 包含于 (因为 是稠密的开集, 这总是能做到的) 且 尽可能小. 由闭区间套定理, 存在 , 故 .

5.5Borel 集

定义 5.5.1. 集合的一个代数是某个集合 的一族子集 , 满足

1.

;

2.

;

3.

.

若还允许可数的并, 即

4.

, 则 ,

就称为 -代数.

任给 的一族子集 , 存在最小的一族子集 构成一个代数, 即全体包含 的代数的交.

定义 5.5.2. Borel 集是包含所有开区间的最小的 -代数的成员.

Borel 集是 Lebesgue 可测的.

5.6Baire 空间

Baire 空间 是自然数的可数序列组成的空间.

对有限序列 , 令这些集合作为基定义了 上的一个拓扑. 有趣的是, 既开又闭.

事实上, Baire 空间是可度量化的: 对序列 定义 , 其中 是使得 的最小自然数. 所有最终常值的序列构成 中的稠密集. 另外, 还是完备的, 每个 Cauchy 列收敛.

一个整数的可数序列 确定了一个连分数它是 中的一个无理数. 反之, 中的每个无理数都可以表示为连分数.

进一步, 这个对应是一个同胚. 直观上, " 当两个无理数非常接近时, 它们的连分数展开前几项是相同的; 反之亦然 ". 有时我们甚至把 的元素叫做实数.

下面我们研究 的闭集的形状. 我们会用一棵树去描述它.

定义 5.6.1. 一颗 是由自然数的有限序列构成的一个集合, 满足对任意 , .

注 5.6.2. 因为自然数的有限序列有可数个, 所以一棵树是至多可数的.

下图是一棵树的样子.

图 4.1

命题 5.6.3. 对于树 , 的闭集. 中的元素称作 无穷路径 (infinite path).

另一方面, 对 的闭集 , 是一棵树, 且 .

注 5.6.4. 按如上的定义, 并不是每一棵树都是某个 , 因为一棵树可能有 " 死路 ".

既然如此, 请思考为什么不在树的定义中加一条: 对任意 , 存在 , . (原因在后文.)

是一颗树. 若对任意 存在 满足 , 互不包含, 则称 完美的.

引理 5.6.5. 的闭集 为完美集当且仅当 是完美的树.

我们现在在 Baire 空间上做类似于 Cantor–Bendixson 定理的事情: 对于树 , 若 不可数, 则它是一个完美集与一个至多可数的集合的并.

对一棵树 , 定义 完美等价于 .

我们证明 至多可数: 对每个 , 取最小的 使得 . 此时若有 满足 , 则必有 . 这样我们建立了从 到自然数的有限序列的集合的单射.

现在令

.

因为 至多可数, 存在序数 使得 . 则 或为空集或为完美集. 而容易看到从而是至多可数的.

 

5.7波兰空间

定义 5.7.1. 若一个拓扑空间同胚于一个完备可分的度量空间, 则称其为波兰空间.

注 5.7.2. 波兰空间得名于最早对它进行详细研究的波兰数学家 Sierpiński, Kuratowski, Tarski 等人 [参见 https://infogalactic.com/info/Polish_space].

, , Cantor 集, Hilbert 方块 都是波兰空间. 一般地,

命题 5.7.3.

1.

波兰空间中的闭集是波兰空间.

2.

有限个 (甚至可数个) 波兰空间的乘积是波兰空间.

定理 5.7.4. 每个完美的波兰空间包含 Cantor 集的一个同胚像.

定理 5.7.5. 每个波兰空间都是 Baire 空间 的连续像.

证明. 设波兰空间 有度量 , 且有可数稠密子集 .

对自然数的序列 , 一个天真的想法是, 定义但是这个映射不一定连续 (甚至不一定良定义).

我们不会轻易放弃, 转而定义

这个定义保证了 , 从而由 的完备性, 一定存在.

容易证明 是连续的, 且是满射.