6.3. 规范方法的收敛速度

从上面的讨论我们已经知道, 若 的一个单特征值, 则当 足够大时, 也是 的一个单特征值, 从而关于 的谱投影算子 的像即为由其特征函数 张成的一维线性空间. 设 , 则它们的 “极限函数” 也有

我们的目标是估计 : 为此令 , 则有 , 即 , 从而于是问题转化为估计 , 而这可以利用如下定理得到:

定理 6.3.0.1. 是 Banach 空间, 是其上的紧算子, 并且 的逼近序列 , 它们相应的谱投影算子为 则存在只依赖于 的常数 使得 的任意特征向量 成立.

(详见文章 The Numerical Solution of the Eigenvalue Problem for Compact Integral Operators 中的定理 3)

根据这个定理, 我们只需要估计 两项:

第一项的估计已由上一节的命题证明过程给出:

对于第二项, 我们将其拆解进行估计: 根据上一节的命题证明, 易见前一项有估计故只需再估计后一项: 从范数和算子的定义出发, 我们有其中最后的函数类定义为综合起来我们得到

综上, 我们可以得到最终结果:

定理 6.3.0.2. 在上述假设和记号下, 则存在只依赖于 和相似度函数 的常数 , 以及一列 , 使得其中函数类

由此可见, 特征函数的收敛速度被经验分布的收敛速度 (由函数类 刻画) 所控制, 而后者可由经验过程理论得到估计 (参考书 Weak Convergence and Empirical Processes 中第 2 章) .

例如, 对于 Gauss 相似度函数 , 我们可以用覆盖数方法得到特征函数的收敛速度为 (详见文章中的 Section 6.3)