6.1. 泛函分析基础

本小节主要参考自 Spectral approximations of linear operators 一书的 Section 2.4-2.7, 3.1-3.6, 5.1-5.3.

以下设 $E,F$ 均为 Banach 空间 (完备的赋范线性空间) .

6.1.1Banach 空间中的算子

定义 6.1.1.1. 有界线性算子 $T\in \mathcal{L}(E,F)$ 的算子范数定义为$$\Vert T{\Vert }_{\mathcal{L}(E,F)}:=\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{\Vert Tx{\Vert }_F}{\Vert x{\Vert }_E}=\underset{\Vert x{\Vert }_E=1}{\sup }\Vert Tx{\Vert }_F$$

定义 6.1.1.2. 紧算子 $T\in \mathcal{K}(E,F)\subset \mathcal{L}(E,F)$: 单位球的像 $T(B_E)$ 在 $F$ 中相对紧 [relatively compact] , 等价地有——对 $E$ 中的任意有界序列 $\{x_n\}$, $\{T{x}_n\}\subset F$ 都存在收敛子列 [sequentially compact] .

例 6.1.1.3. 有限秩算子是紧算子. 其中算子的秩 [rank] 定义为$$\text{rank}T:=\dim R(T).$$

例 6.1.1.4. 当 $k\in C([a,b{]}^2)$ 时, 如下定义积分算子$$(Tx)(s)={\int }_a^{b}k(s,t)x(t)dt,$$则 $T\in \mathcal{K}(C[a,b]).$ (利用 Ascoli-Arzela 定理: 一致有界+ 等度连续=> 有收敛子列)

6.1.2算子的谱理论

考虑将矩阵的谱 (特征值集合) 推广为算子 $T\in \mathcal{L}(E)$ 的谱:

定义 6.1.2.1.

•	预解集 [resolvent set] $\rho (T):=\{z\in \mathbb{C}:(T-zI{)}^{-1}\in \mathcal{L}(E)\}$
•	谱 [spectrum] $\sigma (T):=\mathbb{C}\backslash \rho (T)$
•	点谱 [point spectrum] $P\sigma (T):=\{z\in \mathbb{C}:T-zI$ 不可逆 $\}\subset \sigma (T)$ ∘ 其中元素称为特征值 [eigenvalue] ∘ 特征空间 $\ker (T-zI)$ 的维数称为特征值 $z$ 的几何重数 [geometric multiplicity] ∘ 若存在正整数 $p$ 使得$$\ker (T-zI)⊊\ker ((T-zI{)}^2)⊊\cdots ⊊\ker ((T-zI{)}^p)=\ker ((T-zI{)}^{p+1})=\cdots$$则 $p$ 称为特征值 $z$ 的代数重数 [algebraic multiplicity]
•	离散谱 [discrete spectrum] ${\sigma }_d(T)$ 由具有有限代数重数的孤立特征值 [isolated eigenvalue] 组成
•	本性谱 [essential spectrum] ${\sigma }_{ess}(T)=\sigma (T)\backslash {\sigma }_d(T)$

命题 6.1.2.2. 有界算子 $T\in \mathcal{L}(E)$ 的谱具有如下性质:

1.	$\rho (T),\sigma (T)$ 均非空, 且 $\sigma (T)$ 是 $\mathbb{C}$ 中的紧集;
2.	谱半径 [spectral redius] $$r_{\sigma }(T):=\underset{k\to \infty }{\lim }\Vert T^k{\Vert }^{1/k}=\underset{\lambda \in \sigma (T)}{\max }|\lambda |.$$

命题 6.1.2.3. 紧算子 $T\in \mathcal{K}(E)$ 的谱具有如下特殊性质:

1.	$0\in \sigma (T)$;
2.	$\sigma (T)$ 是至多可数集, 且 $T$ 的非零特征值都是谱中的孤立点, 并且具有有限的代数重数, 即$${\sigma }_d(T)=\sigma (T)\backslash \{0\}=P\sigma (T)\backslash \{0\}.$$

6.1.3算子序列的收敛性

定义 6.1.3.1. 对于有界算子序列 $\{T_n\}\subset \mathcal{L}(E)$, 可以定义如下的收敛性:

•	逐点收敛 [pointwise convergence] $T_n\stackrel{p}{\to }T$: 对任意 $x\in E$, 有 $T_{n}x\to Tx$
•	一致/依范数收敛 [uniform/norm convergence] $T_n\stackrel{\Vert \cdot \Vert }{\to }T$: $\Vert T_n-T{\Vert }_{\mathcal{L}(E)}\to 0$

以下收敛性均建立在逐点收敛的基础之上:

•	紧收敛 [compact convergence] $T_n\stackrel{c}{\to }T$: 对单位球 $B_E$ 中的任意序列 $\{x_n\}$, 有 $\{(T_n-T)x_n\}$ 是相对紧的 (有紧的闭包)
•	集体紧收敛 [collectively compact convergence] $T_n\stackrel{cc}{\to }T$: 存在 $N\in \mathbb{N}$, 使得 $\{T_n-T{\}}_{n>N}$ 是集体紧的 (${\bigcup }_{n>N}(T_n-T)B_E$ 是相对紧的)
•	稳定收敛 [stable convergence] $T_n\stackrel{s}{\to }T$: 满足稳定条件——存在 $M>0,N\in \mathbb{N}$, 使得对任意 $n>N$, 都有 $T_n^{-1}\in \mathcal{L}(E)$ 并且 $\Vert T_n^{-1}\Vert \le M$
•	正则收敛 [regular convergence] $T_n\stackrel{r}{\to }T$: 满足正则性条件——对任意满足 $T_n{x}_n\to y,n\in {\mathcal{N}}_1\subset \mathbb{N}$ 的有界序列 $\{x_n\}\subset E$, 其自身存在收敛子列 $x_n\to x,n\in {\mathcal{N}}_2\subset {\mathcal{N}}_1$, 并且 $Tx=y$

它们之间存在如下关系:

命题 6.1.3.2.

1.	若 $T_n\stackrel{\Vert \cdot \Vert }{\to }T$, 则 $T_n\stackrel{c}{\to }T$;
2.	若 $T_n\stackrel{cc}{\to }T$, 则有 $T_n\stackrel{c}{\to }T$, 并且 $T_n-T\in \mathcal{K}(E),\forall n>N$;
3.	若 $T_n\stackrel{cc}{\to }T$ 或 $T_n\stackrel{c}{\to }T$, 则 $T_n-zI\stackrel{r}{\to }T-zI,\forall z\in \rho (T)$;
4.	对所有 $z\in \rho (T)$, $T_n-zI\stackrel{r}{\to }T-zI⟺T_n-zI\stackrel{s}{\to }T-zI$;
5.	对所有 $z\in \rho (T)$, $T_n-zI\stackrel{s}{\to }T-zI⟺(T_n-zI{)}^{-1}\stackrel{p}{\to }(T-zI{)}^{-1},T_n\stackrel{p}{\to }T$.

证明. 结论 1、2 由收敛性的定义易得, 下面证明后续结论.

3: 由 2, 只需设 $T_n\stackrel{c}{\to }T$, 并任取满足 $(T_n-zI)x_n\to y,n\in {\mathcal{N}}_1\subset \mathbb{N}$ 的有界序列 $\{x_n\}\subset E.$

•	首先由紧收敛性可以得到存在收敛子列 $(T_n-T)x_n\to u,n\in {\mathcal{N}}_2\subset {\mathcal{N}}_1$, 从而$$(T-zI)x_n\to y-u,n\in {\mathcal{N}}_2.$$
•	进一步由 $z\in \rho (T)$, 可知 $(T-zI{)}^{-1}\in \mathcal{L}(E)$, 从而$$x_n=(T-zI{)}^{-1}(T-zI)x_n\to (T-zI{)}^{-1}(y-u)=:x,n\in {\mathcal{N}}_2,$$并且 $(T-zI)x=y-u$;
•	最后只需再证明 $u=0$: 对于 $n\in {\mathcal{N}}_2$, 我们有$$\Vert (T_n-T)x_n\Vert \le \Vert (T_n-T)x\Vert +\Vert (T_n-T)(x_n-x)\Vert ,$$其中第一项由 $T_n\stackrel{p}{\to }T$ 可知趋于 0; 而对任意 $\epsilon >0$, 存在 $N\in \mathbb{N}$, 使得当 $n>N,n\in {\mathcal{N}}_2$ 时有 $\Vert x_n-x\Vert <\epsilon$, 从而上述第二项有估计$$\begin{array}{rl}\Vert (T_n-T)(x_n-x)\Vert & \le \underset{m\in {\mathcal{N}}_2}{\sup }\Vert (T_n-T)(x_m-x)\Vert \\ & \le \max \left\{(\Vert T_n\Vert +\Vert T\Vert )\epsilon ,\underset{m\le N}{\max }\Vert (T_n-T)(x_m-x)\Vert \right\}\\ & \le \left(\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }\Vert T_n\Vert +\Vert T\Vert \right)\epsilon +\underset{m\le N}{\max }\Vert (T_n-T)(x_m-x)\Vert ,\end{array}$$根据一致有界性定理, 由逐点收敛性可得 ${\sup }_{n\in \mathbb{N}}\Vert T_n\Vert <\infty$, 因此上式右端第一项可被 $\epsilon$ 的常数倍控制, 而第二项仅在有限个点处取最大值, 根据 $T_n\stackrel{p}{\to }T$ 即知其趋于 0, 从而整一项趋于 0. 因此 $u=0$.

4: 先由稳定收敛推出正则收敛: 任取满足 $(T_n-zI)x_n\to y,n\in {\mathcal{N}}_1\subset \mathbb{N}$ 的有界序列 $\{x_n\}\subset E$, 只需证明 $x_n\to x:=(T-zI{)}^{-1}y,n\in {\mathcal{N}}_1$, 即看$$\begin{gathered} x_n-x=(T_n-zI{)}^{-1}((T_n-zI)x_n-y+(T-zI)x-(T_n-zI)x) \\ ⟹\Vert x_n-x\Vert \le \Vert (T_n-zI{)}^{-1}\Vert (\Vert (T_n-zI)x_n-y\Vert +\Vert T_{n}x-Tx\Vert ),\forall n\in {\mathcal{N}}_1. \end{gathered}$$由稳定条件, 可知 $n\in {\mathcal{N}}_1$ 足够大时, $\Vert (T_n-zI{)}^{-1}\Vert \le M$, 再由 $T_n\stackrel{p}{\to }T$ 即可得到 $x_n\to x,n\in {\mathcal{N}}_1$;

下面采用反证法由正则收敛推出稳定收敛: 假设 $\Vert (T_n-zI{)}^{-1}\Vert \to \infty$, 则存在一列 $\{x_n\}\subset E$, 使得$$\frac{\Vert (T_n-zI{)}^{-1}{x}_n\Vert }{\Vert x_n\Vert }\to \infty ⟺\frac{\Vert y_n\Vert }{\Vert (T_n-zI)y_n\Vert }\to \infty .$$不妨设 $\Vert y_n\Vert =1$, 即知 $\Vert (T_n-zI)y_n\Vert \to 0$, 即 $(T_n-zI)y_n\to 0.$ 则由正则性条件, 可知存在收敛子列 $y_n\to y,n\in {\mathcal{N}}_1\subset \mathbb{N}$, 并且 $(T-zI)y=0$, 这与 $z\in \rho (T)$ 矛盾.

5: 由恒等式$$(T_n-zI{)}^{-1}-(T-zI{)}^{-1}=(T_n-zI{)}^{-1}(T-T_n)(T-zI{)}^{-1}\text{\hspace{1em}(∗)}$$易得结论.

$\square$

6.1.4谱序列的收敛性

算子序列的稳定收敛性还将带来对应谱序列的收敛性. 先看几个定义:

定义 6.1.4.1.

•	$\sigma (T)$ 的一个子集 $\tau$ 称为孤立的 [isolated] , 如果存在开集 $\Delta \subset \mathbb{C}$, 使得 $\sigma (T)\cap \Delta =\tau$
•	对于 $\sigma (T)$ 的一个孤立部分 $\tau$, 其谱投影 [spectral projection] 定义为$${\text{Pr}}_{\tau }:=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\Gamma }(T-zI{)}^{-1}dz\in \mathcal{L}(E),$$其中 $\Gamma$ 是分离 $\tau$ 和 $\sigma (T)\backslash \tau$ 的 Jordan 闭曲线.

命题 6.1.4.2. 谱投影具有如下性质 (详见参考书中的定理 2.27) :

•	是一个投影算子, 即 ${\text{Pr}}_{\tau }^2={\text{Pr}}_{\tau }$;
•	令 $G=R({\text{Pr}}_{\tau }),H=R(I-{\text{Pr}}_{\tau })$, 则 $E=G\oplus H$, 并且 $T\circ {\text{Pr}}_{\tau }={\text{Pr}}_{\tau }\circ T$, 从而 $G,H$ 是 $T$ 的不变子空间;
•	$\sigma (T{|}_G)=\tau ,\sigma (T{|}_H)=\sigma (T)\backslash \tau$.

现设 $\lambda$ 是 $T$ 的一个重数有限的孤立特征值. 考虑 $\tau =\{\lambda \}$, 对于 $T$ 的一个近似序列 [approximation] $\{T_n\}$ (逐点收敛) , 我们期望得到$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sigma (T_n)\cap \Delta =\{\lambda \}.$$假设对所有 $z\in \rho (T)$ 都有 $T_n-zI\stackrel{s}{\to }T-zI$, 即 $T_n\stackrel{p}{\to }T$ 并且存在 $N(z)\in \mathbb{N}$ 使得当 $n\in N(z)$ 时, 总有$$(T_n-zI{)}^{-1}\in \mathcal{L}(E),\text{i.e.}z\in \rho (T_n),$$并且 $\Vert (T_n-zI{)}^{-1}\Vert \le M(z)<\infty .$ 我们期望找到关于某部分 $z$ 一致的 $N$ 和 $M$, 这样当 $n$ 足够大时, 我们就可以保证这部分 $z\in \rho (T_n)$, 从而方便进行收敛性的分析.

最简单地, 我们考虑 $\rho (T)$ 的任意紧子集 $K$, 易见对任意 $\epsilon >0$, 都存在有限个点 $z_{\epsilon }$, 使得它们的 $\epsilon$-邻域覆盖了 $K.$ 从而由$$\Vert (T_n-zI{)}^{-1}\Vert \le \Vert (T_n-zI{)}^{-1}-(T_n-z_{\epsilon }I{)}^{-1}\Vert +\Vert (T_n-z_{\epsilon }I{)}^{-1}\Vert ,$$只需再证明映射 $R_n:z\mapsto (T_n-zI{)}^{-1}$ 在 $\rho (T)$ 上连续, 且该连续性关于足够大的 $n$ 一致成立, 我们就可以得到只与 $K$ 有关的 $N(K)\in \mathbb{N}$ 和 $M(K)>0$, 使得$$\underset{z\in K,n>N(K)}{\sup }\Vert (T_n-zI{)}^{-1}\Vert \le M(K).\text{\hspace{1em}(∗∗)}$$为证明 $R_n$ 的连续性, 任意取定 $z_0\in \rho (T)$, 有$$T_n-zI=T_n-z_{0}I+(z_0-z)I=(T_n-z_{0}I)(I-(z-z_0)(T_n-z_{0}I{)}^{-1}),$$从而当$$\Vert (z-z_0)(T_n-z_{0}I{)}^{-1}\Vert <1,\text{i.e.}|z-z_0|<\frac{1}{\Vert (T_n-z_{0}I{)}^{-1}\Vert }$$时, 我们有$$(T_n-zI{)}^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }(z-z_0{)}^k(T_n-z_{0}I{)}^{-k}\right)(T_n-z_{0}I{)}^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }(z-z_0{)}^k(T_n-z_{0}I{)}^{-k-1}.$$对任意 $\epsilon \in (0,1)$, 结合稳定收敛性, 可知当 $n>N(z_0)$ 以及$$|z-z_0|<\frac{\epsilon }{M(z_0)}\le \frac{\epsilon }{\Vert (T_n-z_{0}I{)}^{-1}\Vert }$$时, 有$$\Vert (T_n-zI{)}^{-1}-(T_n-z_{0}I{)}^{-1}\Vert =\Vert \sum _{k=1}^{\infty }(z-z_0{)}^k(T_n-z_{0}I{)}^{-k-1}\Vert \le \Vert (T_n-z_{0}I{)}^{-1}\Vert \sum _{k=1}^{\infty }{\epsilon }^k\le \frac{M(z_0)\epsilon }{1-\epsilon }.$$由此, 上述一致性得证.

现简记 ${\text{Pr}}_{\{\lambda \}}=:\text{Pr}$, 并相应记 $T_n$ 关于 $\sigma (T_n)\cap \Delta$ 的谱投影为 ${\text{Pr}}_n$, 则由上可得:

命题 6.1.4.3. 设 $\Gamma$ 是围绕着 $\lambda \in \sigma (T)$ 的一条 Jordan 闭曲线, 它在 $\rho (T)$ 中是紧的. 若对任意 $z\in \Gamma$, 有 $T_n-zI\stackrel{s}{\to }T-zI$, 则有

1.	${\text{Pr}}_n\stackrel{p}{\to }\text{Pr}$;
2.	对足够大的 $n$, 成立 $\dim R({\text{Pr}}_n)\ge \dim R(\text{Pr}).$

证明.

1.

结合上述 $(\ast )(\ast \ast )$ 式可直接估计$$\begin{array}{rl}\Vert ({\text{Pr}}_n-\text{Pr})x\Vert & =\frac{1}{2\pi }\Vert {\int }_{\Gamma }((T_n-zI{)}^{-1}-(T-zI{)}^{-1})xdz\Vert \\ & =\frac{1}{2\pi }\Vert {\int }_{\Gamma }(T_n-zI{)}^{-1}(T-T_n)(T-zI{)}^{-1}xdz\Vert \\ & \le \frac{|\Gamma |}{2\pi }M(\Gamma )\cdot \underset{z\in \Gamma }{\sup }\Vert (T-T_n)(T-zI{)}^{-1}x\Vert ,\forall n>N(\Gamma ),x\in E.\end{array}$$而对固定的 $x$, 映射 $z\mapsto (T-zI{)}^{-1}x$ 是连续的, 故紧集 $\Gamma$ 的像也是紧集, 从而由 $T_n\stackrel{p}{\to }T$ 可知当 $n\to \infty$ 时上式右端趋于 0 (与上面同理, 用有限个 $\epsilon$-球覆盖该紧集) .

2.

注意到 $T{|}_{R(\text{Pr})}$ 的谱仅有 $\lambda$, 且其重数有限, 从而 $G:=R(\text{Pr})$ 是 $E$ 的有限维子空间. 取其一组基 $\{g_i{\}}_{i=1}^m$, 并设其对偶基为 $\{f_i{\}}_{i=1}^m\subset G^{\ast }$, 即$$⟨f_i,g_j⟩={\delta }_{ij},i,j=1,\cdots ,m.$$于是由 1 可得$$⟨f_i,{\text{Pr}}_n{g}_j⟩\to {\delta }_{ij}(n\to \infty ),i,j=1,\cdots ,m,$$故当 $n$ 足够大时, $\{{\text{Pr}}_n{g}_i{\}}_{i=1}^m$ 在 $G_n:=R({\text{Pr}}_n)$ 中线性无关. 因此 $\dim G_n\ge \dim G$ 成立. $\square$

由此可见, 当 $n$ 足够大时, $R({\text{Pr}}_n)$ 非空, 从而 $\sigma (T_n)\cap \Delta$ 非空. 综合前面的讨论, 我们取$${\Delta }_{\epsilon }=\Delta \backslash B_{\epsilon }(\lambda ),\epsilon >0$$是 $\rho (T)$ 的紧子集, 则存在 $N_{\epsilon }:=N({\Delta }_{\epsilon })$ 使得当 $n>N_{\epsilon }$ 时, ${\Delta }_{\epsilon }\in \rho (T_n)$, 于是得到谱的收敛性:

定理 6.1.4.4. 若对任意 $z\in \Delta \backslash \{\lambda \}$, 有 $T_n-zI\stackrel{s}{\to }T-zI$, 则有 ${\lim }_{n\to \infty }\sigma (T_n)\cap \Delta =\{\lambda \}.$

至于特征向量的收敛, 我们需要用到谱投影算子及其像空间的更多性质. 这里只给出主要结论, 详见参考书中的 Section 5.2-5.3, 其中还会用到 Section 2.5、3.2 的内容.

定理 6.1.4.5. 若在 $\Delta$ 上成立 $T_n-zI\stackrel{ss}{\to }T-zI$, 即

•	对任意 $z\in \Delta \backslash \{\lambda \}$, 有 $T_n-zI\stackrel{s}{\to }T-zI$,
•	当 $n$ 足够大时, $\dim R({\text{Pr}}_n)=\dim R(\text{Pr})$,

则 ${\text{Pr}}_n\stackrel{cc}{\to }\text{Pr}.$ 进一步, 对任意趋于 $\lambda$ 的特征值序列 $\{{\lambda }_n\}$, 它们对应的单位特征向量序列 $\{{\phi }_n\}$ 存在收敛子列, 且收敛到一个关于 $\lambda$ 的特征向量 $\phi .$