3. ZF 与 NBG

3.1ZF
3.2二阶 NBG
3.3一阶 NBG

3.1ZF

定义 3.1.1 (ZF 公理). 集合论的语言是一个只带一个等词和一个二元谓词的语言 $L = {\in, =}$ . 将 $\in (x, y)$ 记为 $x \in y$ . 这个 $\in$ 被称为 " 属于 ".

首先, 我们有以下这些公理.

1.	$(E x t) \forall x \forall y (\forall z (z \in x \leftrightarrow z \in y) \to x = y)$
2.	$(F u n d) \forall x (\exists y (y \in x) \to \exists y (y \in x \land \neg\exists z (z \in y \land z \in x)))$
3.	$(P ai r) \forall x \forall y \exists z (y \in z \land x \in z \land \forall u (u \in z \to (u = x \lor u = y)))$
4.	$(U ni o n) \forall x \exists y \forall z (z \in y \leftrightarrow \exists u (z \in u \land u \in x))$
5.	$(P o w er) \forall x \exists y \forall z (z \in y \leftrightarrow \forall u (u \in z \to u \in x))$

注意到配对公理 (Pair)、并集公理 (Union)、幂集公理 (Power) 都是对某个 $x$ 存在一个 $y$ 这样的论断, 我们给这些 $y$ 起一个名字, 起名这件事可靠则是由其定义以及外延公理 (Ext) 保证的.

配对公理中, 我们记 $z = {x, y}$ . 并集公理中, 我们记 $y = ⋃ x$ . 幂集公理中, 我们记 $y = P x$ .

不难用配对公理归纳地对每个自然数 $n$ 定义出 ${x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}}$ . 我们又记 $⋃_{i = 1}^{n} x_{i} = ⋃ {x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}}$ , 并特别地记 $x \cup y = \cup {x, y}$ , ${x} = {x, x}$ .

现在我们给出一个指出存在某个集合的公理.

6. $(I n f) \exists x (\exists y (y \in x \land \neg\exists z (z \in y)) \land \forall u (u \in x \to u \cup {u} \in x))$

这个无穷公理的前半部分指出了一个没有其他集合属于它的集合, 我们记为 $y = \emptyset$ , 它满足 $\neg\exists z (z \in \emptyset)$ .

最后, 我们给出两个公理模式, 它们给每个一阶语句 $φ$ 配上一条相应的公理.

7. $(A u s_{φ}) \forall v_{1} ...\forall v_{p} \forall a \exists b \forall x (x \in b \leftrightarrow (x \in a \land φ (x, v_{1}, ..., v_{p})))$

我们由定义和 (Ext) 又可以从这个分离公理模式中简记 $b = {x \in a ∣ φ (x, v_{1}, \dots, v_{p})}$ .

8. $(R e p_{φ})$ , 替换公理模式
$\forall v_{1} ...\forall v_{p} (\forall x \exists \overset{y}{ˉ} \forall y (y = \overset{y}{ˉ} \leftrightarrow φ (x, y, v_{1}, ..., v_{p})) \to \forall a \exists b \forall z (z \in b \leftrightarrow \exists u (u \in a \land φ (u, z, v_{1}, ..., v_{p}))))$

注意到我们还有一个良基公理 (又称正则公理)(Fund) 没用, 这是因为它的主要目的是消除 Russell’s paradox.

定理 3.1.2 (Dissolving of Russell’s Paradox). $\neg\exists x \forall y (y \in x)$

证明. 反证. 若存在, 显然可以注意到

x \in x, x \in {x}

, 于是良基公理指出

\exists y (y \in {x} \land \neg\exists z (z \in y \land z \in {x}))

, 由定义可知必须有

y = x

, 但这时

x \in x \land x \in {x}

, 这与宣称的

\neg\exists z (z \in y \land z \in {x})

矛盾.

$□$

换言之, 所有集合放到一起并不是一个集合, 它太大了. 最开始发明集合论的时候, 分离公理模式是一个要求更弱 (从而更强) 的东西, 叫做概括公理模式:

(C o m p_{φ}) \forall v_{1} \forall v_{2} ...\forall v_{n} \exists x \forall y (y \in x \leftrightarrow φ (y, v_{1}, v_{2}, ..., v_{n}))

.

定理 3.1.3 (Russell’s Paradox). 概括公理模式不一致.

证明. 我们由概括公理模式可知

\exists x \forall y (y \in x \leftrightarrow \neg (y \in y))

. 现在把

x

当成语言中新加入的常元, 我们可以考虑句子

x \in x

. 首先, 若这句子真, 则按定义有

\neg (x \in x)

, 矛盾; 换过来, 若这个句子假, 则

\neg (x \in x)

真, 按定义必须又有

x \in x

, 矛盾. 于是排中律失效, 理论不一致.

$□$

那么, 现在这个悖论在 ZF 中被消解了, 但是是否还有某个我们想不到的悖论在某处等着我们呢? Gödel 告诉我们: 如果没有这样的悖论, 那么我们就无法得知到底有没有这样的悖论. 因此, 现在的大家不但只是满足于相信 ZF 是一致的, 而且至少都放弃了证明 ZF 一致的想法, 最多还有一些比较朋克的人试图找出这里面的悖论, 虽然目前还无人成功.

最后, 我们引入一些简便的记号.

定义 3.1.4. 将 $\forall x (x \in A \to x \in B)$ 简记为 $A \subseteq B$ , 即 $A$ 是 $B$ 的子集或 $A$ 包含于 $B$ .

将 $\forall x (x \in y \to ...)$ 简记为 $\forall x \in y (...)$ , 存在量词同理.

将 $\exists \overset{y}{ˉ} \forall y (y = \overset{y}{ˉ} \leftrightarrow ...)$ 简记为 $\exists! y (...)$ , 读作存在唯一的 $y$ .

由分离公理模式, 令 $x \cap y = {z \in x ∣ z \in y}$ , 而对非空的 $I$ 按替换公理模式指示的集合族 ${x_{i} ∣ i \in I}$ 有一个交 $\cap_{i \in I} x_{i} = {x \in x_{j} ∣\forall i \in I (x \in x_{i})}$ , 其中 $j$ 是保证 $I$ 非空的那个元素.

同样由分离公理模式, 令 $x \ y = {z \in x ∣ z \neq \in y}$ .

3.2二阶 NBG

接下来, 我们对 NBG 集合论稍作介绍. NBG 指的是 von Neumann-Bernays-Gödel, 它是一个二类的语言 (而非一阶语言). 我们将用大写字母代表类, 小写字母代表集.

定义 3.2.1 (BGC 公理). 我们的语言现在有两类变元符号, 大写字母 $X, Y, ...$ 称作类, 小写字母 $x, y, ...$ 称作集合. 二元关系有 $=$ 和 $\in$ , 它们都允许在两侧出现不同类的变元符号.

公理首先按原样继承了 ZF 的 (Ext)、(Fund)、(Pair)、(Union)、(Power)、(Inf), 这里不再重新叙述. 注意它们都是对集合这类变元的要求. 接下来是类与集合的关系.

1.	$(CE x t) \forall X \forall Y (\forall x (x \in X \leftrightarrow x \in Y) \to X = Y)$
2.	$(StC) \forall x \exists X (x = X)$
3.	$(CtS) \forall X (\exists Y (X \in Y) \to \exists x (x = X))$

有了类的概念, 我们可以轻松写出替换与概括 (而不是分离).

1.	$(C o m p_{ϕ}) \forall X_{1} \forall X_{2} ...\forall X_{n} \exists X \forall y (y \in X \leftrightarrow ϕ (y, X_{1}, ..., X_{n}))$
2.	$(R e p) \forall F (i s F u n c t i o n (F) \to \forall x \exists! y ((x, y) \in F))$ , 这里的 isFunction 检查给定的类是否是一个对所有集合有定义的 (类) 函数.

注 3.2.2. 因此, 我们会用 $V$ 指代全体集合构成的类, 它常常被称为集合论宇宙, 且在模型论中 (尤其是考虑 ZF 的模型时) 总是作为元概念出现.

注 3.2.3. 然而, 在可以不使用 BGC 的时候, 我们总是默认 ZF(C), 这意味着许多形若 $x \in C$ 的语句应当理解为 $s a t i s f y P ro p er t y (x)$ . 这又被称作 Church 公理模式: $y \in {x ∣ φ (x)} \leftrightarrow φ (y)$ .

3.3一阶 NBG

我们现在采取一个优雅的方式把 NBG 优化成一阶理论.

定义 3.3.1. 这一次 NBG 是个一阶集合论, 但是其中的对象叫做类. 我们先做定义:

1.	若 $\exists Y (x \in Y)$ , 则称 $x$ 是集合.
2.	若 $\forall Y (X \neq \in Y)$ , 则称 $x$ 是真类.

现在我们来看公理们. 我们默认小写字母的变元是集合.

1.	$(E x t) \forall X \forall Y (X = Y \leftrightarrow \forall z (z \in X \leftrightarrow z \in Y))$ .
2.	$(A u s_{φ}) \exists X \forall x (x \in X \leftrightarrow φ (x))$ , 这里 $φ$ 是量词辖域均受限在全体集合上的一个 $L_{\in}$ 句子.
3.	$(R e p) \forall F (isFunction (F) \to \forall x \exists y \forall z (z \in y \to \exists w \in x ((w, z) \in F)))$ , 这里 $isFunction$ 就是说 $\forall x (\exists y ((x, y) \in F) \land \forall z ((x, z) \in F \to y = z))$ .
4.	别的造集合的公理与 ZF 一样, 记得把量词限定在全体集合上.

注 3.3.2. 其实 NBG 可有穷公理化, 处理 $(A u s)$ 的手段是把它变成类的存在与类的操作存在, 从而每个 $(A u s_{φ})$ 可以由 $φ$ 的构造过程从这些类操作中产生.

虽然 NBG 看起来比 ZF 厉害多了, 但我们有以下定理.

定理 3.3.3. NBG 是 ZF 的保守扩张.

证明. 换言之, NBG 能证明一个关于集合的命题当且仅当 ZF 同样证明这个命题. 由于 NBG 显然解释 ZF, 仅当是显然的, 我们只要证明当.

$□$

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