78. Laplace 算子的谱分解与特征函数

我们可以将上述紧算子的理论应用到 Dirichlet 问题之上 (我们在这个章节并不需要区域是光滑的, 只要是有界的开集即可, 而我们只在 中研究问题而不再关心函数在边界 上的限制) . 为此, 我们给出一个紧算子的例子. 从某种意义上说, 这是最重要的一类紧算子的例子:

定理 78.1. 任意给定有界开区域 , 那么, 自然的嵌入映射是紧算子.

证明. 我们将利用 Fourier 级数的理论来证明这个重要的定理. 首先, 我们不妨假设 (否则, 我们可以把 放到更大的一个 中的一个盒子中去, 从而用一个周期与 不同的 Fourier 级数即可) .

我们可以把 中的函数在 中用 来延拓, 这给出连续映射其中, 上述连续性之所以成立是因为我们可以在 上运用 Poincaré 不等式. 根据 中的稠密性, 我们就得到了等距嵌入由于 是相对紧的, 我们选取 , 使得 . 我们现在证明映射是紧算子. 我们注意到, 作为 中的函数, 利用 Fourier 级数的展开, 我们有我们把 分解成两个算子的和, 其中, 这里, 整数 是待定的. 由于 的像完全落在 这有限多个函数所生成的有限维线性空间中, 所以它是有限秩的算子, 从而, 是紧算子.

为了研究 , 我们将利用 也是 的函数这个事实. 实际上, 我们有其中, 我们把导数转化为频率空间上衰减. 这表明, 这个算子可以一个紧算子 来逼近, 其中, , 所以 为紧算子.

最后, 我们把嵌入写成如下两个连续线性映射的复合: 由于任何算子与紧算子复合之后是紧算子, 所以我们就证明了 也是紧算子.

我们现在考虑如下的交换图表: 据此, 通过复合, 我们就可以定义从此之后, 当我们谈论 的时候, 我们总假设它的定义域和值域都是 .

由于右边竖列的箭头是紧算子, 复合之后的算子 也是紧的. 我们现在验证 是自伴算子: 对任意的 , 令 , , 我们知道, , 所以, 这里, 我们用到了 事实, 请参考引理 73.7. 类似地, 我们还有这就证明了自伴性. 此时, 就可以对 使用抽象的紧算子理论了.

另外, 我们之前还证明了 是连续的正线性算子, 即对任意的 , 我们有这个不等式中等号成立当且仅当 . 这表明, 的所有特征值都是正实数 (没有 !) .

运用 Hilbert–Schmidt 定理, 那么, 我们可把 的特征值的集合写成使得我们用 表示与 相对应的长度 (-范数) 为 的特征函数. 我们再令 , 所以, 由于 , 根据 Dirichlet 问题的解, 我们知道 . 综上所述, 我们证明了如下关于 的谱分解定理:

定理 78.2. 假设 是有界的开区域, 那么, 存在单调上升的无界序列以及 的一组 Hilbert 基 , 使得进一步, 对任意的 , 我们有 .

注记. 这个定理的证明没有用到 边界的正则性.

例子. 我们现在考虑 是一个正方体的情况, 其中 是常数. (我们注意到 的边界并不是光滑的. ) 我们要详细地计算 上的所有特征值和特征函数. 根据 Fourier 级数的理论, 的一族 Hilbert 基可以取作由于我们要求 , 所以, 我们希望选取 型的函数.

先研究 的情形, 我们选取 作为备选. 我们指出这里和 Fourier 级数的不同之处: 指数中的 变成了 . 很明显, 我们有

;

, 所以, 根据一维的 空间的描述, 我们有 ;

时, 我们有如下的正交性:

为了说明这给出了 所有特征函数, 我们在区间 上解 (常) 微分方程其中 . 注意到, 我们要找的 满足 , 根据 Sobolev 嵌入定理, . 据此, 根据方程, , 所以, , 再代入方程, , 所以, . 如此迭代, 我们知道 是足够光滑的函数, 从而可以能用经典的常微分方程理论 (解存在唯一) . 所以, 这个方程的通解可写成其中, 是复数. 再利用 , 我们有这说明由于 , 所以, 这说明, 我们已经列出了所有的特征函数和特征值.

现在假设维数是 , 我们记 , 那么是所有的特征函数.

我们首先计算其次, 我们仍然有正交关系: 当 时, 我们就有对于 , 我们定义我们来证明 : 这显然是一个 中的函数, 下面用光滑的有紧支集的函数来逼近它: 由于对每个 , , 所以, 存在 , 使得所以, 最终, 为了证明这是所有的特征函数, 我们来证明 构成 的 Hilbert 基. 我们假设 ( 的情形已经完成) , 只要证明与 都垂直的函数只有 即可 (这表明这些函数所张成的空间的闭包是整个 ) . 这与证明高维的 Fourier 级数是一组基是完全一样的 (利用 Fubini 定理) , 请参考上学期 5 月 14 日的讲义.

我们现在研究 上 Laplace 算子的特征值分布问题. 我们定义按照上述计算, 我们有这是在圆内的整点问题 (Gauss) : 是半径为 的球在第一卦限中的整点的个数, 从而其中 是只依赖于维数的常数, 实际上, 通过计算半径为 的球在第一卦限中的体积, 我们知道其中 中单位球的体积, 所以,

我们考虑 的渐近大小, 其中 . 我们在上式中取 , 按照定义, , 从而所以, 我们将证明, 这个公式对于一般的区域 都成立, 这就是所谓的 Weyl 渐进公式.

注记. 如果  是连通的, 我们可以证明 , 也就是说第一特征值的重数是 .

对于上面的例子, 这一点很容易验证. 在这个例子中, 我们还看到, .

注记. 我们现在说明, 特征函数 上的光滑函数.

由于光滑性是局部性质, 所以, 我们只要证明对任意的 , 我们都有 即可. 为了书写方便, 我们令 并且 , 所以, 所以, 按照定义, 由于 , 所以右边都是 的函数, 根据 的正则性 (注意到, 由于 的支集远离 , 我们不妨假设 是光滑的即可) , 我们知道 . 所以, 根据 选取的任意性, 限制在任意的紧集 上都是 的.

重复这个做法, 由于所以, 限制在任意的紧集 上都是 的.

以此类推, 对任意的 , . 根据 Sobolev 嵌入定理, 我们就知道 是光滑的.

我们可以对 的特征值进行如下的变分表述:

定理 78.3. 假设 并且 , 我们令上面的定义之所以有意义是因为 . 记 , 那么, 我们有

1)

对于 , 我们有

2)

对于 , 我们有其中, 上面的垂直关系是 (可以是) 用 -内积来定义的.

3)

的所有 维线性子空间所构成的集合, 其中 . 对于 , 令那么,

4)

对于 , 定义那么,

证明. 我们先证明 1) 和 2):

考虑 . 由于 , 所以, 从而, (根据定理之前的注记, ) 我们可以计算另外, , 这就给出了 1) 和 2).

为了证明 3), 我们先选取 , 这个符号代表的是由 所张成的 -维线性子空间. 根据上面的计算, 我们知道所以, 为了证明反过来的不等式, 我们利用下面的观察:

对每一个 , 总有不全为零的 , 使得 .

这是一道标准的线性代数习题: 为了让 , 我们假设 的一组基, 那么, 这个垂直的条件等价于这是 个未知数 个方程, 所以有解.

利用这个观察, 我们有所以, 这就证明了 3).

最后, 我们来证明 4). 通过选取 , 那么, 我们有又因为 可以实现上面的最大值, 所以从而, 为了证明反过来的不等式, 我们利用下面的线性代数事实 (证明仿照前述) :

对每一个 , 总有不为零的 , 使得 .

据此以及 1) 和 2) 证明的过程, 我们有也就是说, 这就完成了证明.

注记 ( 与 Poincaré 不等式). 根据 1), 我们知道对任意的 , 有这表明 是使得 Poincaré 不等式成立的最佳常数.

推论 78.4 (相互包含区域的特征值比较). 给定两个有界开区域 , 对于每个 , 我们都有

证明. 通过将函数用零来延拓, 我们已经构造了自然的 (连续) 嵌入映射: 我们用 表示 Laplace 算子在小区域 上的特征函数. 根据上面的定理, 我们有其中, 第二个等号已经开始在 中进行计算. 所以, 最后一个等号利用的是 在 4) 中的表述. 证明完毕.

推论 78.5 (弱化版本的 Weyl 渐近公式). 对任意的有界开区域 , 我们可以找到常数 , 使得当 时, 我们有

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证明. 由于 是有界开区域, 所以我们总能找到 , 使得 (通过平行移动, 这不改变特征值) . 从而, 根据特征值的比较定理, 我们有根据我们之前的例子, 所以, 我们选取即可.