69. 缓增分布的 Fourier 变换与卷积

在进一步研究缓增分布的性质之前, 我们先说明对于一个 $L^1$ 或者 $L^2$ 的函数, 我们把它 Fourier 变换视作是一个缓增的分布, 也可以先将它视作是缓增的分布再做 Fourier 变换来得到一个缓增的分布, 这两种方式是一致的:

命题 69.1. 假定 $u\in L^1({\mathbb{R}}^n)$ (或者 $L^2({\mathbb{R}}^n)$) , 那么, 它作为缓增分布的 Fourier 变换与它作为 $L^1$ (或 $L^2$) 函数的 Fourier 变换是一致的.

证明. 先假设 $f\in L^1({\mathbb{R}}^n)$, 我们把它在 $L^1$ 意义下的 Fourier 变换 (可用积分来写) 记为 ${\mathcal{F}}_1(f)$. 由于 ${\mathcal{F}}_1(f)\in C_{\circ }({\mathbb{R}}^n)$, 所以, 对任意的 Schwartz 函数 $\phi$, 我们有 (容易验证 Fubini 定理的条件总是满足的) $$\begin{array}{rl}⟨{\mathcal{F}}_1(f),\phi ⟩& ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\mathcal{F}}_1(f)(\xi )\phi (\xi )d\xi ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-ix\cdot \xi }f(x)\phi (\xi )dxd\xi \\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x)\left({\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-ix\cdot \xi }\phi (\xi )d\xi \right)dx={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(x)\hat{\phi }(x)dx=⟨f,\hat{\phi }⟩\\ & =⟨\hat{f},\phi ⟩.\end{array}$$其中, 最后的等号用的是缓增分布中的 Fourier 变换. 根据局部可积函数到分布嵌入的唯一性, 我们知道 ${\mathcal{F}}_1(f)=\hat{f}$.

现在假设 $f\in L^2({\mathbb{R}}^n)$, 我们把它在 $L^2$-意义下的 Fourier 变换记为 ${\mathcal{F}}_2(f)$. 对任意的 $k⩾1$, 我们令$$f_n=f\cdot 1_{|x|⩽n}\in L^1({\mathbb{R}}^n)\cap L^2({\mathbb{R}}^n),$$那么, 我们已经证明过$${\mathcal{F}}_2(f)\stackrel{L^2}{=}\underset{k\to \infty }{\lim }{\mathcal{F}}_1(f_k),$$其中, 极限是在 $L^2$ 的收敛的意义下取的. 所以, 作为分布, 我们也有 (利用 Cauchy-Schwartz, 请参考作业题) $${\mathcal{F}}_2(f)\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}\underset{k\to \infty }{\lim }{\mathcal{F}}_1(f_k),$$从而, 根据上述, 我们知道$${\mathcal{F}}_2(f)\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}\underset{k\to \infty }{\lim }\widehat{f_k},$$其中, 后面戴帽子的符号代表 ${\mathcal{S}}^{\prime }$ 中的 Fourier 变换. 由于$$f\stackrel{L^1}{=}\underset{k\to \infty }{\lim }{f}_k,$$所以, $$f\stackrel{{\mathcal{S}}^{\prime }}{=}\underset{k\to \infty }{\lim }{f}_k,$$从而, 根据连续性$$\widehat{f_k}\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{⟶}\hat{f}.$$所以, $${\mathcal{F}}_2(f)\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}\underset{k\to \infty }{\lim }\widehat{f_k}\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}\hat{f}.$$这就验证了这些 Fourier 变换的概念都是相容的.

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我们强调过, Fourier 分析中的一个直观是物理空间的衰减意味着频率空间的光滑性, 这对分布也是成立的:

定理 69.2. 假设 $u\in {\mathcal{E}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ (自然在无穷远处衰减地足够快) , 那么, $\hat{u}\in C^{\infty }({\mathbb{R}}_{\xi }^n)$ 是光滑函数并且$$\hat{u}(\xi )=⟨u,e^{-ix\cdot \xi }⟩.$$

证明. 我们选取截断函数 $\chi \in C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ 来帮助我们记住 $u$ 具有紧支集, 其中 $\chi {|}_{\mathrm{supp}(u)}\equiv 1$. 按照定义以及分布与积分可交换的命题, 我们有$$\begin{array}{rl}⟨\hat{u},\phi ⟩& =⟨u,\hat{\phi }⟩=⟨\chi \cdot u,\hat{\phi }⟩=⟨u,\chi \hat{\phi }⟩\\ & =⟨u,{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-ix\cdot \xi }\chi (\xi )\phi (x)dx⟩\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}⟨u(\xi ),e^{-ix\cdot \xi }\chi (\xi )⟩\phi (x)dx\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}⟨u(x),e^{-ix\cdot \xi }\chi (x)⟩\phi (\xi )d\xi \\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}⟨u(x),e^{-ix\cdot \xi }⟩\phi (\xi )d\xi .\end{array}$$这就证明了 $\hat{u}(\xi )=⟨u,e^{-ix\cdot \xi }⟩$.

我们将 $\xi$ 视为参数, 那么, $$\hat{u}(\xi )=⟨u,\chi (x)e^{-ix\cdot \xi }⟩.$$所以, 函数 $\hat{u}(\xi )$ 光滑性可以利用对分布与求导数可交换的命题立即得到.

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注记. 特别的, 上面的命题表明, 如果将 $\xi$ 视作是复变量, 那么, $\hat{u}(\xi )$ 是复解析函数. 特别的, 它的支集不可能是紧集.

我们再来研究 ${\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ 上的卷积运算. 为此, 我们先考虑在 $\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ 上的卷积.

命题 69.3. 任意给定有紧支集的分布 $c\in {\mathcal{E}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$. 那么,

1)	对任意的 Schwartz 函数 $\phi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$, 我们有$$\phi \ast c\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n).$$进一步, 我们能找到正整数 $q$ (可能依赖于 $c$) , 使得对于任何非负整数 $p$, 都存在正常数 $C_p$, 使得对任意的 $\phi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)R$, 我们有$$N_p(\phi \ast c)⩽C_p{N}_{p+q}(\phi ).$$
2)	对每个 Schwartz 函数 $\phi \in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$, 我们有$$\widehat{f\ast c}(\xi )=\hat{f}(\xi )\hat{c}(\xi ),\forall \xi \in {\mathbb{R}}^n.$$

注记. 在本次课的最后一个定理的证明过程中, 我们会证明 $\hat{c}(\xi )$ 是一个多项式增长的函数.

证明. 我们已经证明过, 如果 $f$ 是光滑函数, 那么 $f\ast c$ 是光滑函数并且可以表达为$$(f\ast c)(x)=⟨c,f(x-\cdot )⟩.$$所以, 对于 Schwartz 函数 $\phi$, 我们有$$(\phi \ast c)(x)=⟨c(y),\phi (y-x)⟩.$$从而, 利用分布与求导数可交换的性质, 对任意的多重指标 $\alpha$ 和 $\beta$, 我们就有$$(x^{\alpha }{\partial }^{\beta }\phi \ast c)(x)=⟨c(y),x^{\alpha }\left({\partial }^{\beta }\phi \right)(y-x)⟩$$由于 $c$ 是有紧支集的分布, 我们令 $K=\mathrm{supp}(u)$) ; $u$ 是有限阶的的分布, 它的阶记作 $q$. 以下我们认为 $x$ 是固定的. 从而, $$\begin{array}{rl}|(x^{\alpha }{\partial }^{\beta }\phi \ast c)(x)|& ⩽C|x{|}^{|\alpha |}\underset{|\gamma |⩽q}{\sup }\left|{\partial }_y^{\gamma }\left({\partial }^{\beta }\phi \right)(y-x)\right|\\ & ⩽C(|x-y|+|y|{)}^{|\alpha |}\underset{|\gamma |⩽q}{\sup }\left|{\partial }_y^{\gamma }\left({\partial }^{\beta }\phi \right)(y-x)\right|.\end{array}$$在上面的不等式中 $y\in K$, 所以 $|y|$ 的因子只能贡献一个常数, 只贡献一个常数 $M$. 所以, $$\begin{array}{rl}|(x^{\alpha }{\partial }^{\beta }\phi \ast c)(x)|& ⩽C(|x-y|+M{)}^{|\alpha |}\underset{|\gamma |⩽q}{\sup }\left|{\partial }_y^{\gamma }\left({\partial }^{\beta }\phi \right)(y-x)\right|.\end{array}$$通过对 $x$ 取 $\sup$, 从而, $$\underset{x\in {\mathbb{R}}^n}{\sup }|(x^{\alpha }{\partial }^{\beta }\phi \ast c)(x)|⩽C^{\prime }{N}_{|\alpha |+|\beta |+q}(\phi ).$$从而, 1) 中的不等式成立.

现在证明 2). 我们选取截断函数 $\chi \in C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$, 使得 $\chi {|}_{\mathrm{supp}(c)}\equiv 1$. 我们先假定 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$ (从而, 如下进行的分布与积分号可以交换) . 我们有$$\begin{array}{rl}\widehat{\phi \ast c}(\xi )& ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-ix\cdot \xi }\phi \ast c(x)dx={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-ix\cdot \xi }⟨c(y),\phi (y-x)⟩dx\\ & =⟨c(y),{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-ix\cdot \xi }\phi (y-x)dx⟩\\ & =⟨c(y),\chi (y){\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-ix\cdot \xi }\phi (y-x)dx⟩\\ & =⟨c(y),\chi (y)e^{-iy\cdot \xi }\hat{\phi }(\xi )⟩\\ & =⟨c(y),\chi (y)e^{-iy\cdot \xi }⟩\hat{\phi }(\xi )\\ & =⟨c(y),e^{-iy\cdot \xi }⟩\hat{\phi }(\xi )\\ & =\hat{c}(\xi )\hat{\phi }(\xi ).\end{array}$$对于一般情形, 我们选取 ${\phi }_k\stackrel{\mathcal{S}}{⟶}\phi$, 其中 $\{{\phi }_k{\}}_{k⩾1}\in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$. 根据 1) 的证明, 对任意的非负整数 $p$, 我们有$$N_p(\phi \ast c-{\phi }_k\ast c)⩽C_p{N}_{p+q}(\phi -{\phi }_k).$$从而, $${\phi }_k\ast c\stackrel{\mathcal{S}}{⟶}\phi \ast c,$$从而根据 Fourier 变换的连续性, 我们有$$\widehat{{\phi }_k\ast c}(\xi )=\widehat{{\phi }_k}(\xi )\hat{c}(\xi )\stackrel{\mathcal{S}}{⟶}\widehat{\phi \ast c}(\xi ).$$另外, 我们还有 $\widehat{{\phi }_k}(\xi )\hat{c}(\xi )\stackrel{\mathcal{S}}{⟶}\hat{\phi }(\xi )\hat{c}(\xi )$ (因为 $\hat{c}$ 是多项式增长的, 请参考本次作业) , 这就证明了定理.

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定理 69.4. 对任意的 $u\in {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$, $c\in {\mathcal{E}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$, 我们有 $u\ast c\in {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$, 即$${\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)\times {\mathcal{E}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)\stackrel{\ast }{⟶}{\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n),(u,c)\mapsto u\ast c.$$进一步, 我们还有$$\widehat{u\ast c}=\hat{c}\cdot \hat{u},$$其中, $\hat{c}$ 是多项式增长的 (实际上有衰减) 光滑函数.

证明. 首先证明 $u\ast c\in {\mathcal{S}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$. 对任意的 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$, 存在常数 $C$ 和 $p$, 使得有$$\begin{array}{rl}\left|⟨u\ast c,\phi ⟩\right|& =|⟨u,\check{c}\ast \phi ⟩|⩽C{N}_p(\check{c}\ast \phi )\end{array}$$利用上一个命题, 我们有$$\begin{array}{rl}\left|⟨u\ast c,\phi ⟩\right|& ⩽C^{\prime }{N}_{p+q}(\phi ).\end{array}$$所以, $u\ast c$ 是缓增的分布.

下面计算 $u\ast c$ 的 Fourier 变换: 对任意给定的 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$, 那么 $\psi =\hat{\phi }\in \mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$. 从而, $$\begin{array}{rl}⟨\widehat{u\ast c},\psi ⟩& =⟨u\ast c,\hat{\psi }⟩=⟨u\ast c,(2\pi {)}^n\check{\phi }⟩\\ & =⟨u,(2\pi {)}^n\check{c}\ast \check{\phi }⟩=⟨u,\widehat{\hat{c\ast \phi }}⟩=⟨\hat{u},\widehat{c\ast \phi }⟩\\ & =⟨\hat{u},\hat{c}\hat{\phi }⟩=⟨\hat{c}\cdot \hat{u},\psi ⟩.\end{array}$$利用 Fourier 变换的连续性, $\mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$ 在 $\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ 的稠密性意味着上述所有可能的 $\psi$ 在 $\mathcal{S}({\mathbb{R}}^n)$ 中稠密, (通过逼近) 所以上面的等式就给出了定理完整证明.

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利用我们学过的知识, 我们可以给出 ${\mathcal{E}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ 的一个漂亮的刻画:

定理 69.5 (有紧支集的分布的结构定理). 对任意的有紧支集的分布 $c\in {\mathcal{E}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$, 存在有限多个多重指标 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_m$ 和有限多个有紧支集的连续函数 $f_{{\alpha }_1}(x),\cdots ,f_{{\alpha }_m}(x)$, 使得$$c=\sum _{k⩽m}{\partial }^{{\alpha }_k}{f}_{{\alpha }_k}(x).$$

注记. 我们甚至可以进一步要求 $|{\alpha }_1|=|{\alpha }_2|=\cdots =|{\alpha }_m|$.

证明. 我们选取截断函数 $\chi \in C_0^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$, 使得 $\chi {|}_{\mathrm{supp}(c)}\equiv 1$. 那么, 我们有$$\begin{array}{r}\hat{c}(\xi )=⟨c,e^{-ix\cdot \xi }⟩=⟨c,\chi (x)e^{-ix\cdot \xi }⟩.\end{array}$$由于 $c$ 的阶是有限的 (记作是 $p$) , 所有存在常数 $C$, 使得$$\begin{array}{r}|\hat{c}(\xi )|⩽C\underset{|\alpha |⩽p}{\sup }\Vert {\partial }^{\alpha }(\chi (x)e^{-ix\cdot \xi }){\Vert }_{L_x^{\infty }}⩽C(1+|\xi |{)}^p\underset{|\beta |⩽|\alpha |}{\sup }\Vert {\partial }^{\beta }\phi {\Vert }_{L^{\infty }}.\end{array}$$所以, 只要选取 $N⩾p+n+1$, 我们就有$$F(\xi )=\frac{1}{(1+|\xi {|}^2{)}^N}\hat{c}(\xi )\in L^1({\mathbb{R}}^n),$$特别的, ${\mathcal{F}}^{-1}F\in C_{\circ }({\mathbb{R}}^n)$ 是连续函数. 通过导数与乘法在 Fourier 变换下的关系, 我们就得到$$(1-△{)}^N\left({\mathcal{F}}^{-1}F\right)=c.$$从而, $$\chi (x)(1-△{)}^N\left({\mathcal{F}}^{-1}F\right)=c.$$利用 $\chi \cdot {\partial }_j={\partial }_j(\chi \cdot )-{\partial }_j\chi$, 我们可以把 $\chi$ (以及其导数) 的乘法全部放到求导数运算里面去, 这就给出了定理的证明.

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