4. 极限与收敛

我们通常用 来表示一列数 (有顺序) 并且将它称为数列. 一个数列实际上就是一个映射同样的, 给定一个映射其中 是一个距离空间, 我们就得到了距离空间中的一个点列. 如果把 看成是距离空间的话 (我们之前已经这样做了) , 那么数列只是点列的一个特殊情况.

定义 4.1 (极限的定义, 语言). 假设 是实数序列. 如果存在 , 使得对任意的 , 总存在 , 使得对任意的 , 我们都有那么, 我们就说数列 有极限并把 称作是数列 极限, 记作 . 如果数列 有极限, 我们还说它是收敛的.

注记. 我们直观上总是认为 是非常小的数, 是非常大的数

1)

上述定义中的 是在 (任意的) 选定之后再选择的, 它通常依赖于 的大小, 我们有时候也写成 来表示这种依赖性.

2)

上述定义就是想描叙下面的直观: 无论 有多么小, 总存在很大的 , 使得从数列的第 项开始, 数列的每个数都和 的误差不超过 (离着 很近) .

把数列的极限的概念推广到距离空间是轻而易举的事情:

定义 4.2 (度量空间中点列的极限). 是度量空间 中点的序列, 如果存在 , 使得对任意的 , 总存在 , 使得对任意的 , 我们都有那么就称点列 中有极限的, 称作是它的极限, 记为 .

为了了解极限的概念, 我们从一些重要的例子入手:

例子.

1)

这是一个反面的例子. 极限是否存在将是我们的核心课题, 下面的例子可以表明这个问题的重要性与困难之处: 我们考虑实数数列 , 其中

我们想知道这个序列是不是有极限.

然而, 根据极限的定义, 如果有极限, 我们要先验地知道极限是什么才可以利用定义来证明. 事实上, 要想猜到这个极限的值是很困难的. 通过这个例子, 我们发现极限的定义对于判断极限是否存并没有太大的帮助.

从概念上而言, 极限的定义在哲学意义上有一个先天的缺陷: 判断数列收敛与否, 应该由数列本身所决定而不需要依赖于外在的信息, 比如说事先知道极限是什么. 换句话说, 我们想要内蕴地来考虑极限问题. 这种看法和思考方式对数学的学习是大有裨益的.

假设我们已经得知上述数列的极限是 (注意, 目前我们还没有定义圆周率 ) . 然而, 要尝试从定义出发来证明极限就是 , 我们目前还是无能为力, 因为我们缺乏基本的工具. 我们将学习微分和积分等基本的分析工具, 有了这些技术手段的支持, 我们才可以真正地计算类似的极限.

让我们暂且接受 是无理数这个事实. 我们注意到, 这个数列的每一项都是有理数, 但是它在有理数 中是没有极限的. 我们知道, 也是一个距离空间 (参见第一次作业题的 ) 可见, 一个点的序列能否收敛与这个点列所生活的空间的性质密切相关.

题外话: 我们可以把上述极限写为等式左边每一项都是用算术来定义的, 即通过整数进行加减乘除而来. 然而, 通过取极限的过程, 右边得到了和圆周率有关的信息. 简而言之, 一个算术的对象和一个几何的对象通过极限联系在一起: 可以不夸张地说, 极限是从算术世界通往几何世界的秘密通道.

2)

如果 , 那么 .

我们按照定义来证明: 对任意的 , 我们取 , 当 时, 有 .

3)

我们有极限 .

我们按照定义来证明: 对任意的 , 可以选取 , 使得 , 比如说, . 当 时, 有 .

4)

我们有极限 , 其中 .

先陈述一个技术事实: 假设 , 其中, . 根据二项式的展开 (只需要乘法和加法以及各类实数的四则运算就可以证明) , 我们有所以, 对任意的一个数 , 总能选到 , 使得 (Archimedes 原理) .

我们现在按照定义来证明: 对任意的 , 可以选取 , 使得 , 比如说, . 当 时, 有 .

有了极限, 我们可以定义无限个数求和这一个概念, 这也就是级数的概念. 不夸张地说, 这是极限最重要的一个应用, 因为几乎所有有意义的数和函数都是通过级数的方式来构造的. 另外, 我们还可以仿照极限的定义方式, 研究极限是 或者 的数列. 为此, 我们对极限的定义进行扩充

定义 4.3 (极限定义的补充). 我们假定 是实数的序列.

1)

如果对任意的 (很大) , 总存在 , 使得对任意的 , 都有 , 我们就称 收敛到正无穷, 记作 . 类似地, 如果对任意的 , 总存在 , 使得对任意的 , 都有 , 我们就称 收敛到负无穷, 记作 . 如果上述之一发生, 我们就称 发散的.

2)

是一列实数, 令 , 如果 有极限, 我们就说级数 收敛并把它的极限 记作 ; 如果 是发散的, 我们就称级数 发散. 根据之前的定义, 我们可以想当然地定义 或者 并称这个级数是收敛到正无穷或者负无穷的.

注记. 为了理解这几个定义, 我们再给出几个简单的例子:

1)

一个数列既没有极限也不发散, 比如说 , 其中 . 这个数列是没有极限的: 如若不然, 假设它的极限是 . 根据定义, 对于 (因为对与任意的 都成立, 特别地, 我们就取这个数) , 存在 , 使得当 时, . 所以, 根据三角不等式, 矛盾.

2)

在度量空间中, 我们有收敛的概念, 但是我们一般而言并没有级数的概念, 原因是对于点列 , 求和 是不能被定义的 (因为我们没有加法运算 ) .

根据这个讨论, 如果 还是一个线性空间, 那么, 我们可以定义级数 . 比如说, 是复数, 我们就可以定义复数的级数.

3)

调和级数 是最经典的发散级数的例子.

调和级数是发散的证明分析中最经典的证明之一: 考虑 , 那么, 我们有所以, 对任意的 , 我们总可以选取很大的 , 使得 , 这说明调和级数是发散的. 我们发现证明从技术上仍然和庄子的二分法相似, 究其根本, 是因为二分之后求和变得容易计算. 可计算性将在很多数学问题中都是头等重要的事情, 我们后面会数次遇到类似地事情.

我们收集与极限定义相关的一些简单性质, 我们对距离空间 中的点列来陈述这些性质, 它们自然的对实数的序列也成立:

命题 4.4. 给定距离空间 , 中点的序列, 我们有

1)

如果 收敛, 那么它的极限唯一, 即若 并且 , 那么 .

2)

任意改变序列中有限项之后, 不会改变序列的极限, 即若 , 是另外一个点列, 其中当 时, , 那么 也收敛并且 .

3)

假设 是一列上升的指标, 对 , , 那么点列 称作是 子列, 子列也经常写成 . 一个收敛点列的子列也收敛到同一个极限, 即若序列 是收敛的, 那么子列 也收敛并且 .

4)

如果实数数列 是收敛的, 那么它有界的. (在距离空间中我们也可以定义有界性, 但是这里我们只对实数陈述这个事实)

5)

(否定命题的叙述, 重要) 假设 的极限不是 (可以不收敛) , 这个命题用数学的语言说就是: 存在 , 对任意的 , 总存在 , 使得 .

证明. 我们逐条的进行论证. 这些证明是简单的, 但是对于第一次接触极限的同学, 应该坚持把证明写完整以熟悉这种语言.

1)

任意给定 , 根据极限的定义, 存在 , 使得对任意的 , 我们都有 , 也存在 , 使得对任意的 , 我们都有 . 那么, 对于 , 我们有 同时成立. 从而, 根据三角不等式, 我们有由于 是任意选取的, 所以 , 所以 .

2)

对任意给定的 , 我们想要找一个 , 使得对任意的 , 我们都有 . 根据极限的定义, 对于这个 , 存在 , 使得对任意的 , 我们都有 . 我们只需要令 , 此时, 当 时, 我们有

3)

我们将 的极限记做 , 为了证明 , 我们任选 . 根据 的极限的定义, 存在 , 使得对任意的 , . 那么, 对任意的 , 根据 , 我们知道 , 从而 .

4)

假设 , 根据定义, 对 , 存在 , 使得当 时, 我们有 . 特别地, 对一切满足 的指标 , 都落在区间 中, 这是有界的. 对于 , 这是有限多个数, 它们自然有界, 所以数列本身有界.

最后一个命题 5) 是基本的 (但是别扭) 逻辑.

注记. 对于 , 我们注意到如果一个数列是有界的, 那么它不一定是收敛的, 比如说 所给出的数列. 但是, (后面会证明) 如果一个数列是有界的, 那么它一定包含着收敛的子列.

极限是我们在高等数学学习中所最先接触的几个数学对象之一. 在数学中, 对于每一个数学对象 (例如极限) , 我们会例行公事般地考虑它的一些常见的性质. 比如说, 这个对象最基本的例子是什么, 这种对象是否存在, 如果存在的话它是否具有唯一性, 它的子对象商对象 (如果有的话) 都具有什么性质 (比如说遗传了原来的对象的什么性质) , 这个对象的可计算性以及在特定映射下的行为等等. 作为例子, 我们刚刚见到一个点列的子对象 (即子列) 遗传了点列的收敛性 (和有界性) . 尽管这是一种八股文一般的讨论方式 (Bourbaki 学派是这种方式最忠实的实践者 1) , 但是是非常有效率的一种学习和记忆方式, 我们在课程上会尽量的按照这种习惯来学习. 特别要强调的是, 每一个定义大家都应该搞清楚最基本的例子是什么.

在实数 上, 我们有四则运算和序关系, 我们自然要研究它们与极限的关系

命题 4.5 (四则运算与序关系的交换性). 假设 是两个收敛的实数数列, 那么我们有

1)

数列 收敛并且 .

2)

数列 收敛并且 .

3)

收敛并且 . 特别地, 对任意实数 , .

4)

如果 , 则存在 , 使得当 时, , 那么数列 收敛并且 .

5)

如果对足够大的 (即存在 , 使得 时) , 有 , 那么 .

证明. 这几个命题的证明不困难, 但是对初学者而言, 细节的训练是重要的. 我们假设 , .

1)

任意给定 , 我们要证明存在 , 使得对所有的 , 我们都有 . 因为 , 对于正数 而言, 所以存在 , 使得对所有的 , 我们都有 ; 因为 , 所以存在 , 使得对所有的 , 我们都有 . 此时, 我们可以选取 , 所以当 时, 我们有

2)

把上面证明中的适当位置的加号换成减号即可.

3)

由于两个数列都收敛, 所以它们都是有界的, 所以存在一个常数 , 使得对任意的 , 我们都有 , . 为了证明极限存在, 我们先做计算任意给定 , 我们可以选取 , 使得当 时, 同时成立, 此时, 对于 , 我们就有由于 可以任意选取, 命题就得到了证明 (实际上, 为了把证明写的和定义完全一致, 我们应该回头把原来的 替换成 ) .

4)

这一条性质的证明我们留成作业.

5)

我们可以利用反证法: 如若不然, 我们有 , 选取 , 根据极限的定义, 我们可以选取 , 使得当 时, 同时成立, 从而对于任意一个这样的 , 我们都有从而, 我们得到 , 矛盾!

注记. 我们对命题本身稍加解释:

a)

在命题的 中出现的 “对足够大的 ” 的讲法, 指的是 “存在 , 使得 时”, 我们将经常使用这种分析中的 “黑话”.

b)

命题 的等号左边说我们先逐项求和然后取极限, 右边我们可以先求极限再求和, 所以交换了求和和取极限这两种操作之后, 我们得到了同样的结果. 其他几个命题都是将极限符号和四则运算可以交换. 在数学和物理的很多分支中, 两种操作的顺序是否可交换的是很重要的, 比如说在线性代数里两个矩阵的乘积何时可交换是很核心的话题, 时空的弯曲与此有关, 量子力学中的 Heisenberg 测不准原理也是.

c)

命题的 说的是 可以交换. 如果我们要求对足够大的 , 有 , 那么取极限之后 未必成立 (试举一个反例, 举反例是很重要的练习, 尤其是接触新概念时, 这不失为理解抽象概念的最好方式之一) , 即严格大小关系和极限不交换. 另外, 将 换成 结论也成立, 课程后面这种平行的命题我们一般只选择证明其中的一条.

d)

在命题的 的证明中, 我们不需要区别 或者 , 这是因为 可以任意选取. 这是数学分析的行规: .

e)

这个性质最重要的应用是用于计算! 通过交换极限和四则运算, 很多复杂极限问题可以化成简单的四则运算问题 (四则运算我们更熟悉) 比说, 我们要计算 , 我们可以按照下面的步骤来做:

我们现在回到最本质的一个问题: 极限的存在性. 我们有一种内蕴的方式来判断极限的存在性:

定理 4.6 (Cauchy 列与 Cauchy 判别准则). 假设 是实数的数列, 那么如下命题等价:

1)

收敛;

2)

对任意的 , 存在 , 使得对任意的 , 都有 .

满足第二条性质的数列被称作是 Cauchy 列.

为了证明这个重要的定理, 我们先做一些准备工作. 如果实数数列 满足 , 就称之为单调上升的或者递增的; 如果它满足 , 就称之为严格单调上升的或者严格递增的. 类似地可定义 (严格) 单调下降的或者 (严格) 递减的的序列.

定理 4.7. 如果单调上升的实数序列 是有界的, 那么 收敛并且 . (单调下降的序列也满足类似的结论)

证明. 根据确界原理, 我们令 . 我们将证明对任意给定的 , 存在 , 使得当 时, .

在第二课确界原理证明之后的评注中, 我们知道可以如下地刻画上确界: 对 , 存在 , 使得 . 我们选取 , 根据单调性, 对任意的 , 我们有 . 另外, 根据上确界的定义, 我们还有 . 所以, 对任意的 , 都有 . 证毕.

作为应用, 我们证明级数 是收敛的:

例子. 级数 是收敛的.

我们定义部分和 , 所谓的级数收敛指的就是 这个数列有极限. 这是一个单调上升的数列, 根据上面的定理, 我们只需要说明 有界即可:

1.

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