期中测验

对任意的试验函数 $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, 我们定义如下的 $⟨u_0,\phi ⟩$ 以及线性映射$$\mathcal{D}(\mathbb{R})\to \mathbb{C},\phi \mapsto ⟨u_0,\phi ⟩={\int }_{\mathbb{R}}\frac{\phi (x)-\phi (-x)-2x{\phi }^{\prime }(0)}{2x^3}dx.$$

1)	证明, $u_0\in {\mathcal{S}}^{\prime }(\mathbb{R})$.
2)	找出满足方程$$x^{3}u=1$$的分布 $u\in {\mathcal{S}}^{\prime }(\mathbb{R})$.
3)	证明, $\left(u_0\right)\stackrel{ˇ}{}=-u_0$.
4)	证明, $u_0$ 是次数为 $-3$ 的齐次分布.
5)	计算 $u_0$ 的 Fourier 变换 $\widehat{u_0}$.