1. 实数的公理化描述

$\mathbb{R}$ 是一个集合, 我们假设 $x$, $y$, $z$ 等都是它的元素.

•	$\mathbb{R}$ 上面配有两个操作: ∘ 加法. $+:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R},(x,y)\mapsto x+y$; ∘ 乘法. $\cdot :\mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R},(x,y)\mapsto x\cdot y$.
•	$\mathbb{R}$ 上面还有一个序关系 $⩽$: $x⩽y$ (也记为 $y⩾x$) .

我们要求四元组 $(\mathbb{R},+,\cdot ,⩽)$ 表示满足下面四套公理:

(F) 域公理: $\mathbb{R}$ 是一个域

(F1)	加法结合律: $x+(y+z)=(x+y)+z$.
(F2)	加法交换律: $x+y=y+x$.
(F3)	存在加法单位元: 存在 $0\in \mathbb{R}$, 使得对任意 $x\in \mathbb{R}$, $0+x=x$ 成立.
(F4)	加法逆元的存在性: 对任意 $x\in \mathbb{R}$, 存在 $-x\in \mathbb{R}$, 使得 $x+(-x)=0$.

练习. 证明, 加法逆元 $-x$ 是唯一的, 即如果 $x^{\prime }\in \mathbb{R}$ 也满足 $x+x^{\prime }=0$, 那么 $x^{\prime }=-x$.

注记. 如果假定 (F1)–(F4) 成立, 按照通行的代数学的概念, $(\mathbb{R},+)$ 被称作是一个 (交换) 群. 我们强调 $-x$ 目前只是一个记号. 根据俗套的约定, 我们把 $x+(-y)$ 简写成 $x-y$.

(F5)	乘法结合律: $x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$.
(F6)	乘法交换律: $x\cdot y=y\cdot x$.
(F7)	存在乘法单位元: 存在 $1\in \mathbb{R}$, 使得 $1\ne 0$ 并且对任意 $x\in \mathbb{R}$, $1\cdot x=x$ 成立. 我们还要求 $1\ne 0$, 从而 $\mathbb{R}$ 中至少有两个元素.
(F8)	乘法逆元的存在性: 对任意 $x\in \mathbb{R}-\{0\}$, 存在 $x^{-1}\in \mathbb{R}$, 使得 $x\cdot x^{-1}=1$.

练习. 证明, $x\ne 0$ 乘法逆元 $x^{-1}$ 是唯一的, 即若 $x^{\prime }\in \mathbb{R}$ 也满足 $x\cdot x^{\prime }=1$, 那么 $x^{\prime }=x^{-1}$.

注记. (F5)–(F9) 这四条公理表明 $({\mathbb{R}}^{\times }:=\mathbb{R}-\{0\},\cdot )$ 是一个 (交换) 群. 我们强调 $x^{-1}$ 只是一个记号. 根据约定, 我们把 $x\cdot y^{-1}$ 也记作 $\frac{x}{y}$. 另外, 有时候我们还省略掉 $\cdot$ 把 $x\cdot y$ 写成 $xy$.

(F9)	乘法分配律: $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$.

注记. 假定 (F1)–(F7) 以及 (F9) 这八条, 我们就称 $(\mathbb{R},+,\cdot )$ 是一个 (交换) 环; 满足这九条公理的 $(\mathbb{R},+,\cdot )$ 被称作是一个域.

注记 (空间的概念). 上面的定义具有下述的模式, 首先固定一个集合 $X=\mathbb{R}$, 然后在 $X$ 上 加上额外的结构, 比如说加法结构 $+:X\times X\to X$, 当然, 我们对这个额外的加法结构也可以做一些要求, 比如说满足 (F1)–(F4) 等; 我们还可以加更多的结构, 比如还要求 $X$ 上有乘法结构 $\cdot :X\times X\to X$ 并且对这些结构之间的关系也有限定 (比如说 (F9)) . 在数学中, 所谓的空间通常指的是一个配备了某些结构的集合 $X$.

对于正整数 $n$, 我们还约定$$x^n=\underset{n\text{个}}{\underbrace{x\cdot x\cdot \cdots \cdot x}},nx=\underset{n\text{个}}{\underbrace{x+x+\cdots +x}}$$类似的, 对于 $n\in {\mathbb{Z}}_{<0}$, 我们约定$$x^n=\underset{|n|\text{个}}{\underbrace{x^{-1}\cdot x^{-1}\cdot \cdots \cdot x^{-1}}},nx=\underset{|n|\text{个}}{\underbrace{(-x)+(-x)+\cdots +(-x)}}$$我们规定 $0x=0$, $x^0=1$. 特别地, 我们定义了以整数 $n\in \mathbb{Z}$ 为幂的幂函数: $$\mathbb{R}\to \mathbb{R},x\mapsto x^n.$$

不难验证, 对任意的 $m,n\in \mathbb{Z}$, $(n+m)x=nx+mx$, $x^{n+m}=x^n\cdot x^m$. 特别地, $nx+(-n)x=0$, $x^n\cdot x^{-n}=1$.

练习.

1)	证明, 对任意的 $x,y$, 如果 $b\ne 0$, 我们有$$x+a=y+a\Rightarrow x=y;x\cdot b=y\cdot b\Rightarrow x=y.$$
2)	证明, 对任意的 $x,y,z,w$, 如果 $y\ne 0$, $w\ne 0$, 那么我们有$$\frac{x}{y}+\frac{z}{w}=\frac{xw+zy}{yw},\frac{x}{y}\cdot \frac{z}{w}=\frac{x\cdot z}{y\cdot w}.$$
3)	证明, 对任意非零的 $x$ 和 $y$, 我们有$${\left(\frac{x}{y}\right)}^{-1}=\frac{y}{x}.$$
4)	证明, $(-1)\cdot x=-x$. 据此, 进一步证明 $(-x)\cdot y=-(xy)$, $(-x)\cdot (-y)=xy$. (提示: 利用 $x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x$)

从此之后, 我们可以不计后果地使用这些公式 (熟知的公式是所谓的直观的一部分) .

(O) 序公理: $\mathbb{R}$ 是有序域

(O1)	序的传递性: $x⩽y,y⩽z\Rightarrow x⩽z$.
(O2)	序可以决定元素: $x⩽y,y⩽x\Rightarrow x=y$.
(O3)	全序关系: 对任意的 $x$ 和 $y$, $x⩽y$ 或者 $y⩽x$, 二者必居其一 (可以都成立) .

注记. 我们给出大于号和小于号的定义: 如果 $x⩽y$ 且 $x\ne y$, 我们就说 $x<y$; 类似地, 可以定义 $y<x$. 所以任意给定 $x,y\in \mathbb{R}$, 那么如下三种情形 (这三种情形是互斥的) 必居其一: $$x<y,x=y,x>y.$$我们在数学分析中偏爱 $⩽$ 和 $⩾$, 这是因为这两种符号在后来的取极限的运算下是封闭的, 这是后话.

另外, 如果 $x>0$, 我们就称 $x$ 是正实数并且称它的符号是正的, 记做 $\mathrm{sign}(x)=+$; 如果 $x<0$, 我们就称 $x$ 是负实数并且称它的符号是负的, 记做 $\mathrm{sign}(x)=-$. 换句话说, 我们定义了一个映射$$\mathrm{sign}:{\mathbb{R}}^{\times }\to \{+,-\}.$$

我们在课程中会强调集合之间的映射这个概念. 习惯上我们把正实数, 记作 ${\mathbb{R}}_{>0}$, 我们还将 $⩾0$ 的实数称作非负实数, 记作 ${\mathbb{R}}_{⩾0}$; 类似地, 我们可以定义非正或者负实数并且 “望文生义” 地定义符号 ${\mathbb{R}}_{<0}$ 和 ${\mathbb{R}}_{⩽0}$.

注记 (区间的定义 (也请参见之后所谓的几何定义)). 假设 $a,b\in \mathbb{R}$, 满足 $a<b$. 我们定义开区间, 闭区间和半开半闭的区间如下$$\begin{array}{rl}[a,b]:=\{x\in \mathbb{R}\mid a⩽x⩽b\},& (a,b):=\{x\in \mathbb{R}\mid a<x<b\},\\ [a,b):=\{x\in \mathbb{R}\mid a⩽x<b\},& (a,b]:=\{x\in \mathbb{R}\mid a<x⩽b\}.\end{array}$$

另外, 作为约定, 我们还采取下面的记号$$\begin{array}{rl}[a,+\infty ):=\{x\in \mathbb{R}\mid x⩾a\},& (a,+\infty ):=\{x\in \mathbb{R}\mid x>a\},\\ (-\infty ,b]:=\{x\in \mathbb{R}\mid x⩽b\},& (-\infty ,b):=\{x\in \mathbb{R}\mid x<b\}.\end{array}$$其中, $a$ 和 $b$ 分别被称作是这些区间的左端点或者右端点.

用数学分析中的黑话来说, 符号 $\infty$ 被称作是无穷, $\pm \infty$ 被称作是正／负无穷, 它们目前完全不具有具体的含义.

(O4)	与加法相容: $x⩽y\Rightarrow x+z⩽y+z$.
(O5)	与乘法相容: $x⩾0,y⩾0\Rightarrow xy⩾0$.

(A) Archimedes 公理: $\mathbb{R}$ 是 Archimedes 有序域

即对任意 $x>0$ 和 $y$, 总存在正整数 $n$, 使得 $n\cdot x⩾y$.

思考题. 假设 $a>0$, 你是否能证明开区间 $(0,a)$ 是非空的. 通过反证法, 你就可以看到所谓的 Dedekind 分割的影子. Dedekind 分割是构造实数的一种手段, 我们在后面的课程会讨论. 在思考的过程中你也会发现, 真正的困难在于, 基于目前的公理, 我们不清楚 $\mathbb{R}$ 中都有什么样子的元素 (目前我们只知道 $0,1,-1\in \mathbb{R}$) , 所以, 能否大量的构造实数是一个很重要的问题. 我们课程的一个关键点就是构造 $\sqrt{2}$, $e$ 和 $\pi$, 这听起来有些无聊, 但是中学数学教学从来都没有给出这些数的具体定义 (只要求大家必须接受它们的某些性质) .

练习.

1.	证明, $x⩾0$ 等价于 $-x⩽0$; $y>1$ 可以推出 $0<\frac{1}{y}<1$. 进一步证明, $x⩾y$ 等价于 $-x⩽-y$.
2.	证明, $1>0$, $-1\ne 1$. (提示: 如若不然, 那么, $-1>0$, 利用 (O5) 就得到了矛盾)
3.	证明, 如果 $x⩽y$, $a⩽0$, 那么 $a\cdot x⩾a\cdot y$.
4.	证明, 如果 $a⩽b$, $x⩽y$, 那么 $a+x⩽b+y$ 并且 $=$ 成立当且仅当 $a=b$, $x=y$; 再证明, 如果 $0<a⩽b$, $0<x⩽y$, 那么 $ax⩽by$ 并且 $=$ 成立当且仅当 $a=b$, $x=y$.
5.	给定 $x,y\in \mathbb{R}$, 如果对任意的 $a<x$ 都能推出 $a<y$, 证明, $x⩽y$.
6.	证明, 对任意的 $x\in \mathbb{R}$, 我们有 $x^2⩾0$.
7.	证明, 如果 $a^2<a$, 那么 $0<a<1$.
8.	如果非零实数 $x$ 和 $y$ 的符号相同, 证明, $(x+y{)}^2>(x-y{)}^2$.

命题 1.1. $\mathbb{R}$ 包含所有有理数, 即存在单射 $\iota :\mathbb{Q}\to \mathbb{R}$, 使得对任意的 $x,y\in \mathbb{Q}$, 我们有$$\iota (x{+}_{{}_{\mathbb{Q}}}y)=\iota (x)+\iota (y),\iota (x{\cdot }_{{}_{\mathbb{Q}}}y)=\iota (x)\cdot \iota (y),$$其中 ${+}_{{}_{\mathbb{Q}}}$ 和 ${\cdot }_{{}_{\mathbb{Q}}}$ 分别为有理数 $\mathbb{Q}$ 上的乘法和加法. 映射 $\iota :\mathbb{Q}\to \mathbb{R}$ 还保持序关系, 即对任意的 $x,y\in \mathbb{Q}$, 如果 $x{⩽}_{{}_{\mathbb{Q}}}y$, 那么 $\iota (x)⩽\iota (y)$, 其中 ${⩽}_{{}_{\mathbb{Q}}}$ 是有理数上的序.

证明. 首先对于整数 $n$ 定义映射 $\iota (n)\in \mathbb{R}$. 我们令$$\iota (n)=\{\begin{array}{ll}\stackrel{n\text{个}}{\overbrace{1+1+\cdots +1}},& \text{如果}n>0;\\ 0,& \text{如果}n=0;\\ \underset{-n\text{个}}{\underbrace{(-1)+(-1)+\cdots +(-1)}},& \text{如果}n<0.\end{array}$$不难验证 (请同学参考课堂笔记) , 对任意的 $m,n\in \mathbb{Z}$, 我们都有$$\iota (m{+}_{{}_{\mathbb{Q}}}n)=\iota (m)+\iota (n),\iota (-n)=-\iota (n),\iota (m{\cdot }_{{}_{\mathbb{Q}}}n)=\iota (m)\cdot \iota (n).$$据此, 为了验证 $\iota$ 是单射, 只要说明如果 $\iota (m)=\iota (n)$, 则 $m=n$. 我们有$$\iota (m-n)=\iota (m)+\iota (-n)=\iota (m)-\iota (n)=0,$$按照定义, 就有 $k=m-n$ (因为对任意的 $k>0$, $\underset{k\text{个}}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}>0$, $\underset{k\text{个}}{\underbrace{(-1)+(-1)+\cdots +(-1)}}<0$) . 对于有理数 $x=\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}$, 其中 $p,q\in \mathbb{Z}$, $q\ne 0$, 我们定义$$\iota (x)=\frac{\iota (p)}{\iota (q)},$$其中, 因为 $p$ 和 $q$ 是整数, 所以 $\iota (p)$ 和 $\iota (q)$ 已经有了定义. 当然, $x$ 可以表示为其他的整数的商的形式, 比如说, $x=\frac{s}{t}$, 其中 $s,t\in \mathbb{Z}$, 为了说明 $\iota (x)$ 是良好定义的, 我们就要说这两种表示所给出的 $\mathbb{R}$ 中的元素是一样的, 即证明$$\frac{\iota (p)}{\iota (q)}=\frac{\iota (s)}{\iota (t)}.$$根据整数情况已经证明的结论, 我们知道上式等价于$$\iota (p)\cdot \iota (t)=\iota (q)\cdot \iota (s)\iff \iota (pt)=\iota (qs)\iff pt=qs,$$其中最后一个等价性用到了 $\iota$ 在整数集上是单射, 所以 $\iota (x)$ 是良好定义的, 从而我们得到了映射$$\iota :\mathbb{Q}\to \mathbb{R}.$$为了说明 $\iota$ 是单射, 考虑 $\iota \left(\frac{p}{q}\right)=\iota \left(\frac{s}{t}\right)$, 其中 $p,q,s,t$ 是整数. 此时, 按照定义, 我们有$$\frac{\iota (p)}{\iota (q)}=\frac{\iota (s)}{\iota (t)}\Rightarrow pt=qs\Rightarrow \frac{p}{q}=\frac{s}{t}.$$最后, 我们证明 $\iota$ 保持序关系, 即说明如果 $\frac{p}{q}>\frac{s}{t}$, 那么 $\frac{\iota (p)}{\iota (q)}>\frac{\iota (s)}{\iota (t)}$, 其中, 我们总能假设 $q>0，t>0$. 由于 $\iota (q)>0$, $\iota (t)>0$ (因为对任意的 $k>0$, $\underset{k\text{个}}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}>0$) , 所以 $\frac{\iota (p)}{\iota (q)}>\frac{\iota (s)}{\iota (t)}$ 等价于$$\iota (p)\cdot \iota (t)>\iota (q)\cdot \iota (s)\iff \iota (pt-qs)>0.$$后者是显然的, 因为 $pt-qs>0$.

$\square$

注记. 我们之后将 $\mathbb{Q}$ 和 $\iota$ 的像等同. 自此往后, 我们就在这个意义下认为有理数 $\mathbb{Q}$ 是 $\mathbb{R}$ 的子集. 换句话说, 我们用 $n$ 来表示 $\mathbb{R}$ 中的 $\underset{k\text{个}}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}$, $\frac{p}{q}$ 表示 $\frac{\stackrel{p\text{个}}{\overbrace{1+1+\cdots +1}}}{\underset{q\text{个}}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}}$ 等. 习惯上, 我们将 $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ 的元素称为是无理数 (这是一个在中文世界里被广泛接受的 “无理的” 术语) .

练习. 有了以上的各种准备和经验, 我们就不难证明

1.	证明, 利用 $\mathbb{R}$ 中的 $n$ 的定义, 我们有 $n\cdot x=nx$. (先证明在 $\mathbb{R}$ 中, 我们有 $n\cdot x=\underset{n\text{个}}{\underbrace{x+x+\cdots +x}}$, 其中 $n>0$ 是 $\mathbb{R}$ 中的一个自然数) .
2.	证明, 对于任意的 $a<b$, $(a,b)$ 有无限多个元素. (提示: 我们可以考虑 $\frac{1}{2}(a+b)$ 并利用 $0<\frac{1}{2}<1$ 这个事实)
3.	如果 $\mathbb{R}$ 中存在元素 $o>0$, 使得对任意的 $x>0$, 我们都有 $o<x$, 我们就称 $o$ 是无穷小元. 证明, $\mathbb{R}$ 中没有无穷小元. (有一种专门研究含有无穷小的数的分析, 叫做非标准分析)

(I) 区间套公理

给定有限 (即要求下面的 $a_n$ 和 $b_n$ 均为实数) 闭区间的序列 $\{I_n=[a_n,b_n]{\}}_{n=1,2,\cdots }$, 如果这个序列是下降的, 即 $I_1\supset I_2\supset I_3\supset \cdots$ (等价于对任意的 $n⩾1$ 都有 $a_n⩽a_{n+1}$ 并且 $b_{n+1}⩽b_n$) , 那么它们的交集非空, 即$$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n:=\bigcap _{n⩾1}{I}_n\ne \varnothing .$$

定义 1.2. 我们将满足上述四条公理系统 (F), (O), (A), (I) 的四元组 $(\mathbb{R},+,\cdot ,⩽)$ 称作是实数.

注记. 这个定义目前并不是良好定义的: 我们完全不知道这样的实数理论是不是唯一的; 我们甚至没有证明满足四条的四元组 $(\mathbb{R},+,\cdot ,⩽)$ 是存在的. 另外, 除了有理数之外, 我们并没有证明无理数 (比如说 $\sqrt{2}$) 是存在的.

我们注意到, 如果就强行要求 $\mathbb{R}$ 是全体有理数的集合并且配备了 $+$, $\cdot$ 和 $⩽$ 这几种有理数上的结构, 我们所得到的四元组是满足 (F), (O), (A) 这三条公理系统的, 所以, 要想真的得到我们中学所熟悉的实数 (比如说存在 $\sqrt{2}$) , 区间套公理是必不可缺的.