作业: ζ(2) 的无理性

习题 A: 课堂补充

A1)	试构造连续函数 $f_n,f\in C([0,1])$, 使得对任意的 $x\in [0,1]$, 当 $n\to \infty$ 时, $f_n(x)\to f(x)$, 但是$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{f}_n\ne {\int }_0^{1}f.$$
A2)	$\alpha \in {\mathbb{R}}_{⩾0}$. 证明, 反常积分 ${\int }_{100}^{\infty }\frac{dx}{x{\log }^{\alpha }(x)}$ 收敛当且仅当 $\alpha >1$.
A3)	(反常积分的控制判别法) $f$ 和 $F$ 在区间 $I$ 上定义, 即 $f:I\to \mathbb{R}$, $F:I\to \mathbb{R}$ 并且对任意的有界闭区间 $J\subset I$, $f$ 和 $F$ 均为 $J$ 上的 Riemann 可积函数. 假设对任意的 $x\in I$, 我们都有$$|f(x)|⩽F(x).$$如果 $F$ 在区间 $I$ 上的反常积分收敛, 那么 $f$ 在区间 $I$ 上的反常积分也收敛.
A4)	利用控制判别法, 证明如下反常积分的收敛性: $$\begin{array}{rlrlrl}& (1){\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}\mathrm{d}x& & (2){\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^3}}& & (3){\int }_1^{\infty }\frac{(\log x{)}^2}{1+x(\log x{)}^5}\mathrm{d}x.\end{array}$$
A5)	利用控制判别法和面积法, 证明如下级数的收敛性: $$\begin{array}{rlrl}& (1)\sum _{n=1}^{\infty }{e}^{-n}(n^2+\log n)& & (2)\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\log n}{1+n(\log n{)}^3}.\end{array}$$
A6)	利用积分的定义计算: $$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{k^{\alpha }}{n^{\alpha +1}},\alpha >-1.$$
A7)	($\frac{22}{7}$) 计算 ${\int }_0^1\frac{x^4(1-x{)}^4}{1+x^2}\mathrm{d}x$. 你是否能借此证明 $\pi =\mathrm{3.14...}$, 即给出 $\pi$ 到小数点两位的逼近.
A8)	($\pi$ 是无理数) 假定 $a,b$ 和 $n$ 是正整数, 定义函数$$f_{a,b;n}(x)=\frac{x^n(a-bx{)}^n}{n!}.$$ ∘  证明: 对于 $k=0,1,2,\cdots ,2n$, 函数 $f_{a,b;n}(x)$ 的 $k$ 阶导数 $f_{a,b;n}^{(k)}(x)$ 在 $x=0$ 和 $x=\frac{a}{b}$ 处的取值都是整数. ∘  假定圆周率 $\pi =\frac{a}{b}$ 是有理数, 其中 $a$ 和 $b$ 是正整数. 证明, 对任意的正整数 $n$, 积分$${\int }_0^{\pi }{f}_{a,b;n}(x)\sin (x)dx$$是整数. ∘  证明: 圆周率 $\pi$ 不是有理数.
A9)	(完成 Wallis 积分的渐进公式) 利用第 23 次讲义中的知识, 对于 Wallis 积分 $I_n={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx$, 证明,$$I_n\sim \sqrt{\frac{\pi }{2n}}.$$
A10)	证明当年 Leibniz 用的面积公式: 假设 $f:[0,1]\to [0,1]$ 是单调递增的双射, $g=f^{-1}:[0,1]\to [0,1]$ 是它的逆映射, 并且 $f$ 和 $g$ 是连续可微的. 那么, $${\int }_0^{1}f(x)dx+{\int }_0^{1}g(y)dy=1.$$
A11)	证明讲义中 Leibniz 级数的计算中所用的极限: $$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k(1-\epsilon {)}^{2k+1}}{2k+1}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{2k+1}.$$
A12)	对任意的连续函数 $f:[a,b]\times [c,d]\to \mathbb{R},(x,y)\to f(x,y)$, 其中 $a,b,c,d\in \mathbb{R}$, 证明, $f$ 在 $[a,b]\times [c,d]$ 上一致连续. (其参考讲义的一般情形)

习题 B: 关于 $\zeta (2)$

第一部分: 数列 $\{\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^p}{\}}_{n⩾1}$

我们定义序列 $S_n(p)=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^p}$, 其中 $p\in {\mathbb{Z}}_{⩾1}$.

B1)	证明, 对任意的 $k\in {\mathbb{Z}}_{⩾1}$, 我们有$$\frac{1}{(k+1{)}^p}⩽{\int }_k^{k+1}\frac{1}{x^p}dx⩽\frac{1}{k^p}.$$
B2)	证明, 对任意的 $n\in {\mathbb{Z}}_{⩾2}$, 我们有$$S_n(p)-1⩽{\int }_1^n\frac{1}{x^p}dx⩽S_{n-1}(p).$$
B3)	我们假设 $p\in {\mathbb{Z}}_{⩾1}$. 证明, 函数 $x\mapsto \frac{1}{x^p}$ 在 $[1,+\infty )$ 上反常可积当且仅当 $p⩾2$.
B4)	证明, 数列 $\{S_n(p){\}}_{n⩾1}$ 收敛当且仅当 $p⩾2$. 对于 $p⩾2$, 我们下面记$$\zeta (p)=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n(p)=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^p}.$$

第二部分: 计算 $\zeta (2)$

定义函数 $h(t)=\frac{t^2}{2\pi }-t$, 定义 $[0,\pi ]$ 上的函数 $\phi :[0,\pi ]\to \mathbb{R}$:$$\phi (x)=\{\begin{array}{l}-1,x=0;\\ \frac{h(x)}{2\sin (\frac{x}{2})},0<x⩽\pi .\end{array}$$

B5)	证明, $\phi \in C^1([0,\pi ])$.
B6)	对所有的整数 $k⩾1$, 计算如下积分的值: $${\int }_0^{\pi }h(x)\cos (kx)dx.$$
B7)	证明, 存在常数 $\lambda$ (给出它的值) , 使得对任意的 $x\in (0,\pi ]$, 我们都有$$\sum _{k=1}^n\cos (kx)=\frac{\sin ((n+\frac{1}{2})x)}{2\sin (\frac{x}{2})}-\lambda .$$
B8)	证明, 对于任意的函数 $\psi (x)\in C^1([0,\pi ])$, 我们都有如下的极限: $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_0^{\pi }\psi (x)\sin ((n+\frac{1}{2})x)dx=0.$$
B9)	证明如下的等式: $$\zeta (2)=\frac{1}{6}{\pi }^2.$$(提示: 利用分部积分)

第三部分: $\zeta (2)$ 是无理数

我们采取反证法. 在这一部分中, 我们假设$${\pi }^2=\frac{a}{b}$$其中 $a$, $b$ 是正整数. 我们要推出矛盾.

B10)	定义多项式的序列 $f_n(x)=\frac{x^n(1-x{)}^n}{n!}$, 其中 $n\in {\mathbb{Z}}_{⩾1}$. 证明, 对任意的整数 $k$, 上述函数的高阶导数 $f_n^{(k)}(0)$ 和 $f_n^{(k)}(1)$ 都是整数.
B11)	定义函数的序列$$F_n(x)=b^n({\pi }^{2n}{f}_n(x)-{\pi }^{2n-2}{f}_n^{(2)}(x)+{\pi }^{2n-4}{f}_n^{(4)}(x)-\cdots +(-1{)}^n{f}_n^{(2n)}(x)).$$证明, $F_n(0)$ 和 $F_n(1)$ 都是整数.
B12)	对于 $n⩾1$, 定义函数序列 $\{g_n{\}}_{n⩾1}$ 和序列 $\{A_n{\}}_{n⩾1}$ 如下: $$g_n(x)=F_n^{\prime }(x)\sin (\pi x)-\pi F_n(x)\cos (\pi x),A_n=\pi {\int }_0^1{a}^n{f}_n(x)\sin (\pi x)dx.$$证明等式: $$g_n^{\prime }(x)={\pi }^2{a}^n{f}_n(x)\sin (\pi x)$$以及 $A_n$ 是正整数.
B13)	证明, 存在正整数 $n$, 使得对任意的 $x\in [0,1]$, 我们都有$$a^n{f}_n(x)<\frac{1}{2}.$$
B14)	证明, 存在正整数 $n$, 使得 $A_n\in (0,1)$. 这和 B12) 矛盾.

习题 C: 定积分的计算

试计算下列定积分 (常数 $a\ne 0$, $b\ne 0$. ) $$\begin{array}{rlrlrl}& (1){\int }_0^{\pi }{\sin }^{3}x& & (2){\int }_{-\pi }^{\pi }{x}^2\cos x& & (3){\int }_0^3\frac{x}{1+\sqrt{1+x}}\\ & (4){\int }_0^{\sqrt{3}}x\arctan (x)& & (5){\int }_{-1}^0(2x+1)\sqrt{1-x-x^2}& & (6){\int }_{\frac{1}{e}}^e|\log x|\\ & (7){\int }_0^a{x}^2\sqrt{a^2-x^2}& & (8){\int }_0^{\log 2}\sqrt{e^x-1}& & (9){\int }_1^2{x}^{100}\log x\\ & (10){\int }_0^a\log (x+\sqrt{x^2+a^2})& & (11){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos x\sin x}{a^2{\sin }^{2}x+b^2{\cos }^{2}x}& & (12){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\cos }^{2}x}{\cos x+\sin x}\\ & (13){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{{\sin }^{2}x}{\cos x+\sin x}& & (14){\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\log (1+\tan x)& & (15){\int }_0^4\frac{|x-1|}{|x-2|+|x-3|}\\ & (16){\int }_0^{\pi }\frac{x\sin x}{1+{\cos }^{2}x}& & (17){\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}& & (18){\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin 2019x}{\sin x}\\ & (19){\int }_2^4\frac{\log \sqrt{9-x}}{\log \sqrt{9-x}+\log \sqrt{x+3}}& & (20){\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}& & (21){\int }_0^1\sqrt{x+\sqrt{1+x}}\\ & (22){\int }_{-1}^1\frac{\sin \left(\sin \right(\sin (x)\left)\right)}{x^{800}+1}& & & & \end{array}$$