作业: Fourier 级数的计算, 三角函数与球谐函数

Fourier 级数的计算

F1)	给定 $f\in L^1(\mathbf{T})$. 证明, $f$ 是实值函数 (几乎处处) 当且仅当对任意的 $k\in \mathbb{Z}$, 我们有$$\overline{\hat{f}(k)}=\hat{f}(-k).$$
F2)	$f$ 是 $\mathbb{R}$ 上以 $2\pi$ 为周期的奇函数, 它在 $[0,\pi ]$ 上的定义为$$f(x)=x(\pi -x).$$证明, 对任意的 $x\in \mathbb{R}$, 我们都有$$f(x)=\frac{8}{\pi }\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\sin ((2k-1)x)}{(2k-1{)}^3}.$$
F3)	$f$ 是 $\mathbb{R}$ 上以 $2\pi$ 为周期的函数, 它在 $[-\pi ,\pi ]$ 上的定义为$$f(x)=|x|.$$试计算 $f$ 的 Fourier 系数. 通过考虑 $f(0)$ 证明: $$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2}=\frac{1}{6}{\pi }^2.$$进一步证明, $$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^4}=\frac{1}{90}{\pi }^4.$$
F4)	$\alpha \in \mathbb{R}-\mathbb{Z}$, $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上以 $2\pi$ 为周期的函数, 它在 $[0,2\pi ]$ 上的定义为$$f(x)=\frac{\pi }{\sin (\pi \alpha )}{e}^{i(\pi -x)\alpha }.$$通过计算它的 Fourier 系数, 证明, $$\sum _{k\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(k+\alpha {)}^2}=\frac{{\pi }^2}{\sin (\pi \alpha {)}^2}.$$
F5)	利用 F2) 中的函数, 证明$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^6}=\frac{1}{945}{\pi }^6.$$
F6)	证明, 连续函数的 Fourier 系数可以衰减的任意慢, 即任给正数的序列 $\{b_k{\}}_{k⩾1}$, $b_k\to 0$, 总存在连续函数 $f\in C(\mathbf{T})$, 使得存在无限多个 $k⩾0$, $|\hat{f}(k)|⩾b_k$.

三角函数与球谐函数

我们用 ${\mathbf{S}}^1=\mathbf{T}$ 表示 ${\mathbb{R}}^2$ 中的单位球面$${\mathbf{S}}^1=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^3|x^2+y^2=1\}.$$我们可以用极坐标系 $(r=1,\theta )$ 来表示 $\mathbf{T}$ 上的点, 其中 $\theta \in [0,2\pi ]$.

s1)	证明, 在 $\theta$ 的参数表示下, $\mathbf{T}$ 上的曲面测度为 $\sigma =d\theta$. 我们用上述测度来定义 $L^2(\mathbf{T})$ (和课堂上有区别) : 对于 $f,g\in L^2(\mathbf{T})$, 它们的内积是$$(f_1,f_2)={\int }_{\mathbf{T}}{f}_1(\theta )\overline{f_2(\theta )}d\theta .$$
s2)	对于 ${\mathbb{R}}^2$ 上的 Laplace 算子 $△=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}$, 证明 (上学期已经证明) , $$△=\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r^2}{△}_{\mathbf{T}},$$其中 ${△}_{\mathbf{T}}=\frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}$.
s3)	证明, ${△}_{\mathbf{T}}$ 对于上述的 $L^2$ 内积具有自伴性: 对任意的 $f,g\in C^{\infty }(\mathbf{T})$, 我们有$$({△}_{\mathbf{T}}{f}_1,f_2)=(f_1,{△}_{\mathbf{T}}{f}_2).$$(自伴性可以类比成线性代数中的对称矩阵)
s4)	任给 $g\in \mathbf{SO}(2)$ (即行列式为 $1$ 的 $2\times 2$ 正交矩阵) 和 ${\mathbb{R}}^2$ 上的函数 $f$, 我们定义$$g\bullet f(x)=f(g^{-1}x),$$其中 $g^{-1}x$ 是 $2\times 2$ 的矩阵在 $2$ 维的向量上的乘法. 证明, 对任意的 $f_1,f_2\in L^2(\mathbf{T})$ 和任意的 $g\in \mathbf{SO}(2)$, 我们有$$(g\bullet f_1,g\bullet f_2)=(f_1,f_2).$$
s5)	我们将 ${\mathbb{R}}^2$ 中满足 $△f=0$ 的 $C^2$ 函数称作是调和函数. 证明, 如果 $f$ 是调和函数, 那么对任意的 $g\in \mathbf{SO}(2)$, $g\bullet f$ 也是调和函数.
s6)	我们用 ${\mathbf{P}}^{(\ell )}$ 表示复系数的次数为 $\ell$ 的关于 $x$ 和 $y$ 的二元齐次多项式, 这是线性空间, 其中的元素形如$$\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{{\ell }_1+{\ell }_1=\ell }{0⩽{\ell }_1,{\ell }_2⩽\ell }}{c}_{{\ell }_1,{\ell }_2}{x}^{{\ell }_1}{y}^{{\ell }_2},c_{{\ell }_1,{\ell }_2}\in \mathbb{C}.$$证明, ${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathbf{P}}^{(\ell )}=\ell +1$ 并且对任意的 $P\in {\mathbf{P}}^{(\ell )}$ 和任意的 $g\in \mathbf{SO}(2)$, $g\bullet P\in {\mathbf{P}}^{(\ell )}$.
s7)	证明, 对于 $\ell ⩾2$, Laplace 算子给出的映射$$△:{\mathbf{P}}^{(\ell )}\to {\mathbf{P}}^{(\ell -2)}$$是线性映射并且是满射.
s8)	我们定义 ${\mathbb{R}}^2$ 上 $\ell$-次的调和多项式为: $${\mathbf{H}}^{(\ell )}=\{P\in {\mathbf{P}}^{(\ell )}|△P=0\}.$$证明, 如果 $|\ell |⩾1$, 那么 ${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathbf{H}}^{(\ell )}=2$ 并且 ${\mathbf{H}}^{(\ell )}$ 在 $\mathbf{SO}(2)$ 的作用下不变: 对任意的 $P\in {\mathbf{H}}^{(\ell )}$ 和任意的 $g\in \mathbf{SO}(2)$, $g\bullet P\in {\mathbf{H}}^{(\ell )}$. 注记. 上述证明了 ${\mathbf{H}}^{(\ell )}$ 是 $\mathbf{SO}(2)$ 的一个 $2$ 维的表示.
s9)	证明, 对任意的 $\ell$, 如果 $P\in {\mathbf{H}}^{(\ell )}$, 那么 $p=P{|}_{\mathbf{T}}$ 满足$$-△p={\ell }^{2}p.$$
s10)	证明, ${\mathbf{H}}^{(\ell )}$ 可以由 $e_{\ell }=(x+iy{)}^{\ell }$ 和 $e_{-\ell }=(x-iy{)}^{\ell }$ 生成.
s11)	证明, $\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}_k\right|k\in \mathbb{Z}\}$ 是 $L^2(\mathbf{T})$ 的一个 Hilbert 基.

注记. 上述表明, $L^2(\mathbf{T})$ 的 Hilbert 基 $\left\{e^{ikx}\right|k\in \mathbb{Z}\}$ 可以由 ${\mathbb{R}}^2$ 上的齐次调和多项式限制得到. 我们下面要把这个结论推广到 ${\mathbf{S}}^2$.

我们用 ${\mathbf{S}}^2$ 表示 ${\mathbb{R}}^3$ 中的单位球面$${\mathbf{S}}^2=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{R}}^3\mid (x_1{)}^2+(x_2{)}^2+(x_3{)}^2=1\}.$$我们可以用球面坐标系 $(r=1,\vartheta ,\phi )$ 来表示 ${\mathbf{S}}^2$ 上的点, 其中 $(\vartheta ,\phi )\in [0,\pi ]\times [0,2\pi ]$.

S1)	证明, 在 $(\vartheta ,\phi )$ 的参数表示下, ${\mathbf{S}}^2$ 上的曲面测度为 $\sigma =\sin \vartheta d\vartheta d\phi$. 我们用上述测度来定义 $L^2({\mathbf{S}}^2)$: 对于 $f,g\in L^2({\mathbf{S}}^2)$, 它们的内积是$$(f_1,f_2)={\int }_{{\mathbf{S}}^2}{f}_1(\vartheta ,\phi )\overline{f_2(\vartheta ,\phi )}\sin \vartheta d\vartheta d\phi .$$
S2)	对于 ${\mathbb{R}}^3$ 上的 Laplace 算子 $△=\sum _{i=1}^3\frac{{\partial }^2}{\partial x_i^2}$, 证明 (之前的作业已经证明) , $$△=\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}+\frac{2}{r}\frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r^2}{△}_{{\mathbf{S}}^2},$$其中 ${△}_{{\mathbf{S}}^2}=\frac{{\partial }^2}{\partial {\vartheta }^2}+\frac{\cos \vartheta }{\sin \vartheta }\frac{\partial }{\partial \vartheta }+\frac{1}{(\sin \vartheta {)}^2}\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2}$.
S3)	证明, ${△}_{{\mathbf{S}}^2}$ 对于上述的 $L^2$ 内积具有自伴性: 对任意的 $f,g\in C^{\infty }({\mathbf{S}}^2)$, 我们有$$({△}_{{\mathbf{S}}^2}{f}_1,f_2)=(f_1,{△}_{{\mathbf{S}}^2}{f}_2).$$
S4)	任给 $g\in \mathbf{SO}(3)$ (即行列式为 $1$ 的 $3\times 3$ 正交矩阵) 和 ${\mathbb{R}}^3$ 上的函数 $f$, 我们定义$$g\bullet f(x)=f(g^{-1}x),$$其中 $g^{-1}x$ 是 $3\times 3$ 的矩阵在 $3$ 维的向量上的乘法. 证明, 对任意的 $f_1,f_2\in L^2({\mathbf{S}}^2)$ 和任意的 $g\in \mathbf{SO}(3)$, 我们有$$(g\bullet f_1,g\bullet f_2)=(f_1,f_2).$$
S5)	我们将 ${\mathbb{R}}^3$ 中满足 $△f=0$ 的 $C^2$ 函数称作是调和函数. 证明, 如果 $f$ 是调和函数, 那么对任意的 $g\in \mathbf{SO}(3)$, $g\bullet f$ 也是调和函数.
S6)	我们用 ${\mathbf{P}}^{(\ell )}$ 表示复系数的次数为 $\ell$ 的关于 $x_1,x_2,x_3$ 的齐次多项式, 这显然是一个线性空间, 其中的元素形如$$\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{{\ell }_1+{\ell }_1+{\ell }_3=\ell }{0⩽{\ell }_1,{\ell }_2,{\ell }_3⩽\ell }}{c}_{{\ell }_1,{\ell }_2,{\ell }_3}(x_1{)}^{{\ell }_1}(x_2{)}^{{\ell }_2}(x_3{)}^{{\ell }_3},c_{{\ell }_1,{\ell }_2,{\ell }_3}\in \mathbb{C}.$$证明, ${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathbf{P}}^{(\ell )}=\frac{1}{2}(\ell +1)(\ell +2)$ 并且对任意的 $P\in {\mathbf{P}}^{(\ell )}$ 和任意的 $g\in \mathbf{SO}(3)$, $g\bullet P\in {\mathbf{P}}^{(\ell )}$.
S7)*	证明, 对于 $\ell ⩾2$, 由 Laplace 算子给出的映射$$△:{\mathbf{P}}^{(\ell )}\to {\mathbf{P}}^{(\ell -2)}$$是线性映射并且是满射.
S8)	我们定义调和多项式的空间: $${\mathbf{H}}^{(\ell )}=\{P\in {\mathbf{P}}^{(\ell )}\mid △P=0\}.$$证明, ${\dim }_{\mathbb{C}}{\mathbf{H}}^{(\ell )}=2\ell +1$ 并且 ${\mathbf{H}}^{(\ell )}$ 在 $\mathbf{SO}(3)$ 的作用下不变: 对任意的 $P\in {\mathbf{H}}^{(\ell )}$ 和任意的 $g\in \mathbf{SO}(3)$, $g\bullet P\in {\mathbf{H}}^{(\ell )}$. 注记. 上述实际上证明了 ${\mathbf{H}}^{(\ell )}$ 是 $\mathbf{SO}(3)$ 的一个 $2\ell +1$ 维的表示, 利用一点点关于 $\mathbf{SU}(2)$ 和 $\mathbf{SO}(3)$ 的表示论 (这是一种关于群作用的线性代数) , 我们容易证明 ${\mathbf{H}}^{(\ell )}$ 是 $\mathbf{SO}(3)$ 的不可约表示并且当 $\ell$ 遍历 $0,1,2,\cdots$ 时, 我们得到了 $\mathbf{SO}(3)$ 的所有不可约表示.
S9)	对任意的 $P\in {\mathbf{P}}^{(\ell )}$ 和非负整数 $k$, 证明, $$△(r^{2k}P)=2k(2\ell -2k+1)r^{2k-2}P+r^{2k}△P.$$(提示: 利用齐次函数的 Euler 等式)
S10)*	证明, 如果 $P\in {\mathbf{P}}^{(\ell )}$ 并且 $r^{2}P\in {\mathbf{H}}^{(\ell +2)}$, 那么 $P=0$. (提示: 考虑 $k_0$ 是使得 $r^{2k_0}$ 整除 $P$ 的最大整数)
S11)	证明, ${\mathbf{P}}^{(\ell )}={\mathbf{H}}^{(\ell )}\oplus r^2{\mathbf{P}}^{(\ell -2)}$, ${\mathbf{P}}^{(\ell )}={\mathbf{H}}^{(\ell )}\oplus r^2{\mathbf{H}}^{(\ell -2)}\oplus r^4{\mathbf{H}}^{(\ell -4)}\oplus \cdots$.
S12)	令 ${\mathbf{H}}^{\ell }=\left\{P{|}_{{\mathbf{S}}^2}|P\in {\mathbf{H}}^{(\ell )}\right\}$, 即齐次调和多项式在球面上的限制, 我们将这些函数称作是球谐函数. 证明, 在内积$$(f_1,f_2)={\int }_0^{\pi }{\int }_0^{2\pi }{f}_1(\vartheta ,\phi )\overline{f_2(\vartheta ,\phi )}\sin \vartheta d\vartheta d\phi$$下, ${\mathbf{H}}^{\ell }$ 是有限维的 Hermite 内积空间, 这个内积是 $\mathbf{SO}(3)$ 不变的 (即对任意的 $g\in \mathbf{SO}(3)$, 任意的 $f_1,f_2\in {\mathbf{H}}^{\ell }$, $(g\bullet f_1,g\bullet f_2)=(f_1,f_2)$) 并且作为线性空间, 我们有同构$${\mathbf{P}}^{\ell }={\mathbf{H}}^{\ell }\oplus {\mathbf{H}}^{\ell -2}\oplus {\mathbf{H}}^{\ell -4}\oplus \cdots ,$$其中 ${\mathbf{P}}^{\ell }=\left\{P{|}_{{\mathbf{S}}^2}\right|P\in {\mathbf{P}}^{(\ell )}\}$.
S13)	我们用 $\mathrm{Res}:{\mathbf{P}}^{(\ell )}\to {\mathbf{P}}^{\ell }$ 代表到球面的限制映射, 用 $\mathrm{Ext}:{\mathbf{P}}^{\ell }\to {\mathbf{P}}^{(\ell )}$ 表示齐次扩张映射, 其中$$(\mathrm{Ext}(f))(r,\vartheta ,\phi )=r^{\ell }f(\vartheta ,\phi ),$$这两个映射互为逆映射. 令$$\begin{array}{rl}{X}_1& =x_3\frac{\partial }{\partial x_2}-x_2\frac{\partial }{\partial x_3},\\ X_2& =x_1\frac{\partial }{\partial x_3}-x_3\frac{\partial }{\partial x_1},\\ X_3& =x_2\frac{\partial }{\partial x_1}-x_1\frac{\partial }{\partial x_2},\end{array}$$为 ${\mathbb{R}}^3$ 上的三个向量场 (它们落在 $\mathbf{SO}(3)$ 的 Lie 代数中) , 对于 $P\in {\mathbf{H}}^{\ell }$, 我们定义$$D^{i}P=\mathrm{Res}\left({\nabla }_{X_i}\right(\mathrm{Ext}(P)\left)\right),i=1,2,3.$$证明, $D_i:{\mathbf{P}}^{\ell }\to {\mathbf{P}}^{\ell }$, $D_i:{\mathbf{H}}^{\ell }\to {\mathbf{H}}^{\ell }$ 并且$$\begin{array}{rl}{D}_1& =\sin \phi \frac{\partial }{\partial \vartheta }+\cos \phi \frac{\cos \vartheta }{\sin \vartheta }\frac{\partial }{\partial \phi },\\ D_2& =-\cos \phi \frac{\partial }{\partial \vartheta }+\sin \phi \frac{\cos \vartheta }{\sin \vartheta }\frac{\partial }{\partial \phi },\\ D_3& =-\frac{\partial }{\partial \phi }.\end{array}$$
S14)	我们令$$\begin{array}{rl}{J}_1& =i(\sin \phi \frac{\partial }{\partial \vartheta }+\cos \phi \frac{\cos \vartheta }{\sin \vartheta }\frac{\partial }{\partial \phi }),\\ J_2& =i(-\cos \phi \frac{\partial }{\partial \vartheta }+\sin \phi \frac{\cos \vartheta }{\sin \vartheta }\frac{\partial }{\partial \phi }),\\ J_3& =-i\frac{\partial }{\partial \phi },\\ J_{\pm }& =J_1\pm i{J}_2.\end{array}$$证明, 对任意的 $f_1,f_2\in C^{\infty }({\mathbf{S}}^2)$, 我们有$$(J_k{f}_1,f_2)=(f_1,J_k{f}_2),(J_{+}{f}_1,f_2)=(f_1,J_{-}{f}_2),(J_{-}{f}_1,f_2)=(f_1,J_{+}{f}_2).$$(提示: 可能将 $D_k$ 写成 $\mathbf{SO}(3)$ 中一条曲线的切方向 $D_k=\frac{d}{dt}{|}_{t=0}g(t)$, 其中 $g(t)\in \mathbf{SO}(3)$, 会使得证明在概念上更清晰)
S15)	我们定义如下的 Casimir 算子: $$J^2=J_1\circ J_1+J_2\circ J_2+J_3\circ J_3=J_{+}\circ J_{-}+J_3\circ J_3-J_3.$$证明, $J^2=-{△}_{{\mathbf{S}}^2}$.
S16)	对于 $Y(\vartheta ,\phi )\in {\mathbf{P}}^{\ell }$, 我们令$$P(r,\vartheta ,\phi )=\mathrm{Ext}(Y)(r,\vartheta ,\phi )=r^{\ell }Y(\vartheta ,\phi ).$$证明, $△P=0$ 等价于 ${△}_{{\mathbf{S}}^2}Y=-\ell (\ell +1)Y$.
S17)	证明, $-{△}_{{\mathbf{S}}^2}:{\mathbf{H}}^{\ell }\to {\mathbf{H}}^{\ell }$ 并且 $-{△}_{{\mathbf{S}}^2}=\ell (\ell +1)\mathbf{Id}$.
S18)*	证明, $\mathrm{Span}\left\{{\mathbf{H}}^{\ell }\right|\ell =1,2,3,\cdots \}$ 在 $L^2({\mathbf{S}}^2)$ 是稠密的. (提示: 利用关于多项式 (多元) 的 Stone-Weierstrass 定理) 注记. 上述表明, $L^2({\mathbf{S}}^2)$ 可以写成直和 (Hilbert 空间意义下的) $L^2({\mathbf{S}}^2)=\underset{\ell 0}{\overset{\infty }{⨁}}{\mathbf{H}}^{\ell }$, 其中, ${\mathbf{H}}^{\ell }$ 恰为 $-{△}_{{\mathbf{S}}^2}$ 以 $\ell (\ell +1)$ 为特征值的特征子空间, 它的维数是 $\ell (\ell +1)$. 以下, 我们要在每个 ${\mathbf{H}}^{\ell }$ 中选取一组单位正交基 $\{Y_m^{\ell }\mid m=-\ell ,\cdots ,-1,0,1,\cdots ,\ell \}$, 此时所有的 $\{Y_m^{\ell }\mid \ell ⩾0,-\ell ⩽m⩽\ell \}$ 构成了 $L^2({\mathbf{S}}^2)$ 的一个 Hilbert 基. 线性算子 $-{△}_{{\mathbf{S}}^2}$ 在这组基下被对角化. 我们可以将这些要找的函数想象成 $\mathbf{T}$ 上的三角函数 $e^{ikx}$ 的类比.
S19)	对于 $m=0,1,2,\cdots ,\ell$, 我们定义两组函数$$\begin{array}{rl}{P}_m^{\ell }& ={\left(\frac{d}{dx}\right)}^{\ell +m}\left((1-x^2{)}^{\ell }\right),\\ Z_m^{\ell }(\vartheta )& =(\sin \vartheta {)}^m{P}_m^{\ell }(\cos \vartheta ),\end{array}$$和一组常数$$C_{m,\ell }=\frac{(-1{)}^{\ell +m}}{2^{\ell }\ell !}\sqrt{\frac{2\ell +1}{4\pi }}\sqrt{\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}.$$据此, 我们定义$$Y_m^{\ell }(\vartheta ,\phi )=C_{m,\ell }{Z}_m^{\ell }(\vartheta )e^{im\phi }.$$当 $m=-\ell ,-\ell +1,\cdots ,-1$ 时, 我们定义$$Y_m^{\ell }(\vartheta ,\phi )=\overline{Y_{-m}^{\ell }(\vartheta ,\phi )}.$$证明, 上述定义的 $Y_m^{\ell }$ ($-\ell ⩽m⩽\ell$) 都是 ${\mathbf{S}}^2$ 上的非零的光滑函数.
S20)	试写下 $Y_m^{\ell }$ ($\ell =0,1,2$, $-\ell ⩽m⩽\ell$) 这九个函数并证明它们 $L^2({\mathbf{S}}^2)$ 是长度为 $1$ 且相互正交的.
S21)	证明, 对任意的 $\ell$ 和 $m$ ($-\ell ⩽m⩽\ell$) , 我们有下面的恒等式: $$\begin{array}{rl}-{△}_{{\mathbf{S}}^2}{Y}_m^{\ell }& =\ell (\ell +1)Y_m^{\ell },\\ J_3{Y}_m^{\ell }& =m{Y}_m^{\ell },\\ J_{+}{Y}_m^{\ell }& =\sqrt{(\ell -m)(\ell +m+1)}{Y}_{m+1}^{\ell },\\ J_{-}{Y}_m^{\ell }& =\sqrt{(\ell +m)(\ell -m+1)}{Y}_{m-1}^{\ell }.\end{array}$$
S22)	证明, 对任意的 $\ell$ 和 $m$ ($-\ell ⩽m⩽\ell$) , $Y_m^{\ell }\in {\mathbf{H}}^{\ell }$.
S23)	证明, 对任意的 $(\ell ,m)\ne ({\ell }^{\prime },m^{\prime })$ ($-\ell ⩽m⩽\ell$, $-{\ell }^{\prime }⩽m^{\prime }⩽{\ell }^{\prime }$) , 函数 $Y_m^{\ell }$ 和 $Y_{m^{\prime }}^{{\ell }^{\prime }}$ 是垂直的, 即 $(Y_m^{\ell },Y_{m^{\prime }}^{{\ell }^{\prime }})=0$.
S24)*	固定 $\ell$, 证明, 对任意的 $-\ell ⩽m⩽\ell$, $Y_m^{\ell }$ 的长度 $\sqrt{(Y_m^{\ell },Y_m^{\ell })}$ 不依赖于 $m$. (提示: 利用 S21) 的结论)
S25)	证明, 对任意的 $\ell$ 和 $m$ ($-\ell ⩽m⩽\ell$) , $(Y_m^{\ell },Y_m^{\ell })=1$. 注记. 上述表明, 我们可以取 $\left\{Y_m^{\ell }\right|\ell ⩾0,-\ell ⩽m⩽\ell \}$ 作为 $L^2({\mathbf{S}}^2)$ 的 Hilbert 基. 上述构造的一个核心想法就是 $-{△}_{{\mathbf{S}}^2}$ 与算子 $J_3$ 是交换的, 从而它们应该可以被同时 (正交) 对角化. 这个问题的计算对应着量子力学中的 Zeeman 效应.

寄语. Derrière la série de Fourier, d’autres séries analogues sont entrées dans la domaine de l’analyse; elles y sont entrées par la même porte; elles ont été imaginées en vue des applications.

—— Henri Poincaré