作业: Fourier 级数几乎处处发散的 L1 函数

Gibbs 现象, Fourier 级数

A1)	试构造数列 $\{{\xi }_k{\}}_{k⩾1}\subset [0,1)$, 使得它在 $[0,1)$ 上稠密却不是等分布的.
A2)	对任意的 $f,g\in L^1(\mathbf{T})$, 证明, 卷积在频率空间来看就是正常的乘积: $$\widehat{f\ast g}(k)=\hat{f}(k)\hat{g}(k).$$
A3)	$f$ 是 $\mathbb{R}$ 上以 $2\pi$ 为周期的实值函数, 它在 $[-\pi ,\pi ]$ 上是有界的单调函数. 证明, 存在常数 $C$, 使得对任意的 $k\in \mathbb{Z}$, 我们都有$$|\hat{f}(k)|⩽\frac{C}{1+|k|}.$$(先证明 $[-\pi ,\pi ]$ 上有界的单调函数可以被形如 $\sum _{k=1}^N{\alpha }_k{1}_{[a_{k-1},a_k]}$ 的函数逼近, 其中 $-\pi =a_0<a_1<\cdots <a_N=\pi$, ${\alpha }_1⩽{\alpha }_2⩽\cdots$)
A4)	(Gibbs 现象) 我们定义墙头草形状的以 $2\pi$ 为周期的函数 $f$, 其中, 当 $x\in [0,2\pi )$ 时, 我们有$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x=0;\\ \frac{\pi -x}{2},& \end{array}$$ 此时, 在间断点 $0$ 处, 我们有 $f_{+}(0)-f_{-}(0)=\pi$. 证明, $f$ 的 Fourier 级数可以写为$$\sum _{k\ne 0}\frac{1}{2ik}{e}^{ik\cdot x}=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\sin (kx)}{k}.$$ 证明, 对于部分和 $S_N(f)$, 我们有$$\underset{x\in (0,\frac{\pi }{N}]}{\max }{S}_N(f)(x)-\frac{\pi }{2}={\int }_0^{\pi }\frac{\sin (y)}{y}dy-\frac{\pi }{2}>0.$$这是分段 $C^1$ 函数在第一类间断点处 Fourier 系数收敛的典型行为, Fourier 级数在间断点处起伏的最大值接比间断本身 ($f_{+}(0)-f_{-}(0)=\pi$) 要大 $8.9\%$.
A5)	假设 $f\in C(\mathbf{T})$, 证明, 级数$$\sum _{k\in \mathbb{Z}}\frac{\hat{f}(k)}{k}$$是绝对收敛的.
A6)	我们定义级数$$S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\sin }^3(nx)}{n!}.$$证明, $S(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上以 $2\pi$ 为周期的光滑函数. 利用$$A(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin (nx)}{n!},B(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos (nx)}{n!},$$证明, $$S(x)=\frac{3}{4}\sin \left(\sin (x)\right)e^{\cos (x)}-\frac{1}{4}\sin \left(\sin (3x)\right)e^{\cos (3x)}.$$

一个含参数积分的研究

B1)	证明, 对任意的 $t\in \mathbb{R}$, 如下积分是良好定义的: $$F(t)={\int }_0^{\infty }\frac{1+t{x}^5+t^2{x}^{11}}{1+t^4+x^{13}}dx.$$
B2)	证明, $F(t)$ 是 $t\in \mathbb{R}$ 的连续函数.
B3)	证明, $F(t)$ 是可导的.
B4)	试计算 $\underset{t\to +\infty }{\lim }F(t)$.
B5)	证明, 对 $t\ne 0$, 如下的积分是发散的: $${\int }_0^{\infty }\frac{1+t{x}^5+t^2{x}^{11}}{1+t^4+x^{12}}dx$$
B6)	证明, 对任意的 $t\in \mathbb{R}$, 如下在 Riemann 意义下的反常积分是良好定义的: $$G(t)={\int }_0^{\infty }\frac{1+t{x}^5+t^2{x}^{11}}{1+t^4+x^{12}}{e}^{ix}dx,$$即 $\underset{T\to \infty }{\lim }{\int }_0^T\frac{1+t{x}^5+t^2{x}^{11}}{1+t^4+x^{12}}{e}^{ix}dx$ 存在.
B7)	证明, $G(t)$ 是 $t\in \mathbb{R}$ 的连续函数.
B8)	试计算 $\underset{t\to +\infty }{\lim }G(t)$.

Laplace 变换的基本性质

C1)	假设 $f(t)$ 是 ${\mathbb{R}}_{>0}$ 上定义的 Lebesgue 可积函数. 我们定义它的 Laplace 变换为: $$(\mathcal{L}f)(x)={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-xt}dt,$$其中 $x>0$. 证明, $(\mathcal{L}f)(x)$ 是 $C^{\infty }$ 的函数.
C2)	证明, 对任意的 $n\in {\mathbb{Z}}_{⩾0}$, 我们都有$${\left(\frac{d}{dx}\right)}^n(\mathcal{L}f)(x)={\int }_0^{\infty }(-t{)}^{n}f(t)e^{-xt}dt.$$
C3)	假设 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是 ${\mathbb{R}}_{>0}$ 上定义的 Lebesgue 可积函数, 我们定义它们的 “卷积” 为$$(f\bullet g)(t)={\int }_0^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau .$$证明, $f\bullet g=g\bullet f$.
C4)	假设 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是 ${\mathbb{R}}_{>0}$ 上定义的 Lebesgue 可积函数. 证明, $$\mathcal{L}(f\bullet g)(x)=(\mathcal{L}f)(x)(\mathcal{L}g)(x).$$

Fourier 级数几乎处处发散的 $L^1$-函数

注记. 1922 年, Kolmogorov (19 岁, 还在莫斯科大学读本科) 在论文 Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout 中构造一个 $L^1$ 函数, 这个函数的 Fourier 级数的部分和几乎处处是发散的. 这个问题的目的就是重现这个著名反例的构造.

先固定一个自然数 $n⩾10000$ (在接下来的过程中它会变化) . 我们任意选取 $n$ 个正的奇数 ${\lambda }_1<{\lambda }_2<\cdots <{\lambda }_n$ (我们将在接下来的过程中确定它们的大小) . 定义如下的数组, 函数和区间:

•	$\{m_k{\}}_{1⩽k⩽n}$. 我们令 $m_1=n$, 并且归纳地定义 $2m_k+1={\lambda }_k(2n+1)$.
•	$\{A_k{\}}_{1⩽k⩽n}$, 其中 $A_k=\frac{4k\pi }{2n+1}$.
•	${\varphi }_n(x)=\sum _{k=1}^n\frac{m_k^2}{n}{1}_{{\Delta }_k}(x)$, 其中区间 ${\Delta }_k=[A_k-m_k^{-2},A_k+m_k^{-2}]$.
•	对于 $k=2,3,\cdots ,n$, 我们定义区间 ${\sigma }_k=[A_{k-1}+2n^{-2},A_k-2n^{-2}]$.

根据 Dirichlet 核函数的基本性质, 我们知道 Fourier 级数的部分和可以由下面的公式计算: $$S_{m_k}{\varphi }_n(x)=\sum _{|j|⩽m_k}\widehat{{\phi }_n}(j)e^{\sqrt{-1}jx}={\int }_0^{2\pi }{\varphi }_n(t)\frac{\sin ((m_k+\frac{1}{2})(x-t))}{\sin (\frac{1}{2}(x-t))}\frac{dt}{2\pi }.$$仿照这个形式, 我们定义$$I_{m_k,{\Delta }_s}(x)={\int }_{{\Delta }_s}\frac{m_s^2}{n}\frac{\sin ((m_k+\frac{1}{2})(x-t))}{\sin (\frac{1}{2}(x-t))}\frac{dt}{2\pi }$$

K1)	证明,$${\int }_0^{2\pi }{\varphi }_n(x)=2\text{并且}{S}_{m_k}{\varphi }_n(x)=\sum _{s=1}^n{I}_{m_k,{\Delta }_s}(x).$$
K2**)	证明, $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{N\in {\mathbb{Z}}_{⩾0}}{x\in [0,2\pi ]}}{\sup }\left|\right(S_N{\varphi }_n)(x)|<\infty$. (提示: 可以参考关于有界变差函数的 Fourier 级数的 Jordan 定理的证明过程)
K3*)	证明, 我们可以归纳地选取 (足够大的) 正奇数 ${\lambda }_1<{\lambda }_2<\cdots <{\lambda }_n$, 使得区间 $\{{\sigma }_{\ell },{\Delta }_j{\}}_{\ell ⩽n-1,j⩽n}$ 两两不相交并且对任意的 $k⩾2$ 和任意的 $x\in {\sigma }_k$, 我们都有$$|\sum _{s=1}^{k-1}{I}_{m_k,{\Delta }_s}(x)|⩽1.$$(提示: 如果 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_{k-1}$ 已经选择好了, 那么我们通过 ${\lambda }_k$ 的选择就可以使得 $m_k$ 足够大)
K4)	证明, Dirichlet 核函数 $D_{m_k}(x)=\{\begin{array}{l}\frac{\sin ((m_k+\frac{1}{2})x)}{\sin \left(\frac{x}{2}\right)},x\ne 0;\\ 2m_k+1,x=0\end{array}$ 满足$$|D_{m_k}^{\prime }(x)|⩽2m_k^2.$$
K5)	证明, 当 $s⩾k$ 的时候, 对任意的 $x\in {\sigma }_k$, 我们可以将 $I_{m_k,{\Delta }_s}(x)$ 写成$$\begin{array}{rl}{I}_{m_k,{\Delta }_s}(x)& =\frac{1}{n\pi }\frac{\sin ((m_k+\frac{1}{2})(x-A_s))}{\sin (\frac{1}{2}(x-A_s))}\\ & +\stackrel{{\mathbf{I}}_{k,s}}{\overbrace{{\int }_{{\Delta }_s}\frac{m_s^2}{n}\left(\frac{\sin ((m_k+\frac{1}{2})(x-t))}{\sin (\frac{1}{2}(x-t))}-\frac{\sin ((m_k+\frac{1}{2})(x-A_s))}{\sin (\frac{1}{2}(x-A_s))}\right)\frac{dt}{2\pi }}},\end{array}$$并且我们有如下的控制: $|{\mathbf{I}}_{k,s}|⩽\frac{4}{n}$.
K6)	证明, 对任意的 $x\in {\sigma }_k$, 我们都有$$|\sum _{s=k}^n{I}_{m_k,{\Delta }_s}(x)|⩾\frac{\left|\sin \right((m_k+\frac{1}{2})(x-A_k)\left)\right|}{n\pi }\left|\sum _{s=k}^n\frac{1}{\sin (\frac{1}{2}(x-A_s))}\right|-4.$$
K7)	证明, 对任意的 $x\in {\sigma }_k$, 我们有$$\frac{1}{n}\sum _{s=k}^n\frac{1}{\sin (\frac{1}{2}(x-A_s))}⩾\frac{1}{\pi }\sum _{\ell =1}^{n-k}\frac{1}{\ell }.$$
K8)	证明, 如果 $2⩽k⩽n-\sqrt{n}$, 对任意的 $x\in {\sigma }_k$, 我们有$$|\sum _{s=k}^n{I}_{m_k,{\Delta }_s}(x)|⩾\frac{\left|\sin \right((m_k+\frac{1}{2})(x-A_k)\left)\right|}{2{\pi }^2}\log (n)-8.$$
K9)	证明, 如果 $m_2$ 选取的足够大, 那么如下集合的 Lebesgue 测度满足$$m\left(\right\{x\in [A_{k-1},A_k]\left|\right|\sin ((m_k+\frac{1}{2})(x-A_k))|<\frac{2{\pi }^2}{\sqrt{\log (n)}}\})=O(\frac{1}{n\sqrt{\log (n)}}).$$
K10)	我们定义$$E_n=\bigcup _{2⩽k⩽n-\sqrt{n}}{E}_{n,k},\text{其中}{E}_{n,k}=\{x\in {\sigma }_k|\left|\sin \right((m_k+\frac{1}{2})(x-A_k)\left)\right|⩾\frac{2{\pi }^2}{\sqrt{\log (n)}}\}$$证明, $\underset{n\to \infty }{\lim }m\left(E_n\right)=2\pi$.
K11)	证明, 对任意的 $2⩽k⩽n-\sqrt{n}$ 和 $x\in E_{n,k}$, 我们都有$$|S_{m_k}{\varphi }_n(x)|⩾\sqrt{\log (n)}-9.$$
K12)	证明, 存在以 $2\pi$ 为周期的函数列 $\{{\varphi }_n(x){\}}_{n⩾10000}$, 使得 a) 对任意的 $n$, 我们有 ${\varphi }_n(x)⩾0$, ${\int }_0^{2\pi }{\varphi }_n=2$ 并且 $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{N\in {\mathbb{Z}}_{⩾0},}{x\in [0,2\pi ]}}{\sup }\left|\right(S_N{\varphi }_n)(x)|<\infty$; b) 存在子区间序列 $\{E_n{\}}_{n⩾10000}$, 正整数序列 $\{q_n{\}}_{n⩾10000}$ 以及单调上升的正数序列 $\{M_n{\}}_{n⩾10000}$, 使得 $\underset{n\to \infty }{\lim }{M}_n=\infty$, $\underset{n\to \infty }{\lim }m(E_n)=2\pi$ 并且对任意的 $x\in E_n$, 存在正整数 $N_x⩽q_n$, 使得 $|S_{N_x}{\varphi }_n(x)|⩾M_n$. (提示: 选取 $q_n=m_n$ 即可)
K13)	证明, 存在以 $2\pi$ 为周期的函数列 $\{{\phi }_n(x){\}}_{n⩾1}$, 子区间序列 $\{E_n{\}}_{n⩾1}$, 正整数序列 $\{q_n{\}}_{n⩾1}$ 以及单调上升的正数序列 $\{M_n{\}}_{n⩾1}$, 使得 a) $M_1⩾2$ 并且对任意的 $n$, 我们有 $M_n⩾2M_{n-1}$; b) 对任意的 $n$, 我们有 ${\phi }_n(x)⩾0$, ${\int }_0^{2\pi }{\phi }_n=2$ 并且 $\sum _{1⩽k⩽n-1}\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{N\in {\mathbb{Z}}_{⩾0}}{x\in [0,2\pi ]}}{\sup }\left|\right(S_N{\phi }_k)(x)|<\frac{\sqrt{M_n}}{2}$; c) $\underset{1⩽k⩽n-1}{\sup }{q}_k⩽\frac{\sqrt{M_n}}{2^n}$; d) $\underset{n\to \infty }{\lim }m(E_n)=2\pi$ 并且对任意的 $x\in E_n$, 存在正整数 $N_x⩽q_n$, 使得 $|S_{N_x}{\phi }_n(x)|⩾M_n$. (提示: 选取上面的题目中的函数的子序列)
K14)	利用上一个小题的结论, 我们构造$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\phi }_n(x)}{\sqrt{M_n}}.$$证明, $f$ 在 $L^1([0,2\pi ])$ 中是良好定义的并且这个级数对几乎处处的 $x\in [0,2\pi ]$ 都收敛.
K15)	证明, $f(x)$ 的 Fourier 变换的部分和可以写成$$(S_{N}f)(x)=\left(S_N\frac{{\phi }_n(x)}{\sqrt{M_n}}\right)(x)+\sum _{s⩽n-1}\left(S_N\frac{{\phi }_s(x)}{\sqrt{M_s}}\right)(x)+\sum _{s⩾n+1}\left(S_N\frac{{\phi }_s(x)}{\sqrt{M_s}}\right)(x).$$
K16)	证明, 对任意的 $x\in E_n$, 都存在一个 $N_x⩽\frac{\sqrt{M_n}}{2^n}$, 使得 $\left|\right(S_{N_x}\frac{{\phi }_n(x)}{\sqrt{M_n}})(x)|⩾\sqrt{M_n}$.
K17)	证明, 对任意的 $N$, 我们都有 $\left|\sum _{s⩽n-1}\right(S_N\frac{{\phi }_s(x)}{\sqrt{M_s}})(x)|⩽\frac{1}{2}\sqrt{M_n}$.
K18)	证明, $\left|\sum _{s⩾n+1}\right(S_N\frac{{\phi }_s(x)}{\sqrt{M_s}})(x)|⩽\frac{100}{2^n}$. (提示: 把 Dirichlet 核函数用它的最大值来控制)
K19)	证明, 对几乎处处的 $x\in [0,2\pi ]$, $\underset{N\to \infty }{\lim }(S_{N}f)(x)$ 都发散.
K20)	证明, $f\notin L^2([0,2\pi ])$. 注记. Lennart Carleson 在 1965 年证明了一个著名的定理, 这个定理完整地解决了 Lusin 猜想: 如果 $f\in L^2([0,2\pi ])$, 那么 $\underset{N\to \infty }{\lim }(S_{N}f)(x)$ 几乎处处收敛到 $f(x)$. 这一项工作是 Carleson 获得了 Wolf 奖和 Abel 奖的最主要贡献之一. Lusin 是 Kolmogorov 在莫斯科读大学时数学分析的老师.

寄语. The purpose of computing is insight, not numbers.

—— Richard Hamming