作业: 素数的倒数和, Basel 问题的 Euler “证明”

基本习题

习题 A: 连续函数的定义和基本性质

A1)	(函数极限的 Cauchy 判别准则) 给定函数 $f:(a,x_0)\cup (x_0,b)\to \mathbb{R}$. 那么, $f$ 在 $x_0$ 处有极限当且仅当对任意的 $\epsilon >0$, 存在 $\delta >0$, 使得对任意的 $x_1,x_2\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )$, 都有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$.
A2)	假设 $I$ 是一个非空的区间并且 $I$ 不是一个点, 证明, $I$ 上的连续函数 $C(I)$ 所构成的 $\mathbb{R}$-线性空间是无限维的.
A3)	(重要) 假设 $(X,d_X)$ 和 $(Y,d_Y)$ 是距离空间, $f:X\to Y$ 是映射. 假设 $x_0\in X$, 如果对任意 $X$ 中的点列 $\{x_n{\}}_{n⩾1}$, $x_n\stackrel{d_X}{⟶}{x}_0$, 我们都有 $f(x_n)\stackrel{d_Y}{⟶}f(x_0)$, 我们就称 $f$ 在 $x_0$ 处是连续的. 如果 $f$ 在一切 $x\in X$ 处均连续, 那么我们就称 $f$ 是距离空间之间的连续映射. 假设 $(X,d_X)$, $(Y,d_Y)$ 和 $(Z,d_Z)$ 是三个距离空间, $f:X\to Y$, $g:Y\to Z$ 均为连续映射. 证明, 它们的复合 $g\circ f:X\to Z$ 也是连续映射.
A4)	假设 $(X,d_X)$ 和 $(Y,d_Y)$ 是距离空间, $f:X\to Y$ 是连续映射. 如果 $d_X^{\prime }$ 是与 $d_X$ 等价的距离, $d_Y^{\prime }$ 是与 $d_Y$ 等价的距离, 那么, 对于 $(X,d_X^{\prime })$ 和 $(Y,d_Y^{\prime })$ 而言, $f$ 也是连续映射.
A5)	在 ${\mathbb{R}}^n$ 上我们配有常见的距离, 比如说 $d_2$ (请参考之前的讲义) ; $(X,d_X)$ 是距离空间. 我们将映射 $f:X\to {\mathbb{R}}^n$ 写成分量的形式: $$f:X\to {\mathbb{R}}^n,x\mapsto f(x)=(f_1(x),f_2(x),\cdots ,f_n(x)),$$其中 $f_i:X\to \mathbb{R}$ 是函数. 证明, $f$ 是连续映射当且仅当对所有的 $i=1,\cdots ,n$, $f_i$ 是连续函数.
A6)	(重要) 假设 $(X,d_X)$ 是距离空间, $(V,\Vert \cdot \Vert )$ 是赋范线性空间, $f:X\to V$ 和 $g:X\to V$ 是连续映射. 证明, 它们的和与差 (自然的定义) $f\pm g:X\to V$ 也是连续映射. 如果 $V=\mathbb{C}$ (或者 $n\times n$ 的矩阵构成的赋范线性空间) , 那么 $f\cdot g:X\to \mathbb{C}$ 是连续映射. 如果 $V=\mathbb{C}$ 并且对任意的 $x\in X$, $g(x)\ne 0$, 那么 $\frac{f}{g}:X\to \mathbb{C}$ 是连续映射. 你可以选择上面的一个情况来证明.
A7)	试找出 $\mathbb{R}$ 上定义的函数$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{q},& \text{如果 x=qp 是有理数，其中 p∈Z，q∈Z⩾1 且 p 和 q 互素};\\ 0,& \text{如果 x 是无理数}.\end{array}$$的所有不连续点.
A8)	计算 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}$.
A9)	计算 $\underset{x\to +\infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x$.
A10)	计算 $\underset{x\to -\infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x$.

习题 B: 级数的基本计算技巧和收敛判断

B1)	试计算下列级数 (计算技术的训练) $$\begin{array}{rlrlrl}& (1)\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}& & (2)\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{4n^2-1}& & (3)\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)(n+2)}\\ & (4)\sum _{n=1}^{\infty }\arctan \frac{1}{n^2+n+1}& & (5)\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n+2}{3^n}& & (6)\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{3^n}\\ & (7)\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{2^{n-1}}& & (8)\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2n-1}{2^n}& & (9)\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2n+1}{n^2(n+1{)}^2}\\ & (10)\sum _{n=1}^{\infty }(\sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n})& & (11)\sum _{n=1}^{\infty }\log \left(\frac{n(2n+1)}{(n+1)(2n-1)}\right)& & (12)\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+m)}(m\in \mathbb{N}).\end{array}$$
B2)	试判断下列级数的收敛性. $$\begin{array}{rlrlrl}& (1)\sum _{n=1}^{\infty }(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})& & (2)\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}& & (3)\sum _{n=2}^{\infty }(\sqrt[n]{n}-1{)}^n\\ & (4)\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{1+x^n}(x\ne -1)& & (5)\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n{2}^n}& & (6)\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{n^2}{3n^2+1}\right)}^n\\ & (7)\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}& & (8)\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{(\log n{)}^{\log n}}& & (9)\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^{n+\frac{1}{n}}}{(n+\frac{1}{n}{)}^n}\\ & (10)\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{\sqrt{n}}{n+1}& & (11)\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{\sqrt[n]{n}}& & (12)\sum _{n=1}^{\infty }\left(1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}\right)\frac{\sin nx}{n}.\end{array}$$
B3)	试判断下列级数的收敛性并确定它们是否绝对收敛. $$\begin{array}{rlrl}& (1)\sum _{n=2}^{\infty }(-1{)}^n\frac{1}{n\log n}& & (2)\sum _{n=2}^{\infty }\frac{\sin \frac{n\pi }{4}}{\log n}\\ & (3)\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{n-1}{n+1}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}& & (4)\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}\frac{n^{10}}{a^n}(a>1)\end{array}$$

习题 C: 递减正项级数的凝聚检验法

假设正整数 $b⩾2$, $f:(1,\infty )\to {\mathbb{R}}_{>0}$ 是递减 (未必严格递减) 函数.

C1)	证明下面的不等式: $$(b-1)b^{k-1}f(b^k)⩽\sum _{j=b^{k-1}}^{b^k-1}f(j)⩽(b-1)b^{k-1}f(b^{k-1}).$$
C2)	证明: 级数$$\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\text{和}\sum _{n=1}^{\infty }{b}^{n}f(b^n)$$同时收敛或者同时发散 (我们称通过后者的收敛来判断前者收敛的方法为凝聚检验法).
C3)	证明, $\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n\log n}$ 是发散的.
C4)	证明, $\sum _{n=100}^{\infty }\frac{1}{(n\log n)(\log (\log n))}$ 是发散的.
C5)	证明, 如果 $s>1$, 那么 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}$ 是收敛的; 如果 $0<s<1$, 那么 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}$ 是发散的.
C6)	假设 $s>1$. 证明, $\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n(\log n{)}^s}$ 和 $\sum _{n=10}^{\infty }\frac{1}{(n\log n)(\log (\log n){)}^s}$ 都是收敛的.

注记. 上述的几个收敛的结论 (C3)-C6)) 是标准并且重要的, 记住这几个结论对于收敛以及函数大小的理解很有帮助. 这里的证明尽管巧妙, 但是等我们接触到积分的时候, 我们就可以用统一的、简单的、更本质的也更容易记忆的方法来证明这些结论.

习题 D: 实数列的上下极限的刻画

设 $\{a_n{\}}_{n⩾1}$ 是一个实数列. 先补充几个定义:

•	$\alpha \in \mathbb{R}$, 如果对任意 $\epsilon >0$, 存在无穷多 $n$, 使得 $a_n\in (\alpha -\epsilon ,\alpha +\epsilon )$, 我们称 $\alpha$ 为 $\{a_n{\}}_{n⩾1}$ 的一个极限点;
•	如果对任意 $M>0$, 存在无穷多个 $n$, 使得 $a_n\in (M,+\infty )$, 我们就称 $+\infty$ 为 $\{a_n{\}}_{n⩾1}$ 的一个极限点;
•	如果对任意 $M>0$, 存在无穷多个 $n$, 使得 $a_n\in (-\infty ,-M)$, 我们就称 $-\infty$ 为 $\{a_n{\}}_{n⩾1}$ 的一个极限点.

D1)	证明, $\alpha \in \mathbb{R}$ 是 $\{a_n{\}}_{n⩾1}$ 的极限点当且仅当该数列有子序列 $\{a_{n_k}{\}}_{k⩾1}$ 收敛于 $\alpha$.
D2)	证明, $+\infty$ 是 $\{a_n{\}}_{n⩾1}$ 的极限点当且仅当该数列有子序列 $\{a_{n_k}{\}}_{k⩾1}$ 使得 $\underset{k\to \infty }{\lim }{a}_{n_k}=+\infty$.
D3)	令 $E=\{\alpha \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}\mid \alpha \text{ 是 }\{a_n{\}}_{n⩾1}\text{ 的极限点}\}$ 为 $\{a_n{\}}_{n⩾1}$ 的所有极限点所组成的集合 (它是 $\mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ 的子集) . 证明, $E\ne \varnothing$.
D4)	证明: $E\subset \mathbb{R}$ 当且仅当数列 $\{a_n{\}}_{n⩾1}$ 有界.
D5)	假设 $\{a_n{\}}_{n⩾1}$ 有界. 试证明, $\sup E=\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{a}_n$, $\inf E=\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{a}_n$.
D6)	假设 $\{a_n{\}}_{n⩾1}$ 有界. 令 $a^{\ast }=\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{a}_n$, 证明如下两个命题: i) $a^{\ast }\in E$ (所以 $\sup E\in E$) ; ii) 对任意 $x>a^{\ast }$, 存在 $N\in {\mathbb{Z}}_{⩾1}$, 使得对任意 $n>N$, 都有 $a_n<x$.
D7)	试举一个数列 $\{a_n{\}}_{n⩾1}$ 作为例子, 使得 $E\cap \mathbb{R}\ne \varnothing$ 且 $E⊈\mathbb{R}$.
D8)	试举一个数列 $\{a_n{\}}_{n⩾1}$ 作为例子, 使得 $E$ 为无穷集.

思考题 (不交作业)

问题 E: 素数的倒数和

根据第七次课的内容, 对于 $s>1$, 我们可以定义 $\zeta$-函数$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s},$$并且证明了 Euler 乘积公式: $$\zeta (s)=\prod _{p\in \mathcal{P}}\frac{1}{1-p^{-s}},$$其中 $\mathcal{P}$ 是全体素数的集合. 据此证明, 级数$$\sum _{p\in \mathcal{P}}\frac{1}{p^s}$$对于 $s>1$ 是收敛的; 对于 $0<s⩽1$ 是发散的 (这给出了有无穷多个素数的另一个证明) .

问题 F: Basel 问题的 Euler“证明”

对任意的 $\theta \in \mathbb{R}$ 和 $n\in {\mathbb{Z}}_{⩾1}$, 试证明恒等式$$\frac{\sin ((2n+1)\theta )}{(2n+1)\sin \theta }=\prod _{k=1}^n\left(1-\frac{{\sin }^2(\theta )}{{\sin }^2\left(\frac{k\pi }{2n+1}\right)}\right).$$据此证明, 对任意的 $x\in \mathbb{R}$, 我们都有$$\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right).$$(如果 $x=0$, 我们将左边定义为极限 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}$)

注记. 根据上面的公式, 形式上, 我们就有$$\sin (\pi x)=\pi x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)=\pi x\left(1-\left(\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}\right)x^2+(\cdots )x^4+(\cdots )x^6+\cdots \right).$$所以, 右边 $x^3$ 的系数就是 $-\pi \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$. 根据我们对于 $\sin$ 的定义$$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k{z}^{2k+1}}{(2k+1)!},$$有 $\sin (\pi x)$ 展开式中的 $x^3$ 项的系数是 $-\frac{{\pi }^3}{6}$. 比较系数, 我们得到所谓的 Basel 问题的解: $$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}.$$这是 Euler 原始的想法, 他就是利用了上面的乘积公式来猜测最终的极限是 $\frac{{\pi }^2}{6}$. 有趣的是, 他观察到 $\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}$ 的零点恰好是 $x=\pm n$, 所以如果 $\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}$ 的行为与多项式类似的话, 那么这个函数应该是单项式的乘积, 所以 Euler 认为$$\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}=c\prod _{n\in \mathbb{Z}-\{0\}}\left(1-\frac{x}{n}\right)=c\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right),$$其中 $c$ 是一个待定的常数, 通过取 $x\to 0$ 的极限, 他计算出 $c=1$.