作业: 振荡积分

基本习题

习题 A (Stieltjes 积分)

如果不加说明, 表示的是有界闭区间 上的一个递增的函数. 下面题目中 A1), A3), A4), A5), A6) 是对概念的直接验证, 可以不提交作业.

A1)

对于任意两个分划 , 我们有

A2)

对任意的 , , . 证明, 对任意的 , 都有 并且特别地, 假设 连续可微 ( 默认是递增的) , 我们有

A3)

证明, -线性空间并且积分算子是线性映射.

A4)

假设 . 如果对任意的 , 我们都有 , 那么,

A5)

(区间可加性) 如果 , 那么对任意的 , 上的限制都是 Stieltjes 可积的并且

A6)

如果 , 那么 .

A7)

我们在区间 定义 Stieltjes 积分: 假设 是有界连续函数, 定义假设 是正实数所组成的序列并且 收敛, 定义递增函数 . 那么, 我们有

A8)

(第一积分中值定理) 是实值 Riemann 可积函数. 我们假设对任意的 , . 令那么, 存在 , 使得特别地, 如果进一步要求 是连续函数, 那么存在 , 使得

A9)

你是否可以构造一个 Stieltjes 积分来说明 Abel 求和法也是 Stieltjes 积分意义下的分部积分公式的特例?

习题 B (反常积分收敛的判断)

以下记号中, 可以是 .

B1)

(Cauchy 判别法) 假设 , 对任意 , 上可积. 证明, 反常积分 存在的充要条件是: 对任意 , 存在 , 使得对任意 , .

B2)

(比较判别法, 已经证明, 可不交作业) 如果 上反常可积, 就称积分 绝对收敛. 证明, 如果 并且 收敛, 那么积分 收敛.

B3)

证明 Dirichlet 判别法: 假设 满足

是连续函数并且存在 , 使得对任意的 , 我们都有

是单调函数并且 .

那么反常积分 收敛.

(你可以查阅文献来证明这个判别法, 一个好的开始是先假设 都是连续可微的, 一般的情形可以考虑 Stieltjes 积分. 请对比级数收敛的 Dirichlet 判别法以及相应的证明, 你可以看到 Abel 求和法和分部积分之间的相似性)

B4)

证明 Abel 判别法: 假设 满足

反常积分 存在.

是单调函数并且 有界.

那么反常积分 收敛. (请对比级数收敛的 Abel 判别法以及相应的证明)

B5)

判断下列积分的收敛性 (绝对收敛、条件收敛、发散)

题目 C (振荡积分) (8 字班的考试题之一, 不交作业, 鼓励讨论)

我们采取下面的约定: 上定义的两个函数, . 我们假设对任意的 , . 如果我们就说 均阶的 (即收敛到 的速度是一样的) 并记作 .

第一部分: 相函数是实值的情形

C1)

是给定的实数. 假设 . 证明, 存在常数 (可能依赖于 ) , 使得

C2)

是给定的实数. 假设 并且 . 证明, (提示: 利用积分换元 )

C3)

是给定的实数. 假设 并且 . 证明, (提示: 我们课堂上已经证明了 )

对于 , , 我们定义函数我们的目标是研究当 时, 的行为.

C4)

假设 , 并且对任意 , . 为了简单起见, 我们进一步假设 . 令 . 证明, 映射 上连续可微的并且是双射.

C5)

假设 , 并且对任意 , . 证明, 如果 , 当 时, (提示: 利用 C4) 中的函数做积分换元)

C6)

假设 , , 并且对任意 , . 令 . 证明, 映射 上连续可微的并且是双射.

特别地, 试计算 .

(提示: 考虑 的二阶的 Taylor 展开. )

C7)

假设 , , 并且对任意 , . 证明, 如果 , 当 时, (提示: 利用 C6) 中的函数做积分换元)

C8)

给定两个函数 , . 我们假设

存在唯一的 , 使得 ;

, ;

反常积分 收敛.

证明, 当 时, 函数 满足

C9)

对于 , 定义函数对于正整数 , 试计算 .

C10)

证明 Stirling 公式: (提示: 我们有 . )

第二部分: 振荡积分

对于 , , 我们定义函数我们的目标是研究当 时, 的行为.

C11)

假设对任意 , . 我们定义映射假设 . 证明, 如果 附近恒为 (即存在 , 使得当 时, ) , 那么

C12)

假设对任意 , 并且 附近恒为 . 证明, 对任意的 , 都存在不依赖 的常数 , 使得(提示: 注意到 . )

C13)

假设存在 , 使得对任意 , 并且 上的单调函数. 证明, 存在不依赖, , 的常数 , 使得

C14)

假设对任意 , . 证明, 存在唯一的 , 使得进一步证明, 对任意的 , 我们的都有

*C15)

假设对任意 , . 证明, 存在不依赖, , 的常数 , 使得

**C16)

假设对任意 , . 证明, 存在不依赖, , , 的常数 , 使得