作业: 反函数和隐函数定理

注记. 本次作业除了问题 之外, 都与反函数定理相关.

A. 微分同胚与反函数定理的基本习题

A1)

考虑映射函数 , 其中证明, 上可微分并且 但是在 附近任意小的邻域上 都不是单射. 请对比反函数定理说明反函数定理中哪一个条件没有被满足.

A2)

考虑映射证明, 在每个 处都满足反函数定理的要求但是 不是单射也不是满射.

A3)

我们考虑映射

证明, 存在 的开邻域 , 使得 是微分同胚.

假设 的像, 试问 是否为微分同胚?

A4)

假设 是连续可微的. 如果存在 , 使得对任意的 , 我们都有那么, 的微分同胚. (注意: 反函数定理只给出局部的同胚)

A5)

假设 的并且存在 , 使得 . 定义

证明, 的映射并且对任意的 , 可逆.

证明, 对任意的 , 映射是压缩映像. (提示: 请仔细研究反函数定理的证明)

证明, 是微分同胚.

B. 从局部微分同胚到整体微分同胚

B1)

是实值函数, 我们假设对任意的 , 都有 . 我们定义 :

证明, 的像 是开集.

证明, 是微分同胚.

B2)

是开集, , 的函数, . 我们定义函数

证明, 存在 点处的一个开邻域 以及 上的 函数 , 使得

假设 , . 证明下面极限的存在性并计算它 (这个极限的几何意义是什么? ) :

B3)

考虑映射

1)

证明, 这是一个光滑的单射.

2)

计算并证明在任何一个 处, 映射的 Jacobi 矩阵 都是可逆的.

3)

证明, 对任意的 , 总能开集 , 使得 , , 是光滑的微分同胚.

4)

证明, 的像是闭集. (提示: 假设 是一个收敛的点列, 证明可以找到 的子列也收敛) .

5)

证明, 是光滑的微分同胚.

6)

证明, 是 Lipschitz 的映射, 即存在 , 使得对任意的 , 我们有(提示: 先证明 是有界的)

C. 实数上 群结构的分类

对于实数集 , 我们考虑上面的一个 的群结构 . 按照定义, 所谓的群结构指的是存在 的映射满足

a)

对任意的 , 都有 ;

b)

对任意的 , 都有 ;

c)

对任意的 , 存在唯一的 , 使得 .

我们习惯上把 称作是单位元并且把 中的 记作是 (请不要和倒数搞混) . 我们在 上用 作为坐标并用 来简记 的偏导数. 另外, 在 上我们所熟知的加法和乘法我们用符号 来表示.

C1)

证明, 对任意的 , 我们有

C2)

证明, 对任意的 , .

C3)

假设 这两个群之间的 -群同态, 即 的并且对于任意的 , 我们都有证明, 存在常数 , 使得

C4)

证明, 对任意的 , 映射-群同构, 即 是群同态并且是 -的微分同胚 (它的逆仍然是群同态) .

C5)

证明, 上任何一个 的群结构 都是交换的, 即对任意的 , .

C6)

证明, 映射 上的 的群结构 , 它并不交换.

D. 一个矩阵问题的研究

假设 的实系数矩阵的全体. 对于 , 我们定义其中 . 假设 的特征值.

D1)

试证明, . 进一步证明这是一个范数并且和之前定义的 , 都等价.

D2)

中可逆矩阵的全体. 证明, (这是一个 ) 中的开集并且映射 的映射. 进步一证明, 对于 , (你可以将 想象成是 的矩阵, 为什么)

D3)

我们定义立方运算 . 证明 是连续可微的并计算它的微分 . 将 视为是 的矩阵, 进一步证明

D4)

. 证明, 中的开集并且是微分同胚. (提示: 为了证明 是单射, 可以考虑 并证明 )

D5)

我们定义平方运算 . 证明 是连续可微的并计算它的微分 . 据此证明, 存在 , 当 时, 存在 , 使得 .

D6)

假设 , , 是否存在 的邻域 , 的邻域 以及连续可微的映射 , 使得 并且对任意的 , 都有 ? (提示: 考虑 并计算 )

E. 利用反函数定理来证明一个和隐函数定理相关的命题

, , 其中 . 我们考虑如下的连续可微的映射我们假设存在非负常数 , 使得对任意的 , 我们都有 , 其中, 我们认为 是固定的, 代表对后面 的变量求微分.

E1)

利用 Banach 不动点定理证明, 对任意的 , 存在唯一的 , 使得 . 这定义出映射:

E2)

选定 , 令 , 证明, 存在 中的邻域 的映射 , 使得对任意的 , 我们都有 . (提示: 考虑映射 . )

E3)

证明, 第一步定义的 的并计算它的微分.

E4)

证明, 对任意的 , 存在唯一的 映射 , 使得进一步证明 当且仅当 并计算 .

寄语. Technical skill is mastery of complexity while creativity is mastery of simplicity.

E.C. Zeeman, Catastrophe Theory, 1977