作业: 分布的例子, 位势方程

习题 A. (课堂细节的补充) 我们总假设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是非空的开集.

A0)	假设 $K\subset \Omega$ 是紧集, 那么, 存在 $\phi \in C_0^{\infty }(\Omega )$ 和开集 $V$, 使得$$K\subset V\subset U;\phi {|}_V\equiv 1.$$这是课上用到的一个技术性引理. 如果你觉得不安心的话, 请证明它.
A1)	证明如下两个常用的收敛定理: ∘ 假设 $\{f_p{\}}_{p⩾1}$ 是 $\Omega$ 上的一列局部可积的函数, $f\in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega )$. 如果对任意的紧集 $K\subset \Omega$, 我们有$$\underset{p\to \infty }{\lim }{f}_p{|}_K\stackrel{L^1(K)}{=}f{|}_K,$$那么, 作为分布, 我们有$$\underset{p\to \infty }{\lim }{f}_p\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}f.$$ ∘ 假设 $\{u_p{\}}_{p⩾1}$ 是 $\Omega$ 上分布的序列, $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$. 如果$$\underset{p\to \infty }{\lim }{u}_p\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}u.$$那么, 对任意的多重指标 $\alpha$, 在分布的意义下, 我们有$$\underset{p\to \infty }{\lim }{\partial }^{\alpha }{u}_p\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}{\partial }^{\alpha }u.$$
A2)	证明, ${\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$ 和 ${\mathcal{E}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ 是线性空间. 如果你认为这是显然的, 可以跳过它的证明.
A3)	证明分布的支撑集所满足的性质, 其中 $u$, $u_1$, $u_2$ 都是 $\Omega$ 上的分布. ∘ 两个分布的和的支集: $$\mathrm{supp}(u_1+u_2)\subset \mathrm{supp}(u_1)\cup \mathrm{supp}(u_2).$$ ∘ 对任意的多重指标 $\alpha$, 我们有$$\mathrm{supp}\left({\partial }^{\alpha }u\right)\subset \mathrm{supp}(u).$$ ∘ 对任意的 $f\in C^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$, 我们有$$\mathrm{supp}(f\cdot u)\subset \mathrm{supp}(u)\cap \mathrm{supp}(f).$$
A4)	证明如下几个精神上类似的命题: 分布是传统意义上函数的推广. ∘ 假设 $\Phi :{\Omega }_1\to {\Omega }_2$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上两个开集之间的微分同胚. 证明, 对任意的 $u\in L_{\mathrm{loc}}^1({\Omega }_2)$, 如果我们用 ${\Phi }^{\ast }u$ 表示 $u$ 在分布的意义下被 $\Phi$ 所拉回的像, 那么, 在分布的意义下, 我们有$${\Phi }^{\ast }u\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}u(\Phi (x)),$$其中, 我们把复合函数 $u(\Phi (x))$ (仍然局部可积) 看作是分布. ∘ 假设 $u\in C^1(\Omega )$. 证明, $u$ 作为分布的导数和它通常意义下导数 (作为分布) 是一致的. ∘ 假设 $u\in L_{\mathrm{loc}}^1(\Omega )$, $f\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$. 证明, 在分布意义下的乘积 $f\cdot u$ (先把 $u$ 视作是分布) 等于现在传统意义下得到 $f\cdot u$ 然后再把这个乘积函数看作是分布.
A5)	对于任意的 $f\in C^{\infty }(\Omega )$ 和 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$, 对任意的 $k⩽n$, 证明, $${\partial }_k(f\cdot u)\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}{\partial }_{k}f\cdot u+f\cdot {\partial }_{k}u.$$
A6)	((重要的计算) , 参考第五次课第一个定理的证明) 对任意的 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$, 对任意的 $x_0,a\in {\mathbb{R}}^n$, $\epsilon \in (0,1)$, $|a|=1$, 根据 Taylor 公式, 我们有$$\phi (x_0-y+\epsilon a)-\phi (x_0-y)=\epsilon \sum _{j=1}^n{a}_j{\partial }_j\phi (x_0-y)+{\epsilon }^{2}r(y,\epsilon ,a),$$其中, $$r(y,\epsilon ,a)=2\sum _{|\alpha |=2}\frac{a^{\alpha }}{\alpha !}{\int }_0^1(1-t){\partial }^{\alpha }\phi (x_0-y+t\epsilon a)dt.$$给定分布 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$, 通过对上面的式子作用, 我们得到$$u\ast \phi (x_0+\epsilon a)-u\ast \phi (x_0+\epsilon a)-\epsilon \sum _{j=1}^n{a}_{j}u\ast {\partial }_j\phi (x_0)={\epsilon }^2⟨u,r(\cdot ,\epsilon ,a)⟩.$$证明, 存在不依赖于 $\epsilon$ 的常数 $C$, 使得$$|⟨u,r(\cdot ,\epsilon ,a)⟩|⩽C.$$
A7)	(重要) 我们选取最心爱的截断函数 $\chi$. 证明, 当 $\epsilon \to 0$ 时, 对任意的试验函数 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^b)$, 我们都有$${\chi }_{\epsilon }\ast \phi \stackrel{\mathcal{D}}{⟶}\phi .$$
A8)	假设 $f$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的光滑函数, $c\in {\mathcal{E}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$, 证明, 函数$$x\mapsto ⟨c,f(x-\cdot )⟩$$是光滑函数, 其中, 上面的配对是一个有紧支集的分布与一个光滑函数的配对.
A9)	(重要) 证明, ${\mathbb{R}}_t\times {\mathbb{R}}_x^n$ 上定义的函数$$E(t,x)=\frac{1_{t>0}}{(4\pi t{)}^{\frac{n}{2}}}{e}^{-\frac{|x{|}^2}{4t}},$$在 $(t,x)=(0,0)$ 之外是光滑的并且满足$$({\partial }_t-△)(E(t,x))=0,\text{对任意的}(t,x)\ne (0,0).$$
A10)	利用卷积的连续性, 重新证明 (概念上更清晰简洁) 关于分布的链式求导法则: 假设 $\Phi :{\Omega }_1\to {\Omega }_2$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上两个开集之间的微分同胚. 证明, 对任意的 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\Omega }_2)$, $${\partial }_j({\Phi }^{\ast }u)=\sum _{k=1}^n{\partial }_j{\Phi }_k\cdot {\Phi }^{\ast }\left({\partial }_{k}u\right),$$其中 ${\Phi }_k$ 是 $\Phi$ 的第 $k$ 个分量.
A11)	证明如下几个关于复解析函数的命题: ∘ 计算下列的等式: $$\overline{\partial }(\overline{z})=1;\overline{\partial }\left(\frac{1}{z}\right)=0,z\ne 0.$$ ∘ 假设 $F(z)$ 单位圆盘上的复解析函数, 那么, 对任意的 $0<r<1$, 我们都有$${\int }_{|z|=r}F(z)dz=0.$$ ∘ 证明, 对任意的 $z_0\in \mathbb{C}$ 和 $r>0$, 我们都有$$\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|z-z_0|=r}\frac{1}{z-z_0}dz=1.$$

习题 B (分布的计算) .

B1)	证明, 当 $\epsilon \to 0+$ 时, 如下分布的极限 (在 ${\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 中收敛) 定义了 $\mathbb{R}$ 上的分布: $$\begin{gathered} \underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{\epsilon \to 0}{ \\ \epsilon >0}}{\lim }\frac{1}{x+i\epsilon }. \end{gathered}$$我们把这个分布记作$$\begin{gathered} \frac{1}{x+i0}:=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{\epsilon \to 0}{ \\ \epsilon >0}}{\lim }\frac{1}{x+i\epsilon }. \end{gathered}$$
B2)	试找一个 $u_{\epsilon }\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$, 使得$$u_{\epsilon }^{\prime }\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}\frac{1}{x+i\epsilon }.$$(你需要小心定义 $\log$ 函数)
B3)	证明, 分布 $\frac{1}{x+i0}$ 有如下的表达式: $$\frac{1}{x+i0}\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}\mathrm{vp}\frac{1}{x}-i\pi {\delta }_0.$$
B4)	证明, 当 $\epsilon \to 0+$ 时, 如下分布的极限 (在 ${\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 中收敛) 定义了 $\mathbb{R}$ 上的分布: $$\begin{gathered} \underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{\epsilon \to 0}{ \\ \epsilon >0}}{\lim }\frac{1}{x-i\epsilon }. \end{gathered}$$我们把这个分布记作$$\begin{gathered} \frac{1}{x-i0}:=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{\epsilon \to 0}{ \\ \epsilon >0}}{\lim }\frac{1}{x-i\epsilon }. \end{gathered}$$
B5)	证明, 分布 $\frac{1}{x-i0}$ 有如下的表达式: $$\frac{1}{x-i0}\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}\mathrm{vp}\frac{1}{x}+i\pi {\delta }_0.$$
B6)	证明, 在分布的意义下, 我们有$$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{\epsilon }{\pi (x^2+\epsilon )}\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})}{=}{\delta }_0.$$
B7)	当 $n\to \infty$ 时, 试计算下面分布序列 $\{u_n{\}}_{n⩾1}$ 在 ${\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})$ 中的极限: ∘ $u_n(x)=\sin (nx)$; ∘ $u_n(x)=x^{-1}\sin (nx)$; ∘ $u_n(x)=n\sin (nx)1_{x⩾0}$.

习题 C  (Laplace 算子、位势方程与分布) (这是分布理论乃至微积分中最重要的习题)

假设 $n⩾2$, 我们在 ${\mathbb{R}}^n$ 上考虑问题. 令$$r=\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}$$为标准的半径函数. 我们用 ${\mathbf{S}}^{n-1}$ 表示 ${\mathbb{R}}^n$ 中的单位球面, 即$${\mathbf{S}}^{n-1}=\{x\in {\mathbb{R}}^n|r(x)=1\}.$$我们用 $d\sigma$ 表示 ${\mathbf{S}}^{n-1}$ 上的曲面测度并用 $\vartheta =\frac{x}{|x|}$ 表示单位球面上的一个点. 我们回忆 Laplace 算子的定义: $$△=\sum _{i=1}^n{\partial }_{x_i}^2.$$

C1)	证明, 对任意 $\phi (x)\in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$, 我们有$${\int }_{{\mathbb{R}}^n}\phi (x)dx={\int }_0^{+\infty }{r}^{n-1}\left({\int }_{{\mathbf{S}}^{n-1}}\phi (r\cdot \vartheta )d\sigma (\vartheta )\right)dr.$$
C2)	当 $n=2$ 时, 我们令$$E=\frac{1}{2\pi }\log (r).$$对任意的 $\epsilon >0$, 定义$$f_{\epsilon }(x)=\{\begin{array}{ll}\log |x|,& x⩾\epsilon ;\\ \log \epsilon ,& |x|<\epsilon .\end{array}$$试利用 $f_{\epsilon }$ 证明: $$△E\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}{\delta }_0$$
C3)	当 $n=2$ 时, 令$$g_{\epsilon }(x)=\{\begin{array}{ll}\log |x|,& x⩾\epsilon ;\\ a_{\epsilon }|x{|}^2+b_{\epsilon },& |x|<\epsilon .\end{array}$$证明, 存在常数 $a_{\epsilon }$ 和 $b_{\epsilon }$, 使得函数 $g_{\epsilon }$ 在 ${\mathbb{R}}^2$ 上连续可微.
C4)	当 $n=2$ 时, 试利用函数 $g_{\epsilon }$ 证明: $$△E\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}{\delta }_0$$
C5)	当 $n⩾3$ 时, 我们用 $\left|{\mathbf{S}}^{n-1}\right|$ 表示 ${\mathbf{S}}^{n-1}$ 的测度. 令$$E=\frac{|x{|}^{2-n}}{(2-n)\left|{\mathbf{S}}^{n-1}\right|}.$$证明, $E\in L_{\mathrm{loc}}^1({\mathbb{R}}^n)$ 并且作为分布, 我们有$${\partial }_{j}E=\frac{x_j}{\left|{\mathbf{S}}^{n-1}\right||x{|}^n}\in L_{\mathrm{loc}}^1({\mathbb{R}}^n).$$
C6)	(接 C6)) 证明, $$△E\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{=}{\delta }_0$$
C7)	(作为常识) 试计算 (或者查出) $\left|{\mathbf{S}}^{n-1}\right|$ 的数值.

在后面的习题中, 我们假设 $n=3$ (这些结论对 $n⩾3$ 稍作明显的改动也成立, 但是我们更关心具有物理意义的情形) . 此时, $△$ 的一个基本解可以写成: $$E(x)=-\frac{1}{4\pi |x|}\in L_{\mathrm{loc}}^1({\mathbb{R}}^3),$$

C8)	对任意的 $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3)$ 和 $f\in {\mathcal{E}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3)$, 如果它们满足方程$$△u=f,$$证明, $u$ 在 $\mathrm{supp}(f)$ 之外是光滑的, 即 $u\in C^{\infty }({\mathbb{R}}^3-\mathrm{supp}(f))$.
C9)	将 C8) 中的假设放松为 $f\in {\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3)$. 证明同样的结论: $u\in C^{\infty }({\mathbb{R}}^3-\mathrm{supp}(f))$.
C10)	证明 Laplace 算子的椭圆正则性定理: 假设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^3$ 是开集, $u\in {\mathcal{D}}^{\prime }(\Omega )$, 满足$$△u=f,$$其中 $f\in C^{\infty }(\Omega )$ 是光滑函数, 那么, $u\in C^{\infty }(\Omega )$. (通常要得到 $u$ 的正则性需要知道 $u$ 的各个方向的导数, 但是椭圆正则性定理说只要知道一个特殊的二阶导数即可! )
C11)	假定 $f\in {\mathcal{E}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3)$. 证明, 当 $|x|\to \infty$ 时, 存在 $C_1>0$ (依赖于分布 $f$) , 使得$$|E\ast f(x)|⩽\frac{C}{|x|}.$$
C12)	假定 $f\in {\mathcal{E}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3)$. 证明, $u=E\ast f$ 是下面的位势方程的解: $$△u=f.$$并且存在常数 $C_2>0$, 使得当 $|x|\to \infty$ 时, 我们有$$\left|u(x)+\frac{⟨f,1⟩}{4\pi |x|}\right|⩽\frac{C_2}{|x{|}^2}.$$根据不同的物理情景, $⟨f,1⟩$ 表示的是 $u$ 的总质量或者总电量.
C13)	假定 $u\in C^{\infty }({\mathbb{R}}^3;\mathbb{R})$ 是实值函数. 我们定义符号函数 $\mathrm{sign}(u)$ 为$$\mathrm{sign}(u)(x)=\{\begin{array}{ll}& 1,u(x)>0;\\ & 0,u(x)=0;\\ & -1,u(x)<0.\end{array}$$证明, 在分布的意义下, 我们有$$△|u|\stackrel{{\mathcal{D}}^{\prime }}{⩾}△u\cdot \mathrm{sign}(u),$$即对任意的 (实值) 非负的 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^3)$, 我们都有$$⟨△|u|,\phi ⟩⩾⟨△u\cdot \mathrm{sign}(u),\phi ⟩,$$(提示: 先在分布的意义下用 $\sqrt{u^2+{\epsilon }^2}$ 来逼近 $u$)

寄语. The topology in $C^{\infty }(X)$ is the inductive limit of the topology in $C_0^{\infty }(K)$ when the compact set $K$ increases to $X$, so it is a LF topology¹. We have avoided this terminology in order not to encourage the once current misconception that familiarity with LF space is essential for the understanding of distribution theory.

—— Lars Hörmander

1.	LF 指的是 limit of Fréchet, 这是一列 Fréchet 空间的极限.