50. 二维的 Brouwer 不动点定理, Hilbert 空间

多元微积分的应用举例: 二维的 Brouwer 不动点定理

我们回顾一下所谓的 Green 公式:

如果 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^2$ 是有界光滑带边区域, 那么对任意的 ${\mathbb{R}}^2$ 上的光滑 ($C^1$) 函数 $P$ 和 $Q$, 我们有$$\begin{array}{r}{\int }_{\Omega }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy={\oint }_{\partial \Omega }Pdx+Qdy.\end{array}$$我们现在要来证明 2 维情形的 Brouwer 不动点定理. 我们用 $D$ 表示 ${\mathbb{R}}^2$ 上的单位圆盘: $$D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x^2+y^2⩽1\}.$$它的边界是单位圆周: $\partial D={\mathbf{S}}^1$.

定理 50.1 (Brouwer). 假设 $f:D\to D$ 是连续映射, 那么一定存在某个点 $x\in D$, 使得 $f(x)=x$.

我们用反证法. 如若不然, 那么对任意的 $x\in D$, $f(x)\ne x$. 考虑从 $f(x)$ 出发的射线, 它经过 $x$ 之后, 与 $\partial D$ 恰好有一个交点, 我们把它记作 $F(x)$. 这样, 我们就定义了映射$$F:D\to {\mathbf{S}}^1\subset {\mathbb{R}}^2,x\mapsto F(x).$$这显然是连续映射 (请验证) 并且 $F{|}_{{\mathbf{S}}^1}=\mathbf{Id}$. 我们做一个额外的假设: $F:D\to {\mathbf{S}}^1$ 是 $C^{\infty }$ 映射 (我们在几次课后会用函数逼近的技巧把连续的情况化归到这个情形) . 另外, 为了方便, 我们用坐标来表示 $F$: $$F(x,y)=(u(x,y),v(x,y))\in {\mathbb{R}}^2.$$我们还用$$\gamma :[0,2\pi ]\to {\mathbb{R}}^2,\vartheta \to (\cos \vartheta ,\sin \vartheta )$$来参数化 $\partial D$, 此外, 我们用 ${\gamma }^{\prime }$ 表示其单位切向量 $(-\sin \vartheta ,\cos \vartheta )$.

证明的核心在于计算下面的积分 (在下个学期学习了 de Rham 上同调理论之后, 这个积分会变得很自然, 目前大家把这个积分的计算看做是 Stokes 公式的应用和练习即可) , 我们用两种方法来做: $$I={\oint }_{\partial D}(u\nabla v-v\nabla u)\cdot {\gamma }^{\prime }.$$用传统的第二型曲面积分的记法, 我们还可以把它写成: $$I={\oint }_{\partial D}(u{v}_x-v{u}_x)dx+(u{v}_y-v{u}_y)dy.$$为了书写方便, 我们用 $u_x$ 表示 $\frac{\partial u}{\partial x}$, 诸如此类. 首先, $$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^{2\pi }u{\nabla }_{{\gamma }^{\prime }}v-v{\nabla }_{{\gamma }^{\prime }}ud\vartheta \\ & ={\int }_0^{2\pi }x{\nabla }_{{\gamma }^{\prime }}y-y{\nabla }_{{\gamma }^{\prime }}xd\vartheta .\end{array}$$这是沿着曲线切线方向的方向导数, 所以, 它只和函数在曲线上的取值相关. 由于在 $\partial D$ 上面, 我们有 $u=x$, $v=y$, 所以, 我们有$$\begin{array}{rl}I& ={\oint }_{\partial D}xdy-ydx\\ & ={\int }_{D}2dxdy\\ & =2\pi .\end{array}$$另外, $F$ 的像落在 ${\mathbf{S}}^1$ 上, 所以, 我们有$$u^2+v^2=1\Rightarrow \{\begin{array}{l}u{u}_x+v{v}_x=0,\\ u{u}_y+v{v}_y=0.\end{array}$$由于 $(u,v)\ne (0,0)$, 所以上面线性方程系数的行列式为 $0$, 即$$u_x{v}_y=u_y{v}_x.$$从而, $$\begin{array}{rl}I& ={\oint }_{\partial D}(u{v}_x-v{u}_x)dx+(u{v}_y-v{u}_y)dy\\ & ={\oint }_{\partial D}(u{v}_y-v{u}_y{)}_x-(u{v}_x-v{u}_x{)}_{y}dxdy\\ & =0,\end{array}$$其中, 我们用到了 $u_{xy}=u_{yx}$ 等. 这是矛盾的, 所以, 这样的 $F$ 不存在, 从而, Brouwer 不动点定理得到了证明.

Fourier 级数理论

为了学习 Fourier 级数, 我们首先复习／学习几个基本的函数空间, 我们下个学期的学习也会把这几个空间上的分析作为重点.

首先回忆两个抽象的空间的概念:

a)

$X$ 为 $\mathbb{C}$-线性空间, 如果它配备了某个范数$$\Vert \cdot \Vert :X\to {\mathbb{R}}_{⩾0},$$(即对任意的 $x\in X$, $\Vert x\Vert =0$ 当且仅当 $x=0$; 对任意的 $\lambda \in \mathbb{C}$, $\Vert \lambda x\Vert =|\lambda |\Vert x\Vert$; 对任意的 $x,y\in X$, 有 $\Vert x+y\Vert ⩽\Vert x\Vert +\Vert y\Vert$. ) 我们称 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 是赋范线性空间. 此时, 对任意的 $x,y\in X$, 我们可以用 $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$ 作为 $X$ 上的距离函数, 从而使得 $X$ 成为距离空间. 如果 $X$ 在这个距离下是完备的 (即 Cauchy 列必收敛) , 我们就称 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 是完备赋范线性空间 (也叫做 Banach 空间) .

b)

$X$ 为 $\mathbb{C}$-线性空间, 如果它拥有二次型$$⟨\cdot ,\cdot ⟩:X\times X\to \mathbb{C},$$满足 1) 对任意的 $\mu ,\nu \in \mathbb{C}$ 和 $x,y,z\in X$, 我们有$$⟨\mu x+\nu y,z⟩=\mu ⟨x,z⟩+\nu ⟨y,z⟩.$$ 2) 对任意的 $x,y\in X$, 我们有$$⟨x,y⟩=\overline{⟨y,x⟩}.$$ 3) 对任意的 $x\in X$, $$⟨x,x⟩⩾0,$$并且 $⟨x,x⟩=0$ 当且仅当 $x=0$. 我们就称 $(X,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ 是内积空间, 其中二次型 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 被称作是内积. 很容易验证, 映射$$\Vert \cdot \Vert :X\to {\mathbb{R}}_{⩾0},x\mapsto \sqrt{⟨x,x⟩}$$是一个范数 (由内积定义的范数) , 从而, 内积空间一定是赋范线性空间. 我们把完备的内积空间称作是 Hilbert 空间.

注记. 我们注意到, 在内积空间中, 对任意的 $x,y\in X$, 我们都有$$|⟨x,y⟩|⩽\Vert x\Vert \Vert y\Vert .$$最简单的证明就是注意到把内积限制到由 $x$ 和 $y$ 生成的有限维线性空间上也得到内积空间, 从而可以用有限维的结论.

在 Lebesgue 积分的理论框架下, 有三个最基本的函数空间: $L^1(X,\mathcal{A},\mu )$, $L^2(X,\mathcal{A},\mu )$ 和 $L^{\infty }(X,\mathcal{A},\mu )$. 我们现在引入它们的概念并证明它们的完备性.

首先, 给定测度空间 $(X,\mathcal{A},\mu )$, 它上面的可积函数全体为 ${\mathcal{L}}^1(X,\mathcal{A},\mu )$, 这是一个 $\mathbb{C}$-线性空间 (在 Fourier 级数的学习中, 我们不得不研究在复数域中取值的函数) . 我们把几乎处处为零的函数全体记作$$\mathcal{N}=\{f\in {\mathcal{L}}^1(X,\mathcal{A},\mu )|f\text{ 几乎处处为零}\}.$$这是 ${\mathcal{L}}^1(X,\mathcal{A},\mu )$ 的线性子空间. 它的商空间我们定义为: $$L^1(X,\mathcal{A},\mu )={\mathcal{L}}^1(X,\mathcal{A},\mu )/\mathcal{N}.$$从记号上而言, 我们通常还是把 $f\in L^1(X,\mathcal{A},\mu )$ 看作是一个函数: 实际上, 它是函数的等价类 $[f]\subset {\mathcal{L}}^1(X,\mathcal{A},\mu )$, $f\in [f]$ 是这里面的一个代表, 也就是说如果 $g\in {\mathcal{L}}^1(X,\mathcal{A},\mu )$ 并且与 $f$ 几乎处处相等, 那么我们就说 $f=g$. 我们已经证明过: $$\Vert \cdot {\Vert }_{L^1(X,\mathcal{A},\mu )}:L^1(X,\mathcal{A},\mu )\to {\mathbb{R}}_{⩾0}$$是范数, 我们通常称它为 ${\mathbf{L}}^1$-范数.

其次, 我们定义内积空间 $L^2(X,\mathcal{A},\mu )$. 我们定义$${\mathcal{L}}^2(X,\mathcal{A},\mu )=\{f:X\to \mathbb{C}|\text{f 可测并且 ∣f∣2 是可积函数}\}.$$很容易验证这是一个 $\mathbb{C}$-线性空间并且 $\mathcal{N}$ 是其线性子空间, 我们定义$$L^2(X,\mathcal{A},\mu )={\mathcal{L}}^2(X,\mathcal{A},\mu )/\mathcal{N}.$$我们在 $L^2(X,\mathcal{A},\mu )$ 可以按照如下的方式定义内积, 其中 $[f],[g]\in L^2(X,\mathcal{A},\mu )$ 是函数的等价类, $f$ 和 $g$ 分别是这两个等价类中的代表元: $$⟨[f],[g]{⟩}_{L^2(X,\mathcal{A},\mu )}=⟨f,g{⟩}_{L^2}={\int }_{X}f(x)\overline{g(x)}d\mu (x).$$我们很容易看出这个定义是不依赖于等价类中的代表元的选取的, 并且上面的二次型是一个内积 (逐条验证定义即可) . 此时, $L^2(X,\mathcal{A},\mu )$ 由该内积定义的范数为$$\Vert [f]{\Vert }_{L^2(X,\mathcal{A},\mu )}=\Vert f{\Vert }_{L^2}=\sqrt{{\int }_X|f{|}^{2}d\mu }.$$特别地, 根据前面的注, 我们有所谓的 Cauchy–Schwarz 不等式: $$\left|{\int }_{X}fgd\mu \right|⩽\Vert f{\Vert }_{L^2}\Vert g{\Vert }_{L^2}.$$最后, 我们定义赋范线性空间 $L^{\infty }(X,\mathcal{A},\mu )$. 首先, 令$${\mathcal{L}}^{\infty }(X,\mathcal{A},\mu )=\{f:X\to \mathbb{C}|\text{存在 M∈R⩾0，使得 ∣f(x)∣⩽M 几乎处处成立}\}.$$很容易验证这是 $\mathbb{C}$-线性空间并且 $\mathcal{N}$ 是其线性子空间, 我们定义$$L^{\infty }(X,\mathcal{A},\mu )={\mathcal{L}}^{\infty }(X,\mathcal{A},\mu )/\mathcal{N}.$$我们在 $L^{\infty }(X,\mathcal{A},\mu )$ 定义范数 $\Vert \cdot {\Vert }_{L^{\infty }}$, 其中, $[f]\in L^{\infty }(X,\mathcal{A},\mu )$ 是函数的等价类而 $f$ 是其代表元: $$\begin{gathered} \Vert [f]{\Vert }_{L^{\infty }(X,\mathcal{A},\mu )}=\Vert f{\Vert }_{L^{\infty }}=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{M\in {\mathbb{R}}_{⩾0},}{ \\ |f(x)|⩽M\text{几乎处处}}}{\inf }M. \end{gathered}$$

为了证明上述空间都是完备的, 我们需要一个技术性引理:

引理 50.2. (完备性的级数判定) 假设 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 是赋范线性空间, 那么, 我们有

1)	如果 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 是完备的, 那么绝对收敛的级数一定收敛, 即给定级数 $\sum _{i=1}^{\infty }{x}_i$, 其中 $x_i\in X$, 如果$$\sum _{i=1}^{\infty }\Vert x_i\Vert <\infty ,$$那么部分和 $\sum _{i⩽n}{x}_i$ 在 $X$ 中收敛 (我们把它的极限记作 $\sum _{i=1}^{\infty }{x}_i$) .
2)	如果每个绝对收敛的级数均收敛, 那么 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 是完备的.

证明. 1) 是平凡的: 如果令 $S_n=\sum _{i⩽n}{x}_i$, 那么, 对任意的 $n⩾m$, 我们有$$\Vert S_n-S_m\Vert ⩽\sum _{k=m+1}^n\Vert x_k\Vert .$$根据 $\sum _{i=1}^{\infty }\Vert x_i\Vert$ 收敛, 我们知道对任意的 $\epsilon >0$, 存在 $N⩾1$, 使得当 $n⩾m⩾N$ 时, 我们有$$\sum _{k=m+1}^n\Vert x_k\Vert <\epsilon .$$所以, $\{S_n{\}}_{n⩾1}$ 是 $X$ 中的 Cauchy 列, 从而收敛.

为证明 2), 我们取 Cauchy 列 $\{x_i{\}}_{i⩾1}\subset X$. 根据 Cauchy 列的定义, 对每个 $p\in {\mathbb{Z}}_{p⩾1}$, 存在正整数 $N_p$, 使得当 $i,j\ge N_p$ 时, 我们有$$\Vert x_i-x_j\Vert ⩽2^{-p}.$$从而, 我们考虑级数 $\sum _{p=1}^{\infty }(x_{N_p}-x_{N_{p-1}})$, 按照指标 $N_p$ 的选取方式, 这是一个绝对收敛的级数, 从而它收敛. 另外, 它所对应的部分和为$$(x_{N_p}-x_{N_{p-1}})+(x_{N_{p-1}}-x_{N_{p-2}})+\cdots +(x_{N_1}-x_{N_0})=x_{N_p}-x_{N_0},$$这表明 $\{x_i{\}}_{i⩾1}$ 的子列 $\{x_{N_i}{\}}_{i⩾1}$ 收敛. 我们知道如果 Cauchy 列的子列收敛, Cauchy 列本身就收敛, 证毕.

$\square$

我们先证明 $L^1$ 空间的完备性:

定理 50.3 (Fischer–Riesz). 对任意的测度空间 $(X,\mathcal{A},\mu )$, $L^1(X,\mathcal{A},\mu )$ 是完备的赋范线性空间.

证明. 根据上述引理, 只须证明绝对收敛的级数 $\sum _{i=1}^{\infty }{f}_i$ 是收敛的, 其中 $f_i\in L^1(X,\mathcal{A},\mu )$. 为此, 我们首先定义函数 (的等价类) $$F:X\to \mathbb{C},x\mapsto F(x)=\sum _{i=1}^{\infty }|f_i(x)|.$$这显然是良好定义的函数 (除去一个零测集) . 根据 Beppo Levi 定理, 我们有$$\begin{array}{rl}{\int }_{X}F(x)d\mu & =\sum _{i=1}^{\infty }{\int }_X|f_i(x)|d\mu \\ & =\sum _{i=1}^{\infty }\Vert f_i{\Vert }_{L^1}<\infty .\end{array}$$特别地, 我们有 $\mu (F^{-1}(+\infty ))=0$. 对任意的 $x\notin F^{-1}(+\infty )$, 从而对几乎处处的 $x\in X$, 我们定义 $f(x)\in \mathbb{C}$: $$f(x)=\underset{N\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^N{f}_i(x).$$我们将运用 Lebesgue 控制收敛定理, 其中我们把 $F(x)$ 作为控制函数. 由于对几乎处处的 $x$, 我们有 $\sum _{i=1}^N{f}_i(x)\to f(x)$, Lebesgue 控制收敛定理表明: $$\begin{array}{r}\underset{N\to \infty }{\lim }\Vert \sum _{i=1}^N{f}_i(x)-f(x){\Vert }_{L^1}=\underset{N\to \infty }{\lim }{\int }_X|\sum _{i=1}^N{f}_i(x)-f(x)|d\mu =0.\end{array}$$这说明, $\sum _{i=1}^N{f}_i(x)$ 在 $\Vert \cdot {\Vert }_{L^1}$ 所定义的距离下收敛到 $f(x)$, 根据前一个引理, $L^1(X,\mathcal{A},\mu )$ 是完备的.

$\square$

Fischer–Riesz 定理的证明还可以给出一个很有意义的推论:

推论 50.4. 给定 $L^1(X,\mathcal{A},\mu )$ 中的函数序列 $\{f_i{\}}_{i⩾1}$, 我们假设它们在 $L^1$ 范数下收敛到 $f$, 即$$f_i\stackrel{L^1(X,\mathcal{A},\mu )}{⟶}f,i\to \infty .$$那么, 存在子函数序列 $\{f_{i_p}{\}}_{p⩾1}$, 使得对几乎处处的 $x\in X$, 我们都有$$\underset{p\to \infty }{\lim }{f}_{i_p}(x)=f(x).$$

证明. 通过选取子序列, 我们不妨假设 $f_0\equiv 0$ 并且对任意的 $n⩾1$, 我们都有$$\Vert f_n-f_{n+1}{\Vert }_{L^1}⩽2^{-n-1}.$$所以, 我们可以把 $f_n$ 写成: $$f_n=(f_1-f_0)+(f_2-f_1)+\cdots +(f_n-f_{n-1}),$$这表明 $f_n$ 可视为 $L^1(X,\mathcal{A},\mu )$ 中某个绝对收敛的级数的部分和, 前一证明的过程表明除一个零测集外, $f_n$ 逐点收敛到 $f$.

$\square$